Triangolo rettangolo

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1 Dato il triangolo rettangolo Possiamo perciò utilizzare angoli). Progetto Matematica in Rete Triangolo rettangolo OPA sappiamo che: PA cateto senα OP OA cateto cos α OP PA cateto tgα OA cateto opposto ad adiacente opposto adiacente ad ad ad sen α, cos α, tg α per determinare gli elementi del triangolo (lati ed a) Conoscendo l OP e l angolo α (cioè sen α, cos α, tg α ) α α α α cateto opposto ad α PA senα cateto adiacente ad α OA cosα b) Conoscendo il cateto AP e l angolo opposto α cateto cateto adiacente opposto ad α ad α cosα c) Conoscendo il cateto OA e l angolo adiacente α cateto adiacente ad α cosα cateto opposto ad α senα d) Conoscendo il cateto PA e l OP posso trovare PA sen α e quindi anche cos α e tg α OP Dalla conoscenza di senα posso risalire all angolo α (tasto di inversione della calcolatrice)

2 Per determinare OA posso utilizzare il teorema di Pitagora oppure cos α poiché OA OP cosα e) Conoscendo il cateto OA e l OP abbiamo OA cosα α OP AP con il teorema di Pitagora oppure AP OP senα f) Conoscendo i due cateti PA e OA possiamo determinare PA tg α α (anche sen α e cos α ) OA OP con il teorema di Pitagora oppure OP PA senα Nota Naturalmente in tutti questi esempi dalla conoscenza di α si può ricavare anche Λ π OPA α In conclusione, dalla conoscenza di elementi di un triangolo rettangolo, che però non siano due angoli, posso determinare tutti gli altri (si dice risolvere il triangolo). Conoscere α equivale a conoscere sen α o cos α o tg α. Osserviamo che si ha cateto senα cateto cosα tgα tgβ opposto ad α cateto adiacente adiacente ad α cateto opposto a a β cos β β senβ 6

3 Esempi a) Nel triangolo rettangolo gli altri elementi del triangolo. OPA sia l OP e sen α α POA Λ. Determinare OP senα AP OP senα Per determinare OA posso anche utilizzare il teorema di Pitagora oppure ricavo cos α OA OP cosα 9 Se π β OPA Λ α abbiamo senβ cosα cos β senα Per avere un idea della misura degli angoli α e β possiamo utilizzare la calcolatrice premendo, per esempio, il tasto SIN che permette di risalire all angolo che ha come valore del seno il numero indicato. Prendendo sin otteniamo α 9, 7. Infine β 90 α ( 70, ) b) AP cosα Se cos α abbiamo sen α 6 7

4 Quindi OP AP e OA OP cos α (oppure con il teorema di Pitagora) Per ricavare α utilizzando per esempio il tasto cos della calcolatrice abbiamo cos ( 6,86) e quindi β OPA Λ 90 α (, ) c) OA tgα Se tg α posso ricavare sen α e cos α dal sistema senα cosα sen α + cos α oppure ricordare che tg α sen α e tg α + cos α tg α Si ottiene, in ogni caso, che sen α e cos α da cui OA OP cosα e AP OP senα Utilizzando la calcolatrice α tg ( 9,7) e β 90 α Nota: il problema poteva essere risolto anche così AP tgα AP OA tgα OA e OP si può trovare con il teorema di Pitagora. 8

5 d) Posso determinare sen α e con la calcolatrice α ( 8, 68) e per determinare OA posso 8 9 utilizzare il teorema di Pitagora oppure calcolare cos α e OA OP cos α 8 8 e) 9 OP 8 AP OP 0 OA Determino cos α (con la calcolatrice α ( 66, ) ). 0 Se non voglio utilizzare il teorema di Pitagora per determinare AP, basterà calcolare AP OP senα 0 9 sen α e avrò f) AP OA AP Posso determinare tgα (con la calcolatrice α (, 7) ). OA Se non voglio utilizzare il teorema di Pitagora per determinare OP basta ricavare da tg α.risoluzione Per esempio. tg α sen α tg AP OP senα α senα sen α (o cos α )

6 Problemi sul triangolo rettangolo. In un triangolo isoscele ABC la base AB a e e area del triangolo. sen α ( α ABC ). Determina perimetro 9 [p a ; A a ]. In un triangolo isoscele ABC di base AB, il lato obliquo CB l e tg α ( α ABC ). Determina perimetro e area del triangolo ABC. Determina infine la misura dell altezza AK relativa al lato obliquo. [ p l + l ; A l ; AK l ]. In un trapezio isoscele ABCD il lato obliquo e la base minore misurano a e cos α dove α è uno degli angoli adiacenti alla base maggiore. Determina perimetro e area del trapezio. 9 [ p a ; 6 A a ]. In un trapezio rettangolo ABCD la diagonale minore AC misura a, forma un angolo retto con il lato obliquo BC e sen α dove α è l angolo acuto adiacente alla base maggiore. Determina perimetro e area del trapezio. 68 [ p a ; A a ] 7. In un triangolo isoscele ABC di base AB il lato obliquo misura a e cos α dove α è l angolo alla base. Determina la misura delle altezze CH e AK del triangolo. 8 [ CH a ; AK a ] 6. In un trapezio rettangolo ABCD il lato obliquo BC misura 0 e la base minore DC misura 0. Sapendo che cosα, dove α è l angolo ottuso adiacente alla base minore, determina perimetro e area del trapezio. [ p 68 ; A 6 ] 0

7 7. In una semicirconferenza di diametro AB r si prolunga il diametro dalla parte di B e si considera un punto P tale che, tracciata da P la tangente t alla semicirconferenza e detto T il punto di tangenza, si abbia sen ( APT ). Tracciata la tangente t alla semicirconferenza in A e detto Q il punto di intersezione tra t e t, determina perimetro e area del triangolo APQ. [ p 8r ; 8 r A ] 8. Dato un trapezio rettangolo ABCD avente l altezza AD a, sen ( BAC) (AB base maggiore, AC diagonale minore), cos( ABC ), determina perimetro e area di ABCD. [p a + a ; A a ] 6 9. In un triangolo rettangolo ABC di BC a si consideri il punto medio O di BC e si tracci la perpendicolare a BC per O, indicando con M l intersezione di questa con il cateto AB. Sapendo che tg ( ABC), determinare il perimetro del quadrilatero ACOM. [ p a ] 0 0. In un trapezio rettangolo ABCD, la diagonale minore AC è perpendicolare al lato obliquo BC. Sapendo che AD a e che tg ( ABC), determina perimetro e area del trapezio. [ p a ; 7 a A ]. L altezza relativa all di un triangolo rettangolo misura a e l angolo che essa forma con uno dei due cateti ha coseno uguale a. Calcola perimetro e area del triangolo. [ p a ; a A ]

8 . In un triangolo isoscele ABC di base AB, il raggio della circonferenza inscritta misura r e cos( ABC ). Determina i lati del triangolo. [ AB r ; BC r ]. In un triangolo isoscele ABC di base AB, BC AC a e perimetro e area del triangolo e l altezza AK relativa a BC. 8 [ p a ; cos( ABC ). Determina 9 ] 9 A a ; AK a. In un trapezio scaleno ABCD la base minore DC è uguale ad uno dei due lati obliqui e si ha DC AD l. Sapendo che DAB π e che tg ( ABC ), determina i lati del trapezio e le funzioni goniometriche di C e D. + [ AB l ; BC l C π α.; D π ]. Un trapezio isoscele di base maggiore AB è circoscritto ad una circonferenza di raggio r e, indicato con α uno degli angoli alla base, si ha sen α. Determina i lati del trapezio. 8 [ AB r ; DC r ; CB AD r ] 6. In un triangolo rettangolo ABC di BC a si ha cot g ABC. Considera P su BC tale che BP a e traccia da P la perpendicolare all che incontra il cateto AB in Q. Determina l area del quadrilatero AQPC. a 0

9 Area di un triangolo Supponiamo di conoscere due lati di un triangolo e l angolo compreso: possiamo calcolare l area? Tracciamo l altezza AH : AH bsenγ e quindi area ( ABC) a b senγ. Osserviamo che se anche γ fosse ottuso avremo: AH b sen ( π γ ) b senγ e quindi ancora area ( ABC) a b senγ. π Se, come caso particolare, avessi γ il triangolo sarebbe rettangolo in C e infatti: area( ABC) ab π senγ sen

10 Lunghezza di una corda di una circonferenza Consideriamo una corda AB in una circonferenza di raggio r: se conosciamo un angolo alla circonferenza che insiste sulla corda possiamo trovare AB? Sappiamo che tutti gli angoli che insistono su AB sono uguali: disegniamo allora quello che ha un lato passante per il centro della circonferenza. Il triangolo ABC è rettangolo in B e quindi, essendo AB R sen α AC R : Osserviamo che questa relazione vale anche considerando un angolo β come in figura: infatti β π α (α e β sono angoli opposti di un quadrilatero inscritto in una circonferenza) e quindi sen β senα AB R senβ Quindi in generale abbiamo AB R seno (angolo alla circonferenza che insiste sulla corda AB) Esercizio: ricava il lato del triangolo equilatero, del quadrato e dell esagono regolare inscritti in una circonferenza di raggio r.

11 Circonferenza inscritta e circoscritta ad un triangolo Dato un triangolo ABC come possiamo calcolare il raggio R della circonferenza circoscritta e il raggio r della circonferenza inscritta? Cominciamo con la circonferenza inscritta. L area del triangolo e quindi: S a r + b r + S r( a + b + c) S e quindi S r p r p ABC è data dalla somma delle aree dei triangoli aventi base a, b, c e altezza r c r a + b + c ma p( semiperimetro) Quindi conoscendo l area S e il semiperimetro possiamo calcolare il raggio r della circonferenza inscritta nel triangolo. Esempio: in un triangolo equilatero ABC di lato l abbiamo: l l r l l

12 Consideriamo ora la circonferenza circoscritta al triangolo Ricordando che la corda BC diametro senα a R senα a R () senα Naturalmente è anche R b c senβ senγ Possiamo anche scrivere, moltiplicando nella () per b c numeratore e denominatore, e ricordando che bc senα area ABC S a a b c a b c R senα senα b c S Quindi conoscendo i lati del triangolo e l area posso determinare R. Esempio: in un triangolo equilatero ABC di lato l abbiamo: l l l l l R l l 6