tele limite è unico. Ciò significa che se non può accadere che una funzione abbia limiti diversi per x. Se per assurdo si avesse che lim f ( x)

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1 Calcolo dei iti (C. DIMAURO) Per il calcolo dei iti ci serviamo di alcuni teoremi. Tali teoremi visti nel caso in cui, valgono anche quando Teorema dell unicità del ite: se una funzione ammette ite per tele ite è unico. Ciò significa che se non può accadere che una funzione abbia iti diversi per. Se per assurdo si avesse che f ( ) l l l. f ( ) l e Teorema del confronto: siano f, g, h tre funzioni definite in un intorno I, escluso al più il punto, e tali che Se f ( ) h( ) I risulti f ( ) g( ) h( ). l risulterà g( ) l Questo teorema è anche detto teorema dei carabinieri. La funzione g() è l arrestato tenuto a destra e a sinistra da due carabinieri f() e g(). Se i carabinieri vanno entrambi verso la prigione, l arrestato, pur non volendo, non ha altra possibilità che seguirli, essendo trattenuto da destra e da sinistra. Teorema della permanenza del segno: se f ( ) l esiste un intorno I, privato al più di in cui la funzione assume lo stesso segno di l. Vale anche il viceversa. Infatti, per la funzione 8 8 f ( ), il 8 che è un numero positivo. Calcolare un ite significa che nei punti estremamente vicini a la funzione assume valori vicini ad 8, quindi positivi. Completamente diverso è il caso in cui il valore del ite è zero: ci si può avvicinare a zero prendendo valori sia positivi sia negativi.

2 Operazioni sui iti Siano f e g due funzioni definite in un intorno I, escluso al più il punto e supponiamo che si abbia f ( ) l f ( ) l e. Vogliamo esaminare cosa si può dire dell eventuale della somma f ( ) g( ), della funzione prodotto f ( ) g( ), della funzione quoziente f ( ) / g( ). Teorema della somma: il ite della somma di funzioni è uguale alla somma dei f ( ) g( ) iti delle funzioni, se questi sono finiti: [ ] l l Teorema del prodotto: il ite del prodotto di funzioni è uguale al prodotto dei f ( ) g( ) iti delle funzioni, se questi sono finiti: [ ] Conseguenza di questo teorema sono i seguenti: teorema: se f ( ) l teorema: se f ( ) l [ λ f ( ) µ g( ) ] λl µ l e k è un numero reale si ha g( ) l e l k l f ( ) kl e λ e µ sono numeri reali si ha Teorema della potenza: se n n [ f ( ) ] l f ( ) l ed n è un numero naturale si ha Teorema della funzione inversa: se f ( ) l f ( ) ; se l f ( ) ± f ( )

3 Teorema del quoziente: se f ( ) l f ( ) g( ) l l e f ( ) l Teorema del valore assoluto: se f ( ) l f ( ) l Teorema del logaritmo: se f ( ) l ed l > log f ( ) log l a a Teorema dell esponenziale: se f ( ) l ed l > e α R α α [ f ( ) ] l Per il calcolo pratico dei iti, si può utilizzare la seguente tabella dei iti immediati: m numero positivo finito; n > numero intero dispari; n > numero intero pari Valore del ite Valore del ite Valore del ite m m ( ) m ( ) m ( ) m m m se m > m ( ) ( ) m m se m < ( ) m m ( ) m se m > m ( ) n ( ) m se m < ( ) m ( ) n log () m se m >

4 ( ) ( ) n ( ) log m () se m < ( ) ( ) ( ) n log m se m > ( ) ( ) ( ) log m se m < Esempi iti immediati ( 5) 5 7 [ e ( ) ] e ( ) quando il ite tende ad un numero da sinistra, significa che ci avviciniamo al numero per valori più piccoli. Nel caso di questo esempio, assegniamo alla valori sempre più vicini a zero ma dalla parte negativa, quindi possiamo immaginare che i valori da assegnare siano, via via, -., -.,..., -. e così via. Si suole dire che lo zero in questione è uno zero negativo, per cui essendo in generale ite da calcolare fosse stato si avrebbe ( ), nel caso in esame sarà. Se il FORME INDETERMINATE In alcuni casi di calcolo di ite si ottengono delle forme indeterminate che devono essere trattate caso per caso. La tabella che segue riassume tutte le forme indeterminate:

5 Tabella forme indeterminate Forme indeterminate Forme indeterminate log ( ) log ( ) log ( ) log ( ) log ± () Metodo per einare alcune forme indeterminate. ) consideriamo il ( ) eina mettendo in evidenza:. La forma indeterminata si ( ) Il calcolo si può anche effettuare utilizzando il metodo pratico di confronto tra infiniti. Nel ( ) ( ) ( ) perchè () è un infinito di ordine superiore rispetto a () e quindi tende ad infinito più rapidamente. Il nomale calcolo algebrico dei segni da il segno finale del ite. ) consideriamo. La forma indeterminata si eina mettendo in evidenza:

6 ( ) Il calcolo si può anche effettuare utilizzando il metodo pratico di confronto tra infiniti. Nel ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) perchè () è un infinito di ordine superiore rispetto a () e quindi tende ad infinito più rapidamente. Seguendo questa regola pratica si possono distinguere casi, per quanto riguarda i N( ) iti ad infinito delle funzioni razionali fratte. Sia f ( ) D( ) a) se il grado del numeratore N() è maggiore del grado del denominatore D() il ite da come risultato b) se il grado del numeratore N() è minore del grado del denominatore D() il ite da come risultato zero c) se il grado del numeratore N() è uguale al grado del denominatore D() il ite da come risultato il rapporto tra i coefficienti dei termini di grado massimo del numeratore e del denominatore. Per quanto riguarda il segno si seguono le normali regole dell algebra. Esempio caso b) Esempio caso c) ) consideriamo il ite:. Questo tipo di iti si risolvono, in genere scomponendo il numeratore ed il denominatore e semplificando. Infatti:

7 ( )( ) ( ) Le altre forme indeterminate devono essere trattate caso per caso. È bene però fare in modo di riportarle nella forma ed, perchè si può applicare per risolvere il ite il teorema di De L Hopital. Da tale teorema si può estrarre la seguente Regola di De L Hopital: il ite del rapporto di due funzioni, che si presenta nella forma indeterminata o, è uguale al ite del rapporto delle loro derivate, cioè: Esempi. f ( ) g( ) f ( ) g ( ) f ( )... g ( ) 5 6 ) è facile vedere che si presenta nella forma indeterminata. 5 Applicando la regola di De L Hopital, derivando una volta numeratore e denominatore si ha: ) log si presenta nella forma indeterminata. Applicando la regola di De log L Hopital, si ha:

8 ) La regola di De L Hopital si può applicare ripetutamente. si presenta nella forma indeterminata. Applicando la regola di De L Hopital, si ha: 6 ancora come forma indeterminata. Riapplicando la regola si ha: che si presenta ) 5 5 si presenta nella forma indeterminata ripetutamente la regola di De L Hopital, si ha:. Applicando 5 5 5) e 6 6 si presenta nella forma indeterminata. Applicando ripetutamente la e e e regola di De L Hopital, si ha: