3. Determinare il rendimento effettivo di un BTP triennale con cedole al 5,2% acquistato a 100,35 e venduto a 99,95.

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1 Matematica finanziaria CLAMM 20/202, giugno 202 Secondo parziale d sono rimborsati con 72 rate mensili in progressione geometrica di ragione 0, 99 al tasso i 2 = 0, Determinare la somma degli interessi pagati nel terzo anno. 2. Un prestito di d viene rimborsato con 80 rate mensili in progressione aritmetica di ragione 2 al tasso i 2 = 0, Determinare la scadenza media aritmetica e la scadenza media finanziaria al tasso i 2 delle rate 3. Determinare il rendimento effettivo di un BTP triennale con cedole al 5,2% acquistato a 00,35 e venduto a 99,95.. Un prestito di d viene rimborsato con dieci rate annue costanti al 5,9039%. Contestualmente al pagamento della seconda rata il debitore chiede di estinguere il finanziamento, ma questo richiede spese bancarie per 92,5 d. Quale è il tasso effettivo dell operazione? 5. Dato un portafoglio di tre titoli a, a 2, a 3 con matrice di covarianza è C = 2 determinare 2 l equazione della frontiera efficiente se i valori attesi di a, a 2, a 3 sono rispettivamente, 2 e 2.

2 Matematica finanziaria CLAMM 20/202, giugno 202 Secondo parziale d sono rimborsati con 72 rate mensili in progressione geometrica di ragione 0, 99 al tasso i 2 = 0, Determinare la somma degli interessi pagati nel quarto anno. 2. Un prestito di d viene rimborsato con 80 rate mensili in progressione aritmetica di ragione 3 al tasso i 2 = 0, Determinare la scadenza media aritmetica e la scadenza media finanziaria al tasso i 2 delle rate 3. Determinare il rendimento effettivo di un BTP triennale con cedole al 5,2% acquistato a 00,25 e venduto a 99,90.. Un prestito di d viene rimborsato con dieci rate annue costanti al 5,9280%. Contestualmente al pagamento della seconda rata il debitore chiede di estinguere il finanziamento, ma questo richiede spese bancarie per 35,8 d. Quale è il tasso effettivo dell operazione? 5. Dato un portafoglio di tre titoli a, a 2, a 3 con matrice di covarianza è C = 2 determinare 2 l equazione della frontiera efficiente se i valori attesi di a, a 2, a 3 sono rispettivamente, 2 e.

3 Matematica finanziaria CLAMM 20/202, giugno 202 Secondo parziale d sono rimborsati con 72 rate mensili in progressione geometrica di ragione 0, 99 al tasso i 2 = 0, Determinare la somma degli interessi pagati nel quinto anno. 2. Un prestito di d viene rimborsato con 80 rate mensili in progressione aritmetica di ragione al tasso i 2 = 0, Determinare la scadenza media aritmetica e la scadenza media finanziaria al tasso i 2 delle rate 3. Determinare il rendimento effettivo di un BTP triennale con cedole al 5,3% acquistato a 00,35 e venduto a 99,95.. Un prestito di d viene rimborsato con dieci rate annue costanti al 6,0098%. Contestualmente al pagamento della seconda rata il debitore chiede di estinguere il finanziamento, ma questo richiede spese bancarie per 25,52 d. Quale è il tasso effettivo dell operazione? 5. Dato un portafoglio di tre titoli a, a 2, a 3 con matrice di covarianza è C = 2 determinare 2 l equazione della frontiera efficiente se i valori attesi di a, a 2, a 3 sono rispettivamente, 2 e 2.

4 Matematica finanziaria CLAMM 20/202, giugno 202 Secondo parziale d sono rimborsati con 72 rate mensili in progressione geometrica di ragione 0, 99 al tasso i 2 = 0, Determinare la somma degli interessi pagati nel secondo anno. 2. Un prestito di d viene rimborsato con 80 rate mensili in progressione aritmetica di ragione al tasso i 2 = 0, Determinare la scadenza media aritmetica e la scadenza media finanziaria al tasso i 2 delle rate 3. Determinare il rendimento effettivo di un BTP triennale con cedole al 5,3% acquistato a 00,25 e venduto a 99,90.. Un prestito di d viene rimborsato con dieci rate annue costanti al 6,0205%. Contestualmente al pagamento della seconda rata il debitore chiede di estinguere il finanziamento, ma questo richiede spese bancarie per 5,3 d. Quale è il tasso effettivo dell operazione? 5. Dato un portafoglio di tre titoli a, a 2, a 3 con matrice di covarianza è C = 2 determinare 2 l equazione della frontiera efficiente se i valori attesi di a, a 2, a 3 sono rispettivamente, 2 e.

5 Soluzione. La somma degli interessi pagati fra le scadenze m e p con m < p n quando le rate non sono tutte uguali è data dalla relazione H(m, p) = p α k (δ m δ p ) k=m Siccome le rate sono in progressione geometrica abbiamo che H(m, p) = α ρ m ρ p ρ (δ m δ p ) poi valgono α = A ( + i)n ( + i ρ) ( + i) n ρ n = 29, 98 δ m = α ρ m ρ n ( + i) m n + i ρ (a) secondo anno m = 3, p = 2 = H(25, 36) = 539, 0 (b) terzo anno m = 25, p = 36 = H(25, 36) = 00, 368 (c) quarto anno m = 37, p = 8 = H(37, 8) = 27, 093 (d) quinto anno m = 9, p = 60 = H(37, 8) = 59, La scadenza media aritmetica in questo caso vale T = (n + ) (3α + 2(n )ρ) 6α + 3(n )ρ con α = A α n i ρ ( + ni) a n i n i a n i (a) ρ = 2 = α = 6, 02, T = 2, anni 6 mesi 2 giorni (b) ρ = 3 = α = 575, 852, T = 2, anni 6 mesi 2 giorni (c) ρ = = α = 537, 683, T = 3, anni 7 mesi 7 giorni (d) ρ = 5 = α = 99, 53, T =, anni 7 mesi 0 giorni La scadenza media finanziaria in questo caso vale T = ln[n(α + α n )] ln(2a) ln( + i) (a) ρ = 2 = T =, anni 5 mesi giorni (b) ρ = 3 = T = 2, 35 3 anni 6 mesi giorni (c) ρ = = T = 2, anni 6 mesi 27 giorni (d) ρ = 5 = T = 3, anni 7 mesi 20 giorni 3. Il titolo ha tre cedole annue, quindi applico la relazione = ln[n(2α + (n )ρ)] ln(2a) ln( + i) f(v) = (c + c r )v 3 + c(v 2 + v) c a = 0 La funzione di iterazione è F (v) = v f(v) f (v) = 2(c + c r)v 3 + cv 2 + c a 3(c + c r )v 2 + 2cv + c (a) c = 5, 2, c a = 00, 35, c r = 99, 95 = v = 0, = i = 0,

6 (b) c = 5, 2, c a = 00, 25, c r = 99, 90 = v = 0, = i = 0, (c) c = 5, 3, c a = 00, 35, c r = 99, 95 = v = 0, = i = 0, (d) c = 5, 3, c a = 00, 25, c r = 99, 90 = v = 0, 935 = i = 0, Lo schema è lo stesso dell esercizio 3 della simulazione: si deve risolvere l equazione di secondo grado A = αv + (α + δ 2 + s) v 2 in cui α è la rata di ammortamento, δ 2 il debito residuo dopo due pagamenti e s sono le spese bancarie. A(s + α + δ2 ) + α v = 2 α 2(s + α + δ 2 ) (a) i = 5, 90390% = α = 3 525, δ 2 = 8 307, 85 = v = 0, = i = 0, (b) i = 5, 9280% = α = 3 550, δ 2 = 8 333, 52 = v = 0, 9376 = i = 0, (c) i = 6, 0098% = α = 3 590, δ 2 = = v = 0, = i = 0, (d) i = 6, 0205% = α = 3 600, δ 2 = 8 38, 69 = v = 0, = i = 0, Le soluzioni sono (a) C = 2 µ =, µ 2 = 2, µ 3 = 2 = 2 (b) C = 2 µ =, µ 2 = 2, µ 3 = = 2 x = 5m + 6n, 7m + 8n y =, 3 7m + 58n z = 2 x = 5m + 3n, 7m + 3n y =, 3 7m + 27n z = 2 = = x = 2 µ, 9µ y =, 8 z = 6 µ 8 3(7 3µ) x =, 20 y = µ, z = 9 µ 20

7 Matematica finanziaria CLAMM 20/202, giugno 202 Totale. Un prestito di d viene rimborsato con rate mensili costanti. La quarta quota capitale è di 63,996 e la sesta quota capitale 6,5. Determinare il tasso con tre cifre decimali e la durata dell operazione. 2. Un prestito di d viene rimborsato con 60 rate mensili al tasso i 2 = 0, Determinare il valore del prestito all epoca 8 al tasso i = 0, 0 3. Un prestito di d viene rimborsato con 80 rate mensili in progressione aritmetica di ragione 2 al tasso i 2 = 0, Determinare la scadenza media aritmetica e la scadenza media finanziaria delle rate.. Determinare il rendimento effettivo di un BTP triennale con cedole al 5,2% acquistato a 00,35 e venduto a 99, Dato un portafoglio di tre titoli a, a 2, a 3 con matrice di covarianza è C = 2 determinare 2 l equazione della frontiera efficiente se i valori attesi di a, a 2, a 3 sono rispettivamente, 2 e 2.

8 Matematica finanziaria CLAMM 20/202, giugno 202 Totale. Un prestito di d viene rimborsato con rate mensili costanti. La quarta quota capitale è di 39,90532 e la sesta quota capitale 352, Determinare il tasso con tre cifre decimali e la durata dell operazione. 2. Un prestito di d viene rimborsato con 60 rate mensili al tasso i 2 = 0, Determinare il valore del prestito all epoca 2 al tasso i = 0, Un prestito di d viene rimborsato con 80 rate mensili in progressione aritmetica di ragione 3 al tasso i 2 = 0, Determinare la scadenza media aritmetica e la scadenza media finanziaria delle rate.. Determinare il rendimento effettivo di un BTP triennale con cedole al 5,3% acquistato a 00,25 e venduto a 99, Dato un portafoglio di tre titoli a, a 2, a 3 con matrice di covarianza è C = 2 determinare l equazione della frontiera efficiente se i valori attesi di a, a 2, a 3 sono rispettivamente, 2 e.

9 Matematica finanziaria CLAMM 20/202, giugno 202 Totale. Un prestito di d viene rimborsato con rate mensili costanti. La quarta quota capitale è di 226,3932 e la sesta quota capitale 228,2089. Determinare il tasso con tre cifre decimali e la durata dell operazione. 2. Un prestito di d viene rimborsato con 60 rate mensili al tasso i 2 = 0, Determinare il valore del prestito all epoca 2 al tasso i = 0, Un prestito di d viene rimborsato con 80 rate mensili in progressione aritmetica di ragione al tasso i 2 = 0, Determinare la scadenza media aritmetica e la scadenza media finanziaria delle rate.. Determinare il rendimento effettivo di un BTP triennale con cedole al 5,% acquistato a 00,35 e venduto a 99, Dato un portafoglio di tre titoli a, a 2, a 3 con matrice di covarianza è C = 2 determinare 2 l equazione della frontiera efficiente se i valori attesi di a, a 2, a 3 sono rispettivamente, 2 e 2.

10 Matematica finanziaria CLAMM 20/202, giugno 202 Totale. Un prestito di d viene rimborsato con rate mensili costanti. La quarta quota capitale è di 7,52026 e la sesta quota capitale 76, Determinare il tasso con tre cifre decimali e la durata dell operazione. 2. Un prestito di d viene rimborsato con 60 rate mensili al tasso i 2 = 0, Determinare il valore del prestito all epoca 36 al tasso i = 0, Un prestito di d viene rimborsato con 80 rate mensili in progressione aritmetica di ragione al tasso i 2 = 0, Determinare la scadenza media aritmetica e la scadenza media finanziaria delle rate.. Determinare il rendimento effettivo di un BTP triennale con cedole al 5,3% acquistato a 00,35 e venduto a 99, Dato un portafoglio di tre titoli a, a 2, a 3 con matrice di covarianza è C = 2 determinare l equazione della frontiera efficiente se i valori attesi di a, a 2, a 3 sono rispettivamente, 2 e.

11 Soluzione. Se c e c 6 sono la quarta e la sesta quota capitale, ricordato che con rate costanti si ha c = c ( + i) 3 e c 6 = c ( + i) 5 avremo che c 6 c = ( + i) 2 e questo, essendo i due valori di c e c 6 assegnati permette di calcolare il tasso. (a) ( + i) 2 = c 6 6, 5 = = i = 0, 002 c 63, 996 (b) ( + i) 2 = c 6 352, = = i = 0, 003 c 39, (c) ( + i) 2 = c 6 228, 2089 = = i = 0, 00 c 226, 3932 (d) ( + i) 2 = c 6 76, = = i = 0, 005 c 7, Per trovare la durata dell operazione devo tener presente che la somma delle quote capitale deve restituire la somma prestata, e risolvere l equazione n c k = k= n c ( + i) k = A nell incognita n in quanto avendo il tasso c si trova per esempio da c = c ( + i) 3 n Ora siccome ( + i) k = s n i la durata si ottiene risolvendo rispetto ad n l equazione k= s n i = ( + i)n i k= = A c = n = (a) ( + i) 2 = c 6 6, 5 = = i = 0, 002 = n = 20 c 63, 996 (b) ( + i) 2 = c 6 352, = = i = 0, 003 = n = 20 c 39, (c) ( + i) 2 = c 6 228, 2089 = = i = 0, 00 = n = 60 c 226, 3932 (d) ( + i) 2 = c 6 76, = = i = 0, 005 = n = 80 c 7, ( ln + A ) i c ln( + i) 2. Il valore di un prestito all epoca m e al tasso x è il valore attuale al tasso x delle rate non scadute in m. Siccome il nostro prestito è con rate uniformi, che indichiamo con α, tale valore è V (x2) m = α a n m x2 Le rate α sono date da α = α 60 0, = 68 (a) V (0,02) 8 = 7 63, 029 (b) V (0,072) 2 = 27 73, 67 (c) V (0,082) 2 = 20 76, 079 (d) V (0,062) 36 = 6, Vedi parziale clamm. Vedi parziale clamm 5. Vedi parziale clamm

12 Matematica per l impresa CLEGI 2009/ /20, giugno 202 Secondo parziale. Determinare il rendimento effettivo di un BTP triennale con cedole al 5,2% acquistato a 00,35 e venduto a 99,95 2. Risolvere il problema di Cauchy y (x) = + y2 (x) + x 2 y(0) = 2 3. Trovare i punti critici della funzione y(x) definita implicitamente dall equazione y 2 2y 2x 3 + 6x = 0. Risolvere il problema di Cauchy y (x) y(x) = y(0) = y (0) = 0 5. Si consideri la variante del modello base di Wilson in cui I(t) = t2 Q + Q 6 Quale deve essere il costo di consegna A in modo che, se l holding cost è 6 il costo minimo complessivo sia 2?

13 Matematica per l impresa CLEGI 2009/ /20, giugno 202 Secondo parziale. Determinare il rendimento effettivo di un BTP triennale con cedole al 5,2% acquistato a 00,25 e venduto a 99, Risolvere il problema di Cauchy y (x) = + y2 (x) + x 2 y(0) = 3 3. Trovare i punti critici della funzione y(x) definita implicitamente dall equazione y 2 + y 2x 3 + 6x 8 = 0. Risolvere il problema di Cauchy y (x) y(x) = 2 y(0) = y (0) = 0 5. Si consideri la variante del modello base di Wilson in cui I(t) = t2 Q + Q + 3t Quale deve essere il costo di consegna A in modo che, se l holding cost è 6 il costo minimo complessivo sia 2?

14 Matematica per l impresa CLEGI 2009/ /20, giugno 202 Secondo parziale. Determinare il rendimento effettivo di un BTP triennale con cedole al 5,3% acquistato a 00,35 e venduto a 99, Risolvere il problema di Cauchy y (x) = + y2 (x) + x 2 y(0) = 3. Trovare i punti critici della funzione y(x) definita implicitamente dall equazione y 2 2y 2x 3 + 6x = 0. Risolvere il problema di Cauchy y (x) y(x) = 3 y(0) = y (0) = 0 5. Si consideri la variante del modello base di Wilson in cui I(t) = t2 Q + Q 6 Quale deve essere il costo di consegna A in modo che, se l holding cost è 6 il costo minimo complessivo sia 2?

15 Matematica per l impresa CLEGI 2009/ /20, giugno 202 Secondo parziale. Determinare il rendimento effettivo di un BTP triennale con cedole al 5,3% acquistato a 00,25 e venduto a 99, Risolvere il problema di Cauchy y (x) = + y2 (x) + x 2 y(0) = 5 3. Trovare i punti critici della funzione y(x) definita implicitamente dall equazione y 2 + y 2x 3 + 6x 8 = 0. Risolvere il problema di Cauchy y (x) y(x) = y(0) = y (0) = 0 5. Si consideri la variante del modello base di Wilson in cui I(t) = t2 Q + Q + 3t Quale deve essere il costo di consegna A in modo che, se l holding cost è 6 il costo minimo complessivo sia 2?

16 Soluzione. Vedi secondo parziale CLAMM 2. y (x) = + y2 (x) + x 2 y(0) = a Dunque Ma siccome vale abbiamo che 3. Teorema delle funzioni implicite Metto a sistema = y a dz x + z 2 = ds = arctan y arctan a = arctan x 0 + s2 y = tan (arctan a + arctan x) tan(α + β) = y = tan α + tan β tan α tan β y = a + x ax f(x, y) x f(x, y) y 6 6x 2 = 0 = 6 6x2 2y 2 y 2 2y 2x 3 + 6x = 0 Soluzioni (x, y) = (, 2) (x, y) = (, ) (x, y) = (, 0) (x, y) = (, 2) Soluzioni seconda variante (x, y) = (, 6) (x, y) = (, 2) (x, y) = (, 2( + 2)) (x, y) = (, 2( + 2)). La soluzione del problema y (x) y(x) = n y(0) = y (0) = 0 è y(x) = n 2 (e x + e x 2) Nota bene. Non è una equazione omogenea: prima si risolve l omogenea associata y (x) y(x) = 0 che ha per integrale generale y g (x) = c e x + c 2 e x e poi si cerca una soluzione particolare della non omogenea, che per esempio è y(x) = n. Infine le costanti si trovano imponendo le condizioni iniziali. 5. Prima variante tempo di riciclo Q/ carico medio Q/2 lotto economico Q = A risposta A =. Seconda variante tempo di riciclo Q carico medio 7Q/2 lotto economico Q = 2 A/ 7 risposta A = /7.