ORDINAMENTO SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO 1

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1 ORDINAMENTO SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO 1 In cima ad una roccia a picco sulla riva di un fiume è stata costruita una torretta d osservazione alta 11 metri. Le ampiezze degli angoli di depressione per un punto situato sulla riva opposta del fiume, misurate rispettivamente dalla base e dalla sommità della torretta, sono pari a 18 e 4. Si determini la larghezza del fiume in quel punto. Indichiamo con h l altezza della roccia e con l la larghezza del fiume. Risulta: h = l tg18, h + 11 = l tg4, da cui: h tg18 = h + 11 tg4 h(tg4 tg18 ) = 11 tg18 h = 11 tg m tg4 tg18 Quindi: l = h 9.71 m m tg18 tg18 Il fiume, nel punto richiesto, è quindi largo circa metri. Considerata la funzione: f(x) = 33x a x tale costante, sapendo che lim x 0 f(x) =. QUESITO, dove a è una costante reale positiva, si determini 6 x 5x Risulta: 3 3x a x lim f(x) = lim x 0 x 0 6 x 5 x = lim x 0 e 3xln3 e xlna e xln6 e xln5 = lim (e 3xln3 1) (e xlna 1) x 0 (e xln6 1) (e xln5 1) = 1 / 8

2 3xln3 xlna 3ln3 lna = lim = x 0 xln6 xln5 ln6 ln5 = ln ( 7 a ) ln ( 6 = se ln ( 7 5 ) a ) = ln (6 ) da cui 5 ln ( 7 ) = ln (36 a 5 ) 7 a = 36 5 a = = 75 4 (Nota: ricordiamo che, se f(x) 0, risulta: e f(x) 1 ~f(x) ). QUESITO 3 Su un piano orizzontale α si pongono un cono circolare retto, il cui raggio di base è r e l altezza r, e una sfera di raggio r. A quale distanza x dal piano α bisogna segare questi due solidi con un piano orizzontale β, perché la somma delle aree delle sezioni così ottenute sia massima? La distanza x dal piano α soddisfa la limitazione: 0 x r La sezione con il cono ha area: S(cono) = π GL Determiniamo GL. Dalla similitudine fra i triangoli GLC e AEC segue che: GL: CL = AE: CE GL: (r x) = r: r GL = Quindi: S(cono) = π GL = π ( r x ) / 8 r x La sezione con la sfera ha area: S(sfera) = π SH Per il secondo teorema di Euclide applicato al triangolo rettangolo FSM risulta: SH = FH HM = x(r x) Quindi: S(sfera) = π SH = π x (r x) La somma delle aree delle sezioni è quindi:

3 S = S(cono) + S(sfera) = π ( r x ) + π x (r x) che è massima se lo è: y = ( r x ) + x (r x) = (r x) ( r x 4 + x) = (r x) ( r+3x ) = max se lo è: 4 z = (r x)(r + 3x) = 3x 4rx + 4r ; tale funzione ha per grafico una parabola con la concavità rivolta verso il basso, quindi ha il massimo nel vertice, cioè per: x = b = 4r = r, valore che soddisfa la limitazione della x. a 6 3 In conclusione: La somma delle aree delle sezioni è massima quando la distanza x dal piano di base α è uguale ai /3 del raggio di base del cono. QUESITO 4 Si dimostri che per gli zeri x 1 e x di una funzione f(x) = ax + bx + c vale la relazione f (x 1 ) + f (x ) = 0 e si dia una interpretazione geometrica della affermazione dimostrata. Risulta: f (x) = ax + b, quindi (ricordando che x 1 + x = b/a ) f (x 1 ) + f (x ) = (ax 1 + b) + (ax + b) = a(x 1 + x ) + b = a ( b a ) + b = 0 Interpretazione geometrica: le tangenti nei punti di intersezione di una parabola con l asse delle x hanno coefficienti angolari opposti. Infatti f (x 1 ) è il coefficiente angolare della tangente nel punto di ascissa x 1 ed f (x ) è il coefficiente angolare della tangente nel punto di ascissa x e la relazione f (x 1 ) + f (x ) = 0 può essere vista nella forma f (x 1 ) = f (x ). QUESITO 5 Si calcoli il valore medio della funzione f (x) = ex (x 1) x, nell intervallo 1 x. Il valor medio richiesto è dato da: b f(x)dx a b a = ex (x 1) x dx 1 = ex (x 1) 1 x dx 1 3 / 8

4 Cerchiamo una primitiva di ex (x 1) x integrando per parti: ex (x 1) x dx = ( 1 x ) (e x (x 1))dx = 1 x ex (x 1) 1 x [ex (x 1) + e x ]dx = Quindi: b f(x)dx a b a = e x + ex x + 1 x (xex e x + e x )dx = e x + ex x + ex dx = ex x + k = ex (x 1) dx 1 x = [ ex x ] = e e QUESITO 6 Si determinino a e b in modo tale che il grafico della funzione y = a x+b passi per i punti del piano xy di coordinate (1,4) e (3,8). Occorre risolvere il seguente sistema in a e b (con a>0) { 4 = a1+b 3+b da qui, dividendo membro a membro la seconda per la prima equazione: 8 = a { = a3+b a 1+b ; { = a 4 = a 1+b 1+b ; { a = a = a = ; { 4 = a 4 = a 1+b 4 = ( ) 1+b ; { 4 = ( 1 ) a = a = { = 1 ; { +1 b = ; {a = b b = 3 1+b La funzione richiesta ha quindi equazione: y = ( ) x+3 = ( 1 x+3 ) Il cui grafico è: y = 1 x+3 4 / 8

5 QUESITO 7 Un tetraedro ed un ottaedro regolari hanno gli spigoli della stessa lunghezza l. Si dimostri che il volume dell ottaedro è il quadruplo di quello del tetraedro. Ricordiamo che il volume dell ottaedro regolare di spigolo l è: V(ottaedro regolare) = l3 3 Questa formula si ottiene raddoppiando il volume della piramide regolare retta a base quadrata con spigoli tutti uguali ad l; infatti: V(tetraedro) = 1 3 l VO Ma VO = VH OH = (l 3 ) ( l ) = 1 l = l quindi: V(tetraedro) = 1 3 l l = 1 6 l3 pertanto: V(ottaedro regolare) = 1 6 l3 = l3 3 Determiniamo ora il volume del tetraedro regolare di spigolo l. Il volume del tetraedro è dato da: V(tetraedro) = 1 3 A(base) h La base è un triangolo equilatero di lato l, quindi la sua area è: A(base) = l 3 4 Determiniamo l altezza h del tetraedro. Notiamo che AH è uguale ai /3 di AM (poiché AM è mediana e H baricentro); AM, che è anche altezza del triangolo equilatero di base è data 5 / 8

6 da: AM = l 3 ; pertanto AH = 3 AM = l 3 3 Quindi (dato che il triangolo ADH è rettangolo in H) si ha: h = DH = AD AH = l 1 3 l = l 3 Pertanto: Si ha quindi: V(tetraedro regolare) = 1 3 A(base) h = 1 3 (l 3 4 ) (l 3 ) = l3 1 V(ottaedro regolare) = l3 3 = 4 (l 3 ) = 4 V(tetraedro regolare) 1 QUESITO 8 Si trovi l equazione della retta tangente alla curva di equazioni parametriche x = t e y = nel suo punto di coordinate (,1). t +1 Scriviamo la funzione in forma cartesiana. Da x = t si ricava t = x y = 8 x + 4 e sostituendo in y = t +1 si ha: y = x 4 +1 cioè: Calcoliamo la derivata prima della funzione: x y = 8 = (x +4) 16x (x +4) La tangente nel punto di coordinate (;1) ha quindi equazione: y 1 = y () (x ) = 3 64 (x ) = 1 (x ), quindi: y = 1 x + N.B. L equazione della tangente si poteva anche trovare a partire dalle equazioni parametriche della curva, mediante la formula: 6 / 8

7 y y(t 0 ) = y (t 0) x (t 0 ) (x x(t 0)) (*) Essendo t 0 il valore del parametro corrispondente al punto. Nel nostro caso risulta: x = t = t t = 1 y(1) = 1 x (t) = x (1) = ; y 4t (t) = (t + 1) y (1) = 1 Sostituendo in (*) otteniamo l equazione della tangente: y 1 = 1 (x ) y = 1 x + QUESITO 9 Si dimostri che se una funzione f(x) è derivabile nel punto x 0, ivi è anche continua; si porti un esempio di funzione continua in un punto e ivi non derivabile. Hp: f(x) derivabile in x 0 Th: f(x) continua in x 0 Dm Dall ipotesi si ha che: lim h 0 f(x 0 +h) f(x 0 ) h lim h 0 [f(x 0 + h) f(x 0 )] = lim h 0 f(x 0 +h) f(x 0 ) h = f (x 0 ) da cui: h = lim h 0 f (x 0 ) h = 0. Quindi: lim h 0 [f(x 0 + h) f(x 0 )] = 0 che è come dire che: lim h 0 f(x 0 + h) = f(x 0 ) : ciò equivale a dire che la funzione è continua in x 0. QUESITO 10 Si dimostri che la differenza dei quadrati di due lati di un triangolo è uguale alla differenza dei quadrati delle rispettive proiezioni dei lati stessi sul terzo lato del triangolo. 7 / 8

8 Dobbiamo dimostrare che: a b = BH AH. Risulta: a = h + BH e b = h + AH da cui a b = (h + BH ) (h + AH ) Quindi: a b = h + BH h AH = BH AH c. v. d Se H cade all esterno del lato AB si ha: a = BH + h, b = AH + h da cui a b = BH AH c. v. d. Se H cade all esterno in A (triangolo rettangolo di ipotenusa BC) si ha AH=0, quindi: a b = BH AH = c 0 = c Con la collaborazione di Angela Santamaria, Simona Scoleri e Stefano Scoleri 8 / 8