Esercizi svolti durante la lezione del 30 novembre 2016

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1 Esercizi svolti durante la lezione del 30 novembre 206 Sconto commerciale ed attualizzazione. Lo sconto commerciale è proporzionale al capitale scontato ed al tempo che intercorre tra oggi e l'epoca in cui il capitale C si renderà disponibile Esercizio: determinare il valore attuale di un capitale C=3000 dispnibile tra 6 mesi, ottenuto applicando lo sconto commerciale al tasso di sconto annuo d=0.09 C:=3000: d:=0.09: t=6/2: Sconto:=3000*0.09*6/2 Capitale_scontato:=C-Sconto Sconto Lo sconto commerciale non è l'operazione inversa della capitalizzazione semplice. Infatti: Capitale_scontato*(+0.09*6/2) Capitale_scontato Calcolo del valore attuale in regime di capitalizzazione semplice e composta. Esercizio. Determinare, in regime di capitalizzazione semplice, al tasso annuo i=0.03, il valore attuale di un capitale C=3000 euro disponibile tra 6 mesi restart: Valore_attuale_cap_semplice:=C/(+i*t) C:=3000 t=6/2 i=0.03 Valore_attuale_cap_semplice C 3000 C i t (.) (.2) (.3) Esercizio 2. Determinare, in regime di capitalizzazione composta con convenzione esponenziale, al tasso annuo i=0.06, il valore attuale di un capitale C=5300 euro disponibile tra 2 anni e 5 mesi restart: Valore_attuale_cap_composta:=C/(+i)^t C Valore_attuale_cap_composta (.6) i t t = 2 i = 0.03 Valore_attuale:=C/(+6/2*0.03) Valore_attuale C:=5300 t:=2+5/2 i:=0.06 C 5300 t 29 2 (.4) (.5) (.7)

2 i 0.06 Valore_attuale:=C/(+i)^t Valore_attuale (.7) (.8) n.b Valore attuale e montante di un'operazione finanziaria complessa, ovvero di più somme di denaro disponibili ad epoche diverse Esercizio 3. In regime di capitalizzazione composta, con convenzione esponenziale, si consideri la seguente operazione finanziaria t=0 300 t= 200 t=3 00 t=5 400 Sapendo che i=0,03, determinare: il montante dell'operazione all'epoca t=6 il valore attuale il valore al tempo 4. M:=300*(+0.03)^6+200*(+0.03)^5+00*(+0.03)^3+400*(+0.03) M A:= *(+0.03)^(-)+00*(+0.03)^(-3)+400*(+0.03)^(-5) A M:=A*(+0.03)^6 M (2.) (2.2) (2.3) V4:=300*(+0.03)^4+200*(+0.03)^3+00*(+0.03)+400*(+0.03)^(-) V (2.4) A:=V4*(+0.03)^(-4) A tutti gli esercizi considerano il regime finanziario della capitalizzazione composta con convenzione esponenziale. Esercizi sulla rendite Esercizio. Data una rendita immediata posticipata, di 5 rate semestrali, rata R=500, tasso i_2=4% Determinare: a) il montante b) il valore attuale c) il valore della rendita alla 0 rata. a) M M (2.5) (3.)

3 Rn M Rn (3.2) b) V V (3.3) RnV c Calcolo il valore delle prime 0 rate all'epoca (3.4) Calcolo il valore delle ultime 5 rate sempre all'epoca (3.5) Faccio la somma ed ottengo il valore della rendita alla scadeza 0. Valore 0 = Valore 0 = (3.6) Procedimento alternativo I Valore 0 V.04 0 Valore (3.7) Procedimento alternativo 2 Valore 0 M 5 Valore (3.8) Esercizio 2. Data una rendita immediata anticipata di 20 rate mensili, rata R=00, tasso annuo effettivo i=3% Determinare: a) il montante b) il valore attuale Determino tasso mensile equivalente al tasso annuo i=0,03 a) b).03 M M (3.9) (3.0)

4 Esercizio 4. Abbiamo acquistato un ciclomotore dietro il pagamento di 60 rate mensili positicipate dell'importo di 00 euro. L'operazione è stata fatta al tasso effettivo annuo del 8%. Determinare il prezzo del ciclomotore Trovo il tasso mensile equivalente al tasso annuo V V (3.) Esercizio 3. Data una rendita differita di 4 periodi, posticipata di 7 rate quadrimestrali, rata R=640, tasso annuo nominale convertibile quadrimestralmente j3=i3*3=9% R=640 quadrimestrale n=7 p=4 quadrimestri j3=9% Determinare: a) il montante b) il valore attuale Determino tasso quadrimestrale effettivo i V i3 M i i3 i3 V i3 7 i M Determino il valore attuale della rendita, equivalente al prezzo di acquisto Prezzo Prezzo (3.2) (3.3) (3.4) (3.5) (3.6) Esercizio 5. Determinare il valore attuale di una rendita immediata anticipata di durata pari a 3 anni, con rate semetrali di valore R=200, al tasso nominale convertibile semestralmente j2=2%. Determino il tasso effettivo semestrale :=0.2/ (3.7) Determino il valore attuale della rendita anticipata

5 A 200 A (3.8) Esercizio 6. Vogliamo costituire un capitale di 5000 euro, tramite 5 versamenti anticipati mensili, di uguale importo, al tasso effettivo annuo del 6%. Determinare l'importo della rata da versare. Calcolo il tasso mensile effettivo (3.9) restart: Esericzio 7. Determinare la rata semestrale R di una rendita posticipata differita di 3 anni, anticipata, di 2 rate, tasso annuo effettivo i=9%, sapendo che il valore attuale è 9000 Sappiamo che: e 5000 = Rata Rata 5000 V R = p V = Rata 5 Rata p R V n n p R n R = p Determiniamo il tasso equivalente al 9% annuo.09 da cui 2 R R p R (3.20) (3.2) (3.22) (3.23) (3.24) (3.25) Calcolo il numero delle rate

6 restart: (N.B. le problematiche relative alla gestione di numero rate non intere, non sono oggetto del corso. Arrontondare per eccesso o per difetto). Calcolo del numero delle rate, dati montante, importo della rata e tasso. numero_rate:=ln((m*i/r)+)/ln(+i) M i ln R numero_rate ln i Calcolare il numero delle rate di una rendita immediata posticipata di rata annua R=600, tasso annuo i= 5%, montante numero_rate:=evalf(subs(m=3400,r=600,i=0.05,numero_rate)) numero_rate Calcolo del numero delle rate, dati valore attuale, importo della rata e tasso. numero_rate:=-ln((-v*i/r))/ln(+i) V i ln R numero_rate ln i Calcolare il numero delle rate di una rendita immediata, posticipata, di rata annua R=300, tasso i=2%, valore attuale numero_rate:=evalf(subs(v=6000,r=300,i=0.02,numero_rate)) numero_rate (4.) Esercizi sulle rendite tratti dai compiti di esame Esercizio 4. Compito dell' 8 gennaio 206 Un debito di euro viene rimborsato in 60 rate mensili immediate posticipate, al tasso effettivo annuo i=7%. a) calcolare l'importo della rata. b) al momento del pagamento della decima rata, versiamo ulteriori 5000 euro in conto capitale ed inoltre la banca ci comunica che, per la determinazione delle successive rate, verrà applicato un tasso nominale convertibile mensilmente j 2 =8%. Calcolare l'importo della nuova rata. Svolgimento a) Calcolo il tasso mensile equivalente a i=7% i[2]:=(+0.07)^(/2)- i Calcolo la rata R:=40000*i[2]/(-(+i[2])^(-60)) R b) Calcolo il nuovo tasso che chiamiamo in inew:=0.08/2 inew Calcolo il valore attuale della rendita, tenendo conto del cambiamento del tasso e del versamento (5.) (5.2) (5.3)

7 ulteriore di 5000 euro. Denoto con Rn la nuova rata restart: VA:=R*(-(+i[2])^(-0))/i[2]+5000*(+i[2])^(-0)+/(+i[2])^ (0)*Rn*(-(+inew)^(-50))/inew R 0 Rn i inew 50 VA (5.4) i i 2 i 2 inew Sostituendo i valori di R, e in si ottiene: i[2]:=(+0.07)^(/2)- R:=40000*i[2]/(-(+i[2])^(-60)) inew:=0.08/2 i VA R inew Rn Sapendo che il valore attuale della rendita è pari a 40000, si ricava il valore della nuova rata solve(40000=va,rn) (5.5) (5.6) (5.7) Esercizio 5. Compito del 29 gennaio 205 Un debito di euro è rimborsabile in 2 anni al tasso effettivo annuo del 7,5%,con rate annue constanti posticipate. Dopo il pagamento della quarta rata, si chiede di interrompere i pagamenti per 2 anni. Ci vengono proposte le seguenti condizioni: - tasso nominale convertibile semestralmente dell'8% - ripresa dei pagamenti con il versamento di 2 rate semestrali, di cui le prime sei di ammontare doppio rispetto alle sei restanti. Calcolare l'importo della rata originaria e l'importo delle nuove rate. Svolgimento Calcolo importo rata originaria: R:=30000*0.075/(-(+0.075)^(-2)) R Calcolo del debito residuo al periodo 4. D4:=R*(-(+0.075)^(-8))/(0.075) D Calcolo del debito residuo al periodo 6 :=0.08/ D6:=D4*(+)^(4) D Trovo importo delle ultime sei rate semestrali Rs Il valore attuale della rendita costituita dalle rate semestrali è data da: VA:=(2*Rs)*(-(+)^(-6))/()+(+)^(-6)*(Rs)*(- (+)^(-6))/() (5.8) (5.9) (5.0) (5.) (5.2)

8 Per calcolare l'importo delle ultime sei rate risolviamo VA=D6 II_rata_sem:=solve(VA=D6,Rs) II_rata_sem VA Rs I_rata_semestrale:=2*II_rata_sem I_rata_semestrale (5.2) (5.3) (5.4) Esercizio 6. Compito del 6 settembre 20 Un proprietario di due appartamenti ne affitta uno da subito, con un canone annuo posticipato di 6000 euro, l altro, dall anno successivo, con un canone annuo posticipato di 4000 euro. Dopo 3 anni decide di aumentare entrambi i canoni di affitto del 0%. Si calcoli il montante a disposizione del proprietario dopo 0 anni, utilizzando un tasso di interesse pari al 3%. M:=R*((+i)^n-)/i i n M (5.5) i (5.6) Esercizio 7. 4 luglio 20 a) Determinare il valore attuale di una rendita anticipata, differita di 5 mesi, di 42 rate mensili, costanti, di importo pari a euro 340, tasso = 0, 5%, regime di capitalizzazione composta. b) Si consideri una rendita posticipata, differita di 2 mesi, di 42 rate mensili, costanti, di importo R, tasso annuo i = 9%, regime di capitalizzazione composta. Determinare l importo della rata R in modo che il valore attuale delle due rendite sia uguale. V:=(+i_[2])^(-p+)*R*(-(+i_[2])^(-n))/i_[2] p n i_ 2 i_ 2 V (5.7) A:=6000*(+0.03)^9+0000*(+0.03)^8+0000*(+0.03)^7+000*( (+0.03)^6-)/ ,59 i_ 2 V:=(.005)^(-4)*340*(-(.005)^(-42))/0.005 V tasso_mensile:=(.09)^(/2)- tasso_mensile (5.8) (5.9) R:=V*(+tasso_mensile)^2*tasso_mensile/(-(+tasso_mensile)^(-42) ) R (5.20) Esercizio Un prestito di rimborsabile in 6 anni al tasso del 6% annuo, mediante pagamento di rate annue costanti, posticipate. Dopo aver pagato la settima rata, il debitore ottiene di sospendere per 4 anni i pagamenti riprendendo quindi l'ammortamento con rate costanti in modo che il prestito risulti estinto alla data prevista. Determinare la rata originaria e quella successiva alla sospensione. Prima_rata:=75000*0.06/(-(.06)^(-6)) Prima_rata Valore attuale dei pagamenti effettuati fino al periodo 7 (5.2)

9 VA_prime_7_rate:=Prima_rata*(-(.06)^(-7))/0.06 VA_prime_7_rate Valore attuale di cià che rimane da rimborsare V:=75000-VA_prime_7_rate V Calcolo nuova rata R_nuova:=V*(.06)^()*0.06/(-(.06)^(-5)) R_nuova Svolgimento alternativo. Debito_residuo_al_7_anno:=Prima_rata*(-(.06)^(-9))/0.06 Debito_residuo_al_7_anno (5.22) (5.23) (5.24) (5.25) Nuova_rata:=Debito_residuo_al_7_anno*(.06)^4*0.06/(-(.06)^(-5) ) Nuova_rata (5.26)