II-1 Funzioni. 1 Il concetto di funzione 1. 2 Funzione composta 5. 3 Funzione inversa 7. 4 Restrizione e prolungamento di una funzione 9

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1 1 IL CONCETTO DI FUNZIONE 1 II-1 Funzioni Indic 1 Il conctto di funzion 1 Funzion composta 5 3 Funzion invrsa 7 4 Rstrizion prolungamnto di una funzion 9 5 Soluzioni dgli srcizi 9 In qusta dispnsa affrontiamo il conctto di funzion, nlla sua gnralità. Succssivamnt, nll dispns ch sguono, ci concntrrmo in particolar sull funzioni rali. 1 Il conctto di funzion Qui dfiniamo un conctto assolutamnt fondamntal in matmatica: il conctto di funzion. Siano X Y du insimi. Una funzion f da X a Y è una lgg, una corrispondnza ch associa ad ogni lmnto di X uno d un solo lmnto di Y. Quindi pr ogni x X sist uno d un solo y Y associato ad x. Tal y si indica con il simbolo f(x) si può chiamar il valor dlla funzion f in x. Formalmnt si scriv f : X Y pr dir appunto ch x X! y Y : y = f(x) (la scrittura si lgg: pr ogni x ch appartin ad X sist un unico y in Y tal ch y è ugual ad f(x)). L insim X di dic il dominio dlla funzion f, l insim Y si dic il codominio dlla funzion f. Si dic anch ch la funzion f è da X ad Y, oppur dfinita in X a valori in Y. S voglio dfinir una funzion particolar dvo spcificar il suo dominio, il suo codominio la lgg di corrispondnza. Ad smpio, s scrivo f : N N, con f(n) = n+1, intndo considrar la funzion f, dfinita in N, a valori in N, ch associa ad ogni numro natural il numro stsso aumntato di uno. Pr indicar una funzion in gnral si può scrivr smplicmnt f; s c è la ncssità di indicarn dominio codominio scrivo f : X Y. A volt si usano l notazioni y = f(x) oppur x f(x), ch prò non spcificano dominio codominio; x si chiama l argomnto dlla funzion f f(x) è dtto a volt anch l immagin di x attravrso la funzion f. Nlla figura a fianco è rapprsntata una funzion dall insim X = {a,b,c,d} all insim Y = {,f,g,h,i}. Qualch smpio: La scrittura f : N N, con f(n) = n, n N dfinisc la funzion f dall insim di numri naturali nll insim di numri naturali ch associa ad ogni natural il suo doppio. La scrittura f : N N N, con f(m,n) = m+n, m,n N dfinisc la funzion f dall insim dll coppi di numri naturali nll insim di numri naturali ch associa ad ogni coppia la somma dll du componnti. Un altro smpio è la funzion f : N N 0, ch associa ad ogni n N il numro di divisori di n. 1 In qusto caso non è così smplic la formulazion dlla lgg di corrispondnza. 1 Accordiamoci sul fatto ch 1 non è un divisor di alcun numro natural ch nssun numro è divisor di s stsso. Ecco prché ho scritto ch il codominio è N 0, cioè i naturali con lo zro: infatti f(1) = 0. Abbiamo anch, pr capir com funziona, f() = 0 ( è divisibil pr 1 pr s stsso), f(3) = 0 così pr tutti i numri primi, ch sono appunto divisibili solo pr 1 pr s stssi. Invc f(4) = 1 (il ), f(6) = (il il 3),..., f(100) = 7 (,4,5,10,0,5,50),... Qusta funzion ha valor zro sui numri primi solo su qusti. X a b c d f g Y h i

2 1 IL CONCETTO DI FUNZIONE Altr dfinizioni importanti. Supponiamo di avr una funzion f : X Y. Dfinizion S A X si chiama immagin di A attravrso f l insim f(a) = { f(a) : a A }. A X f(a) Y Ossrvazioni L immagin di A è quindi l insim dgli lmnti f(a), al variar di a nll insim A; si tratta dll insim di valori ch la funzion può assumr in corrispondnza dgli lmnti dll insim A d è chiaramnt un sottoinsim di Y, quindi f(a) Y. Si ossrvi, com caso particolar, ch f({x}) = {f(x)}, pr ogni x X, cioè l immagin dll insim {x} è l insim il cui unico lmnto è f(x). Nll altro caso particolar A = X l immagin di X attravrso f, cioè f(x), è dtta anch l immagin di f. Si tratta dll insim di tutti i valori ch la funzion può assumr. Non è dtto ch tal insim sia tutto l insim Y. Dfinizion S B Y si chiama controimmagin (o immagin invrsa) di B attravrso f l insim f 1 (B) = { x X : f(x) B }. f 1 (B) X B Y Ossrvazion È tradizionalmnt un conctto difficil pr molti studnti. La controimmagin di un insim B (B è un sottoinsimdi Y) è quindi l insim dglilmnti di X lacui immaginsta in B. Ovviamntquindi f 1 (B) X. Nl caso particolar B = Y la controimmagin di Y, cioè f 1 (Y) è ugual ad X, dato ch tutti gli lmnti di X hanno corrispondnt in Y. Si noti anch ch ovviamnt la controimmagin di {f(x)} contin x, ma in gnral ssa può contnr anch altri lmnti oltr ad x, dato ch possono ssrci altri lmnti ch hanno pr immagin f(x). Si rifltta infatti ch una cosa è dir ch ad ogni x X corrispond un solo f(x) ( tutt l funzioni hanno qusta proprità), altra cosa è dir ch dato un y Y sso sia il corrispondnt di un solo x X. Qualch smpio su immagin controimmagin. Data la funzion f : N N, con f(n) = n, l immagin dlla funzion (cioè l immagin di tutto il dominio, com abbiamo visto) è l insim di numri naturali pari. L immagin dll insim A = {1,,3,4,5} è l insim di numri naturali pari minori o uguali a 10 possiamo scrivr quindi f(a) = {,4,6,8,10}. L immagin di naturali dispari è ancora l insim di naturali pari. Com si vd, l immagin di una funzion, non è ncssariamnt ugual al codominio. La controimmagin dll insim B = {10,11,1,13,14,15} è l insim {5,6,7} scrivrmo quindi f 1 (B) = {5, 6, 7}. La controimmagin dll insim di numri dispari è l insim vuoto. Data la funzion f : N N, con f(n) = n, l immagin dll insim A = {1,,3,4,5} è l insim {1,4,9,16,5}. L immagin dlla funzion è vidntmnt l insim di naturali ch sono quadrati, quindi anch qui solo una part di naturali. La controimmagin dll insim B = {n N : n 100} è l insim {n N : n 10}. La controimmagin dll insim di numri pari è l insim di numri pari, mntr la controimmagin di dispari è data dai dispari: qusto prché il quadrato di un numro pari è un numro pari, mntr il quadrato di un numro dispari è un numro dispari. Data la funzion f : N N N, con f(m,n) = m+n, l immagin dll insim L immagin dlla funzion è l insim N\{1}. 3 A = { (1,1),(1,),(,1),(1,3),(3,1) } è l insim {,3,4}. La controimmagin dll insim B = {10} è l insim { (1,9),(,8),(3,7),(4,6),(5,5),(6,4),(7,3),(8,),(9,1) }. Quindi, s x X con f(x) indichiamo l immagin di x attravrso f, d è un lmnto di Y; s A X, con f(a) indichiamo l immagin di A attravrso f, d è un sottoinsim di Y. 3 Ricordo ch \ è il simbolo di diffrnza tra insimi: N\{1} è l insim di naturali divrsi da 1.

3 1 IL CONCETTO DI FUNZIONE 3 Vdiamo ora du proprità ch possono avr l funzioni. Dfinizioni Diciamo ch la funzion f : X Y è inittiva s ad lmnti distinti di X associa lmnti distinti di Y. Formalmnt, f è inittiva s t,z X, t z f(t) f(z). Diciamo invc ch la funzion f : X Y è surittiva s la sua immagin coincid con il codominio. Formalmnt, f è surittiva s f(x) = Y. Diciamo infin ch f è biittiva s è contmporanamnt inittiva surittiva. g g d c f c f c g b a d funzion inittiva b a d funzion non inittiva b f a funzion surittiva d c b f a funzion non surittiva A commnto dll rapprsntazioni qui sopra, la prima da sinistra illustra una funzion inittiva poiché a lmnti distinti associa lmnti distinti. La sconda non è inittiva prché gli lmnti a c hanno la stssa immagin. La trza è surittiva prché tutti gli lmnti dl codominio, ch è {,f,g}, sono immagin di qualch lmnto dl dominio. Infin la quarta non è surittiva prché l lmnto dl codominio non è immagin di alcun lmnto dl dominio. Possiamo anch notar ch solo la prima è inittiva solo la trza è surittiva. Ossrvazioni Una funzion è inittiva s solo s pr ogni y Y l immagin invrsa di {y} contin al più un lmnto. Qusto significa infatti ch non ci sono lmnti in X ch hanno la stssa immagin. Una funzion è surittiva s solo s pr ogni y Y l immagin invrsa di {y} contin almno un lmnto. Qusto significa infatti ch ogni lmnto di Y è immagin di qualch lmnto di X quindi ch f(x) = Y. Quindi una funzion è biittiva s solo s pr ogni y Y l immagin invrsa di {y} contin sattamnt un (uno uno solo) lmnto. Vdiamo qualch smpio con l funzioni ch abbiamo già usato prima. Data la funzion f : N N, con f(n) = n, ssa è inittiva, dato ch numri naturali distinti hanno ovviamnt immagini distint. La funzion non è surittiva dato ch, com già ossrvato, la sua immagin è formata dai soli numri pari, ch non sono tutti i numri naturali. Quindi qusta funzion non è biittiva. Anch la funzion f : N N, con f(n) = n, è inittiva ma non surittiva. La funzion f : N N N, con f(m,n) = m+n, non è né inittiva, né surittiva. Infatti l du coppi (1,) (,1) hanno la stssa immagin 3. 4 La funzion non è nmmno surittiva dato ch, com già ossrvato, l immagin è N\{1} non tutto N. Un smpio di funzion biittiva è invc la funzion f : Z Z, con f(z) = z + 1. Essa è inittiva dato ch aggiungndo 1 a du numri intri distinti si ottngono intri distinti. Essa è anch surittiva dato ch l immagin è tutto l insim Z. 5 g Ossrvazion S una funzion f : X Y non è surittiva, c è un modo abbastanza smplic indolor pr rndrla surittiva. Basta modificar qullo ch vin dichiarato il suo codominio, sostitundolo con l immagin dlla funzion f, cioè qullo ch abbiamo indicato con f(x). Infatti, s scriviamo f : X f(x), snza modificar nint altro, avrmo crtamnt una funzion surittiva, dato ch ora, pr la dfinizion data, l immagin coincid con il codominio. Così, ad smpio, la funzion f(n) = n sarà surittiva s com suo codominio dichiaro l insim di naturali pari. 4 Si ricordi ch la funzion è inittiva s l immagini sono distint pr ogni sclta di valori distinti nl dominio. Quindi basta trovar un solo controsmpio, cioè un caso in cui qusto non si vrifica, pr provar ch la funzion non è inittiva. 5 Pr provar qusto basta ad smpio dimostrar ch, dato un qualunqu numro intro t sist almno una controimmagin, cioè un intro z tal ch z +1 = t. Tal intro è ovviamnt t 1. Si noti ch la stssa lgg di corrispondnza dfinita in N anziché in Z (cioè la funzion f : N N, con f(n) = n+1) è inittiva ma non surittiva!

4 1 IL CONCETTO DI FUNZIONE 4 Esmpi Chiudo qusta szion con qualch smpio di funzioni ch pr alcuni asptti hanno qualch lmnto di novità. Lo studnt ricordi qusti smpi prché nl corso di Statistica, più prcisamnt nlla dfinizion di probabilità, qust situazioni si prsntano. Il conctto di funzion è stato dfinito in qusta dispnsa nlla sua gnralità, intndo ch una funzion può ssr dfinita in un qualunqu insim ( avr valori in un qualunqu insim), non soltanto in un insim di numri (N, Z,...). 6 Qui voglio prsntar il caso di una funzion dfinita sui sottoinsimi di un insim dato. Considriamo un insim qualunqu A. Possiamo dfinir una funzion su alcuni sottoinsimi di A(o su tutti i sottoinsimi di A, cioè sull insim dlla parti di A). Ad smpio, sia A un insim finito (cioè con un numro finito di lmnti). Dfiniamo la funzion ϕ : PA N 0 dfinita da ϕ(b) = numro di lmnti di B. La funzion ϕ associa quindi ad ogni sottoinsim B di A il numro di lmnti dl sottoinsim. Si noti ch l ipotsi ch A sia finito è important, altrimnti sarmmo in difficoltà nl dar un valor ai sottoinsimi infiniti (si potrbb anch scrivr: numro di lmnti = +, ma = + non è un numro). Si noti anch ch sono costrtto ad utilizzar com codominio l insim N 0, anziché l insim N. Prché? 7 Ci si potrbb chidr s qusta funzion ϕ è inittiva o surittiva, ma lo lascio com facil srcizio a chi lgg. Altro smpio potrbb ssr il sgunt. Dfiniamo la funzion { minb s B ψ : PN N 0 dfinita da ψ(b) = 0 s B =, intndndo con minb, ma è facil intuirlo, il minimo dll insim B. 8 Anch qui lascio allo studnt l srcizio di stabilir s qusta funzion ψ è inittiva o surittiva. Esrcizio 1.1 Data la funzion (a) l immagin dll insim {1,, 3}; (b) l immagin di f; f : N N, con f(n) = n +1, pr ogni n N, si dtrmini (c) l insim f 1 ({1,,3}), cioè la controimmagin dll insim {1,,3}. (d) La funzion f è biittiva? Esrcizio 1. Data la funzion (a) l immagin dll insim {1,, 3}; f : Z Z, con f(z) = z +1, pr ogni z Z, si dtrmini (b) l insim f 1 ({1,,3}), cioè la controimmagin dll insim {1,,3}. (c) È vro ch f(n) = f(z)? La funzion f è biittiva? Esrcizio 1.3 si dtrmini Data la funzion (a) l immagin dll insim {0, 1,, 3}; (b) l immagin di f; f : Z Z, con f(z) = z 10, pr ogni z Z, (c) l insim f 1 ({0,1,,3}), cioè la controimmagin dll insim {0,1,,3}; (d) l insim f 1 (N), cioè la controimmagin dll insim N. 6 Così potrmmo pnsar ad smpio ad una funzion dfinita sull insim di rsidnti nlla provincia di Vicnza, funzion ad smpio ch associa a ciascuno la sua data di nascita. Tal funzion è dfinita su un insim non numrico ha valori in un insim non numrico, almno non nl snso di numri naturali, intri,... 7 Dato ch la funzion ϕ è dfinita sull insim dll parti di A, cioè su ogni sottoinsim di A, ch tra i sottoinsimi di A c è anch l insim vuoto, ch ha zro lmnti, non potri usar N, ch non contin lo zro. 8 Qui pr la vrità do pr scontato ch ogni sottoinsim non vuoto di numri naturali abbia minimo, cioè un lmnto minor o ugual a tutti gli altri.

5 FUNZIONE COMPOSTA 5 Esrcizio 1.4 Data la funzion f : N N, con f(n) = { n s n è pari n s n è dispari, si dtrmini (a) l immagin dll insim {1,, 3}; (b) la controimmagin dll insim {n N : n 10}. Funzion composta Siano X, T Y tr insimi siano f g du funzioni, con f : X T g : T Y. Prima di dar una dfinizion formal di funzion composta, crco di dar l ida. Dato un qualunqu lmnto x X, applicando la funzion f possiamo ottnr l lmnto f(x) T. A qusto ora possiamo applicar la funzion g, ottnndo così l lmnto g(f(x)) Y. Prtanto vniamo così a dfinir una funzion ch ad ogni x X associa un lmnto in Y. Essa prnd il nom di funzion composta di f g si indica col simbolo g f. Si noti l ordin in cui vngono scritt l du funzioni: scrivndo g f (ch quival a g(f)) vuol dir ch prima opra f poi opra g. Ecco la dfinizion formal: si chiama funzion composta di f g la funzion g f : X Y, dfinita da (g f)(x) = g(f(x)), pr ogni x X. f X T Y g f Ossrvazioni Si noti ch, nlla funzion composta g f, i valori attravrso la prima (nl nostro caso la f) divntano gli argomnti dlla sconda (la g). Il simbolo è appunto il simbolo di composizion tra funzioni. Si noti ancora ch nlla nostra dfinizion il codominio dlla prima funzion(la f) coincid col dominio dlla sconda (la g). La cosa è rilvant: qusto consnt di scrivr g(f(x)), dato ch f(x) appartin crtamnt al dominio di g. Invc potrbb non avr significato la scrittura f(g(x)), dato ch g(x) Y Y potrbb non avr nulla a ch far con X, ch è il dominio di f. Quindi l ordin di composizion dll funzioni è fondamntal. Possiamo dir ch la composizion tra funzioni è un smpio di oprazion (tra funzioni) non commutativa. Vdiamo ora qualch smpio sulla composizion. Siano f : N N, con f(n) = n+1 g : N N, con g(n) = n. Possiamo costruir la funzion composta g f, ch avrà pr dominio N pr codominio N. La sua sprssion è pr dfinizion (g f)(n) = g(f(n)) = (n+1), pr ogni n N. In qusto caso si può costruir anch la funzion composta (f g)(n) = f(g(n)) = n +1, anch ssa da N ad N. Si noti ch l du sprssioni dll funzioni compost non sono uguali. Siano f : Z N, con f(z) = z +1 g : N Z, con g(n) = ( 1) n. Possiamo costruir la funzion composta g f, ch avrà pr dominio Z pr codominio Z. La sua sprssion è pr dfinizion (g f)(z) = g(f(z)) = ( 1) f(z) = ( 1) z +1, pr ogni z Z. Anch in qusto caso possiamo costruir pur la funzion composta f g, dato ch il codominio di g il dominio di f coincidono. La funzion composta f g avrà pr dominio N pr codominio N. La sua sprssion è pr dfinizion (f g)(n) = f(g(n)) = (g(n)) +1 = (( 1) n ) +1 = ( 1) n +1 =, pr ogni n N. Com si vd g f f g sono du funzioni divrs, sia prché sono dfinit tra insimi divrsi, sia prché hanno sprssioni divrs (g f val 1 o 1, mntr f g val smpr ). Quindi in gnral ricordar ch primo: non è dtto si possa far la composizion in ntrambi i snsi scondo: quando anch si può far, può portar a funzioni compltamnt divrs tra loro. g

6 FUNZIONE COMPOSTA 6 Indichiamo con P l insim di naturali pari, cioè {,4,6,...} siano f : P P, con f(p) = p g : P N, con g(p) = p. 9 Possiamo costruir la funzion composta g f, ch avrà pr dominio P pr codominio N. La sua sprssion è pr dfinizion (g f)(p) = g(f(p)) = p / = p, pr ogni p P. 4 Non è invc possibil costruir la funzion composta f g. Possiamo constatarlo in du modi. Il primo è molto smplic: considriamo p = crchiamo di calcolar (f g)() = f(g()). Dato ch g() = 1, non possiamo calcolar f(1) in quanto 1 non è pari. Il scondo modo è fors più gnral: dato ch g(p) = p, f(g(p)) avrbb sprssion f(p ) = (p/) ma s p è pari non ncssariamnt p è divisibil pr 8 quindi in qualch caso la f non la posso calcolar. Siano f : N Z, con f(n) = ( 1) n g : Z Q, con g(z) = z z = p /4 = p 8, Possiamo costruir la funzion composta g f, ch avrà pr dominio N pr codominio Q. La sua sprssion è pr dfinizion (g f)(n) = g(f(n)) = [f(n)] f(n)+1 = [( 1) n ] ( 1)n +1, pr ogni n N. Possiamo vdr facilmnt ch, pr n pari (g f)(n) = = 1 pr n dispari (g f)(n) = ( 1) 1+1 = 1. Quindi la funzion composta è la funzion ch val 1 pr ogni numro natural. In qusto caso non si può costruir la funzion composta f g, dato ch il codominio dlla g è l insim di numri razionali, mntr il dominio di f è l insim di naturali. Possiamo anch ossrvar ch l sprssion dlla funzion composta f g si può formalmnt scrivr, d è (f g)(z) = ( 1) zz+1, ma ch tal scrittura può prdr di significato: si pnsi ad smpio al suo significato pr z =. Ossrvazion Riflttndo sulla dfinizion di funzion composta si può ossrvar ch ssa può ssr dfinita in una situazion lggrmnt più gnral, qulla in cui il codominio dlla prima funzion è contnuto nl dominio dlla sconda. Siano allora f : X T g : V Y sia T V. g La funzion g f : X Y, dfinita com prima da (g f)(x) = g(f(x)), f V è la funzion composta di f g. Qusto può ssr util in alcuni casi pr dfinir la funzion composta X T Y in qusta situazion più gnral. Ad smpio, con l funzioni f : Z Z, con f(z) = z +1 g : Z N, con g(z) = z, si può crtamnt costruir la funzion composta g f, con dominio Z codominio N d sprssion (g f)(z) = g(f(z)) = f(z) = z+1, pr ogni z Z. Ma tnndo in considrazion quanto dtto poco fa possiamo anch costruir la funzion composta f g, con dominio Z codominio Z d sprssion Esrcizio.1 (f g)(z) = f(g(z)) = g(z)+1 = z +1 = z +1 +1, pr ogni z Z. Dat l funzioni f : Z N, con f(z) = z + g : N N, con g(n) = n+1, si scrivano l sprssioni dll funzioni compost f g g f; 9 L du dfinizioni di f g mritano un commnto, pr capir ch sono ntramb bn post. S p è un numro pari, allora p è divisibil pr 4 di consgunza p è divisibil pr, cioè è pari ( quindi posso scrivr f : P P). Pr quanto riguarda la funzion g, s p è pari, allora p è crtamnt un numro natural (non ncssariamnt pari) quindi posso scrivr g : P N. Si rifltta sul fatto ch occorr smpr chidrsi s una data dfinizion sia bn posta, in quanto potrbb sfuggir qualch dttaglio ch invc la rnd priva di snso. Un smpio di dfinizion mal posta è f : N N, con f(n) = n : infatti, s n è dispari, n non è un numro natural. 10 Si ossrvi ch la potnza z z+1 è smpr dfinita d è un numro razional. Ad smpio si ha g(0) = 0 1 = 0, g( 1) = ( 1) 0 = 1 g( ) = ( ) 1 = 1.

7 3 FUNZIONE INVERSA 7 Esrcizio. Dat l funzioni f : Z Z, con f(z) = z g : Z Z, con g(t) = t, (a) si scrivano l sprssioni dll funzioni compost f g g f; l du funzioni coincidono? (b) Qual è l immagin dll insim {, 1, 0, 1, } attravrso l du funzioni compost? (c) Qual è la controimmagin dll insim {, 1, 0, 1, } attravrso l du funzioni compost? 3 Funzion invrsa Il conctto di funzion invrsa di una data funzion f è fors abbastanza intuitivo. S la f è dfinita in X a valori in Y, la sua funzion invrsa è un altra funzion, dfinita invc nl codominio Y con valori in X; non solo, ma s la f associa ad un qualunqu x X il valor f(x) nll insim Y, allora l invrsa dv associar a qusto f(x) di nuovo l lmnto x. Qusta è in fftti l ida. La domanda important ch ci si dv porr subito è s tutt l funzioni abbiano una funzion invrsa, s cioè l invrsion sia una cosa automatica ch si può far con tutt l funzioni. Ci si rnd conto abbastanza facilmnt ch non è così. Rstando ancora sul trrno dll intuitivo, si pnsi ad smpio ad una funzion ch non è inittiva, ch cioè associa a du lmnti divrsi x 1,x dll insim X lo stsso valor y Y. Si capisc ch, nl crcar una funzion ch da Y ci riporta in X avrmo difficoltà nll associar a qusto y un valor, dato ch dovrmo scglir tra x 1 x. E non possiamo dir: scgliamo ad smpio x 1, x lo assocrmo a qualcos altro, dato ch nssun altro valor di Y vniva associato ad x (si ricordi ch una funzion associa agli lmnti dl dominio un solo valor nl codominio). Ecco, così ragionando, abbiamo anch intuito la condizion affinché una funzion possa avr una funzion invrsa: la funzion dv ssr inittiva. Pr la vrità occorrrbb anch un altra proprità, ma abbiamo già visto ch qusta in pratica si può smpr avr con un smplic spdint. S la funzion f non è surittiva significa ch non tutti gli lmnti di Y sono valori ch la funzion assum. Prtanto, s vogliamo ch l invrsa sia dfinita su tutto Y, qusta invrsa non potrmo costruirla. Quindi la f dv anch ssr surittiva. Ma abbiamo già ossrvato in prcdnza ch pr avr una funzion surittiva basta dichiarar un codominio coincidnt con l immagin dlla funzion stssa. Quindi la vra proprità ch non può mancar pr avr la funzion invrsa è l inittività, salvo far psanti modifich sul dominio. Quando una funzion ha una funzion invrsa, si dic ch è invrtibil. Fornisco qui di sguito un modo più rigoroso di dfinir la funzion invrsa. Gli studnti, avndo appna visto ch cosa significa in pratica, crchino di riflttr anch sull approccio rigoroso. S X è un insim, la funzion ch ad ogni x X associa l lmnto x stsso si chiama funzion idntità su X. La indichiamo con il simbolo i X. Prtanto X i X : X X i X (x) = x, x X. x Si tratta di una funzion molto smplic, ch può ssr dfinita in un qualunqu insim. È la funzion ch in pratica non trasforma nulla, facndo corrispondr ad ogni lmnto l lmnto stsso. Vniamo ora alla dfinizion di funzion invrsa. Sia f : X Y. La funzion f si dic invrtibil s sist una funzion g : Y X tal ch g f = i X f g = i Y. Ossrvazion Si tratta di una dfinizion non oprativa: non ci dic com far pr riconoscr s una funzion è invrtibil oppur no. L invrtibilità di una f dipnd dall sistnza o mno di un altra funzion, la g. La richista ch si fa sulla g è ch la composizion con la f, ni du vrsi, dia com risultato la funzion idntità, sia su X sia su Y. S f è invrtibil, la funzion g si chiama funzion invrsa di f si indica col simbolo f Com già dtto, alcun funzioni sono invrtibili, altr non lo sono. Il risultato gnral è il sgunt: Proposizion La funzion f : X Y è invrtibil s solo s f è biittiva. 11 Il simbolo è lo stsso già usato pr indicar la controimmagin. Là prò dfiniva un insim, qui dfinisc una funzion. X f g Y

8 3 FUNZIONE INVERSA 8 Vdiamo alcuni smpi. Abbiamo già visto prima ch la funzion f : Z Z, con f(z) = z + 1 è biittiva. Troviamo la sua funzion invrsa. Prso un qualunqu t Z, l lmnto z Z tal ch f(z) = z+1 = t è vidntmnt z = t 1. Quindi la funzion invrsa è la g(t) = t 1, con g : Z Z. La funzion f : Z Z, con f(z) = z è biittiva, ssndo inittiva surittiva (facil srcizio). Quindi ssa è invrtibil. La sua funzion invrsa è vidntmnt la funzion stssa, dato ch f(f(z)) = f( z) = ( z) = z pr ogni z Z. Abbiamo visto ch la funzion f : N N, con f(n) = n non è biittiva in quanto non è surittiva. S prò com codominio prndiamo l insim P di numri pari, cioè poniamo f : N P, con f(n) = n, allora la funzion f è biittiva quindi invrtibil. La sua funzion invrsa è naturalmnt la funzion g : P N, con g(p) = p. Qusto smpio mostra ch l invrtibilità di una funzion può dipndr dal dominio o dal codominio ch scgliamo. Infatti qui abbiamo fatto divntar la funzion surittiva cambiando il suo codominio. (Esmpio difficil) Anch la funzion f : N Z, con f(n) = 1 4 ( 1)n (n+( 1) n 1) è biittiva (lo si vrifichi distingundo i du casi n pari d n dispari costrundo una tablla ch riporti n f(n) pr i primi valori di n). Prtanto è invrtibil. La funzion invrsa è la funzion g : Z N dfinita da z z > 0 g(z) = 1 z z < 0 1 z = 0. Tornrmo con altri smpi quando saminrmo l funzioni di R in R. Esrcizio 3.1 Data la funzion f : N N, con f(n) = { n+1 s n è dispari n 1 s n è pari, si dtrmini (a) l immagin dll insim {1,,3,4}; è vro ch pr ogni A N l immagin di A è A? (b) l immagin di f; (c) la controimmagin dll insim {1,, 3}. (d) La funzion f è invrtibil? Esrcizio 3. Data la funzion { f : N N, con f(n) = n/ s n è pari (n+1)/ s n è dispari, si dtrmini (a) l immagin dll insim {1,, 3, 4}; (b) l immagin di f; (c) la controimmagin dll insim {1,, 3, 4}. (d) La funzion f è invrtibil?

9 5 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI 9 4 Rstrizion prolungamnto di una funzion Anch qui do prima l ida di conctti ch voglio sporr. Talvolta c è la ncssità o la convninza di considrar una funzion in una part dl suo dominio: si parlrà allora di una rstrizion dlla funzion stssa. Altr volt, data una funzion, sarà util considrarn un altra ch è dfinita sattamnt com la prima nl dominio di qusta, inoltr è dfinita anch in qualch altro punto: parlrmo di prolungamnto. Ecco l dfinizioni formali. Data una qualunqu funzion f : X Y, s A è un sottoinsim di X, si dfinisc rstrizion di f all insim A la funzion f A : A Y, con f A (a) = f(a), pr ogni a A (f A si lgg f ristrtta all insim A). Si tratta dlla funzion, dfinita su un sottoinsim dl dominio di f, ch ni punti di tal insim coincid con f. Un paio di smpi: Data la funzion f : R R, con f(x) = x, la sua rstrizion all intrvallo [0,+ ) è la funzion g : [0,+ ) R, con g(x) = x, pr ogni x 0. Data la funzion f : (0,+ ) R, con f(x) = (1+ 1 x )x, la sua rstrizion all insim N è la funzion g : N R, con g(n) = ( 1+ 1 n) n, pr ogni n N. L utilità di qusto conctto sta nl fatto ch, rinunciando ad una part dl dominio dlla f, si può ottnr una funzion ch ha qualch proprità in più risptto ad f. Si considri il primo smpio: la funzion x x, dfinita in tutto R, non è invrtibil (non è inittiva). S prò prndiamo la sua rstrizion in [0,+ ) prndiamo qusto stsso intrvallo com codominio, la funzion risulta invrtibil. Data una qualunqu funzion f : X Y, s A è un insim ch contin X (cioè X A), si dfinisc prolungamnto di f all insim A la funzion h : A Y, con h(x) = f(x), pr ogni x X. 1 Si noti ch, ssndo X A, ogni x ch sta in X sta anch in A. Si tratta di una funzion, dfinita in un insim più grand di X, ch ristrtta ad X coincid con f. Anch qui un paio di smpi: Data la funzion f : N R, con f(n) = 1 n, un suo prolungamnto all insim N 0 (i naturali con lo zro) è, ad smpio, la funzion { 1/n n N f 0 : N 0 R, con f 0 (n) = 0 n = 0. Data la funzion f : R\{0} R, con f(x) = x x, un suo prolungamnto a tutto R è la funzion h : R R, con g(x) = x, pr ogni x R. Si noti, in qust ultimo smpio, ch sarbb rrato pnsar ch l sprssion x x in tutto R, in quanto x x x = x. Infatti, x = x solo s x 0. dfinisca già una funzion 5 Soluzioni dgli srcizi Esrcizio 1.1 (a) Dato ch f(1) =, f() = 5 f(3) = 10, l immagin dll insim {1,,3} è {,5,10}. 1 Avrmmo potuto anch dir h : A Y, tal ch h X = f.

10 5 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI 10 (b) Una scrittura gnral dll immagin di f, ch possiamo indicar con f(n), è f(n) = {n +1 : n N}, cioè l insim di numri naturali ch si possono scrivr com n + 1, dov n è un qualch numro natural. Crto qusta non dic molto. Possiamo anch lncar i primi lmnti di qusto insim, cioè scrivr f(n) = {,5,10,17,6,37,...}. (c) Sono i naturali ch hanno pr immagin 1, oppur 3: quindi (soltanto può ssr immagin di qualcosa) f 1 ({1,,3}) = {1}. (d) La funzion non è biittiva, dato ch non è surittiva: infatti, com si vd sopra, l immagin di f non coincid con tutto l insim N. In qusta szion spsso l domand chidono di fornir insimi. Gli insimi possono ssr talvolta scritti indicando tutti gli lmnti dll insim (qusto ovviamnt si può far solo s l insim è finito, cioè ha un numro finito di lmnti). Altr volt può ssr prfribil l altra notazion, qulla ch dfinisc un insim attravrso una proprità di suoi lmnti. Esrcizio 1. Si noti ch la lgg ch dfinisc la funzion f è la stssa dll srcizio prcdnt, cambiano invc gli insimi tra cui è dfinita la funzion, ch ora sono Z Z. (a) Chiaramnt è lo stsso insim dl punto (a) di prima, dato ch N Z: {,5,10}. (b) f 1 ({1,,3}) è qusta volta l insim { 1,0,1}, infatti f(0) = 1 f( 1) = f(1) =. (c) Non è vro ch f(n) = f(z). Infatti f(z) = f(n) {1}. La funzion non è biittiva, pr lo stsso motivo di prima. Esrcizio 1.3 (a) f({0,1,,3})= { 10, 9, 8, 7}. (b) f(z) = {z Z : z 10}. (c) f 1 ({0,1,,3})= {±10,±11,±1,±13}. (d) f 1 (N) = {±11,±1,±13,...} = {z Z : z 11}. Esrcizio 1.4 (a) f({1,,3})= {1,3,4}. (b) f 1 ({n N : n 10}) = {1,,3,5,7,9}. Esrcizio.1 Considriamo prima f g. È una funzion da N a N. Si ha (f g)(n) = f(g(n)) = f(n+1) = (n+1) + = 4n +4n+3. Considriamo ora g f. È una funzion da Z a N. Si ha (g f)(z) = g(f(z)) = g(z +) = (z +)+1 = z +5.

11 5 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI 11 Esrcizio. (a) Entramb l funzioni compost, cioè f g g f, sono funzioni da Z in Z. Poi (f g)(z) = f(g(z)) = f(z ) = z (g f)(z) = g(f(z)) = g( z ) = z. L du sprssioni, pur ssndo formalmnt divrs, coincidono (ricordar la dfinizion di valor assoluto). (b) (f g)({, 1,0,1,})= {0,1,4}. Ovviamnt l altra è ugual. (c) (f g) 1 ({, 1,0,1,})= { 1,0,1} l altra è ugual. Esrcizio 3.1 In qusto caso può ssr util costruir una tablla ch riporti n f(n) pr i primi valori di n. Così facndo si capisc com opra la funzion. (a) f({1,,3,4})= {1,,3,4}. Non è vro ch pr ogni A N l immagin di A è A (com invc succd pr l insim {1,,3,4}. Infatti ad smpio f({1,,3}) = {1,,4}. (b) L immagin di f è f(n) = N. (c) f 1 ({1,,3}) = {1,,4}. (d) La funzion f è invrtibil, dato ch è sia inittiva sia surittiva. Non fornisco una dimostrazion formal. Diciamo solo smplicmnt ch dalla tablla di valori, una volta capito com opra la funzion, risultano vr qust su du proprità: valori distinti hanno immagini distint (la funzion è quindi inittiva); tutti i numri naturali dl codominio sono immagin di qualch natural dl dominio (cioè f(n) = N quindi f è surittiva). Esrcizio 3. Anch qui può ssr util la tablla di primi valori. (a) f({1,,3,4})= {1,}. (b) L immagin di f è N. (c) La controimmagin dll insim {1,,3,4} è l insim {n N : n 8}. (d) La funzion f non è invrtibil, dato ch, pur ssndo surittiva, non è inittiva: infatti ad smpio f(1) = f() = 1.