COGNOME... NOME... Matricola... Corso Prof... Esame di ANALISI MATEMATICA I - 11 Febbraio 2011, ore 8.30
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- Ignazio Rossetti
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1 Esame di ANALISI MATEMATICA I - 11 Febbraio 2011, ore 830 A ESERCIZIO 1 (8 punti) Data la funzione = 1 + sin x 2 2 x (a) determinare lo sviluppo di MacLaurin al terzo ordine della funzione ; (b) determinare la parte principale e l ordine di infinitesimo di rispetto al campione x per x 0; (c) studiare la convergenza dell integrale 1 0 x 3 dx ESERCIZIO 2 (10 punti) Si consideri la funzione = x 3 e x+1 x (c) Dire se è possibile estendere per continuità la funzione nel punto x = 1 e, nel caso affermativo, studiare la derivabilità in tale punto (d) Determinare gli intervalli di monotonia di e gli eventuali punti di massimo e minimo locale e assoluto (d) Tracciare il grafico qualitativo di utilizzando le informazioni ricavate nei punti precedenti QUESITO 1 (6 punti) Sia f : R R una funzione derivabile in 0 e tale che f(0) = 1 e f (0) = 1 (a) Si dica quali delle seguenti funzioni sono derivabili in 0 ed in caso affermativo se ne calcoli la derivata: x, (f(sin x)) 2, x, (b) Si può dire qualcosa della derivabilità in 0 della funzione f(cos x)? QUESITO 2 (6 punti) (a) Data una funzione f : [a, b] R integrabile, si definisca la media integrale di f sull intervallo [a, b] (b) Si enunci e si dimostri il teorema della media integrale
2 Esame di ANALISI MATEMATICA I - 11 Febbraio 2011, ore 830 B ESERCIZIO 1 (8 punti) Data la funzione = sin x 3 3 x (a) determinare lo sviluppo di MacLaurin al terzo ordine della funzione ; (b) determinare la parte principale e l ordine di infinitesimo di rispetto al campione x per x 0; (c) studiare la convergenza dell integrale 1 0 x 3 dx ESERCIZIO 2 (10 punti) Si consideri la funzione = (x 1) 3 x 1 e x (c) Dire se è possibile estendere per continuità la funzione nel punto x = 0 e, nel caso affermativo, studiare la derivabilità in tale punto (d) Determinare gli intervalli di monotonia di e gli eventuali punti di massimo e minimo locale e assoluto (d) Tracciare il grafico qualitativo di utilizzando le informazioni ricavate nei punti precedenti QUESITO 1 (6 punti) Sia f : R R una funzione derivabile in 0 e tale che f(0) = 1 e f (0) = 1 (a) Si dica quali delle seguenti funzioni sono derivabili in 0 ed in caso affermativo se ne calcoli la derivata: + x, (f(e x 1)) 2, 3 x, 3 (b) Si può dire qualcosa della derivabilità in 0 della funzione f(e x )? QUESITO 2 (6 punti) (a) Data una funzione f : [a, b] R integrabile, si definisca la media integrale di f sull intervallo [a, b] (b) Si enunci e si dimostri il teorema della media integrale
3 Esame di ANALISI MATEMATICA I - 11 Febbraio 2011, ore 830 C ESERCIZIO 1 (8 punti) Data la funzione = sin x 4 4 x (a) determinare lo sviluppo di MacLaurin al terzo ordine della funzione ; (b) determinare la parte principale e l ordine di infinitesimo di rispetto al campione x per x 0; (c) studiare la convergenza dell integrale 1 0 x 3 dx ESERCIZIO 2 (10 punti) Si consideri la funzione = x 3 e x 1 x (c) Dire se è possibile estendere per continuità la funzione nel punto x = 1 e, nel caso affermativo, studiare la derivabilità in tale punto (d) Determinare gli intervalli di monotonia di e gli eventuali punti di massimo e minimo locale e assoluto (d) Tracciare il grafico qualitativo di utilizzando le informazioni ricavate nei punti precedenti QUESITO 1 (6 punti) Sia f : R R una funzione derivabile in 0 e tale che f(0) = 1 e f (0) = 1 (a) Si dica quali delle seguenti funzioni sono derivabili in 0 ed in caso affermativo se ne calcoli la derivata: x, (f(1 cos x)) 3, x, (b) Si può dire qualcosa della derivabilità in 0 della funzione f(cos 2 x)? QUESITO 2 (6 punti) (a) Data una funzione f : [a, b] R integrabile, si definisca la media integrale di f sull intervallo [a, b] (b) Si enunci e si dimostri il teorema della media integrale
4 Esame di ANALISI MATEMATICA I - 11 Febbraio 2011, ore 830 D ESERCIZIO 1 (8 punti) Data la funzione = sin x 5 5 x (a) determinare lo sviluppo di MacLaurin al terzo ordine della funzione ; (b) determinare la parte principale e l ordine di infinitesimo di rispetto al campione x per x 0; (c) studiare la convergenza dell integrale 1 0 x 3 dx ESERCIZIO 2 (10 punti) Si consideri la funzione = (x + 1) 3 x+1 e x (c) Dire se è possibile estendere per continuità la funzione nel punto x = 0 e, nel caso affermativo, studiare la derivabilità in tale punto (d) Determinare gli intervalli di monotonia di e gli eventuali punti di massimo e minimo locale e assoluto (d) Tracciare il grafico qualitativo di utilizzando le informazioni ricavate nei punti precedenti QUESITO 1 (6 punti) Sia f : R R una funzione derivabile in 0 e tale che f(0) = 1 e f (0) = 1 (a) Si dica quali delle seguenti funzioni sono derivabili in 0 ed in caso affermativo se ne calcoli la derivata: x 2 +, (f(sinh x)) 2, 3 x, 3 (b) Si può dire qualcosa della derivabilità in 0 della funzione f(e 2x )? QUESITO 2 (6 punti) (a) Data una funzione f : [a, b] R integrabile, si definisca la media integrale di f sull intervallo [a, b] (b) Si enunci e si dimostri il teorema della media integrale
5 Esame di ANALISI MATEMATICA I - 11 Febbraio 2011, ore 11 A Esercizio 1 (10 punti) Si consideri la funzione = x ( ) x 2 + arctan x 1 (c) Determinare gli intervalli di monotonia di e gli eventuali punti di massimo e minimo locale e assoluto (d) Determinare gli intervalli di convessità e gli eventuali flessi della funzione (e) Tracciare il grafico qualitativo di utilizzando le informazioni ricavate nei punti precedenti Esercizio 2 (8 punti) Si consideri il problema di Cauchy y = y2 + y 2 6, y(0) = a dove a è un parametro reale x + 1 (a) determinare i valori di a per cui il problema di Cauchy ha soluzione costante; (b) per a = 0 determinare la soluzione del problema di Cauchy; (c) Sia y(x) la soluzione trovata al punto (b) Calcolare y (0) Quesito 1 (6 punti) Sia f : R R una funzione di classe C tale che = x x5 + o(x 5 ) per x 0 Sia g(x) = f(2x) (a) Calcolare le derivate g (k) (0) per k = 1, 2, 3, 4, 5 Giustificare il procedimento seguito (b) Stabilire se x 0 = 0 è un punto di estremo per g e, in caso affermativo, studiarne la natura Giustificare il procedimento seguito (c) Si può dire qualcosa del comportamento di g nel punto x 0 = 3 4? Motivare la risposta Quesito 2 (6 punti) (a) Dare la definizione di funzione crescente e strettamente crescente su di un intervallo I (b) Enunciare i risultati che, per funzioni derivabili, collegano la proprietà di crescenza e stretta crescenza al segno della derivata (c) Sia f : R R derivabile e crescente su R Si mostri che anche f(e x + x 3 ) è crescente su R
6 Esame di ANALISI MATEMATICA I - 11 Febbraio 2011, ore 11 B Esercizio 1 (10 punti) Si consideri la funzione = x ( ) x 2 + arctan x + 1 (c) Determinare gli intervalli di monotonia di e gli eventuali punti di massimo e minimo locale e assoluto (d) Determinare gli intervalli di convessità e gli eventuali flessi della funzione (e) Tracciare il grafico qualitativo di utilizzando le informazioni ricavate nei punti precedenti Esercizio 2 (8 punti) Si consideri il problema di Cauchy y = y2 + y 6 10, y(0) = a dove a è un parametro reale x + 1 (a) determinare i valori di a per cui il problema di Cauchy ha soluzione costante; (b) per a = 0 determinare la soluzione del problema di Cauchy; (c) Sia y(x) la soluzione trovata al punto (b) Calcolare y (0) Quesito 1 (6 punti) Sia f : R R una funzione di classe C tale che = 2x x5 +o(x 5 ) per x 0 Sia g(x) = f(2x) (a) Calcolare le derivate g (k) (0) per k = 1, 2, 3, 4, 5 Giustificare il procedimento seguito (b) Stabilire se x 0 = 0 è un punto di estremo per g e, in caso affermativo, studiarne la natura Giustificare il procedimento seguito (c) Si può dire qualcosa del comportamento di g nel punto x 0 = 3 4? Motivare la risposta Quesito 2 (6 punti) (a) Dare la definizione di funzione decrescente e strettamente decrescente su di un intervallo I (b) Enunciare i risultati che, per funzioni derivabili, collegano la proprietà di decrescenza e stretta decrescenza al segno della derivata (c) Sia f : R R derivabile e decrescente su R Si mostri che anche f(x + arctan x) è decrescente su R
7 Esame di ANALISI MATEMATICA I - 11 Febbraio 2011, ore 11 C Esercizio 1 (10 punti) Si consideri la funzione ( ) x = arctan x 1 x 2 (c) Determinare gli intervalli di monotonia di e gli eventuali punti di massimo e minimo locale e assoluto (d) Determinare gli intervalli di convessità e gli eventuali flessi della funzione (e) Tracciare il grafico qualitativo di utilizzando le informazioni ricavate nei punti precedenti Esercizio 2 (8 punti) Si consideri il problema di Cauchy y = y2 + 2y 3 8, y(0) = a dove a è un parametro reale x + 1 (a) determinare i valori di a per cui il problema di Cauchy ha soluzione costante; (b) per a = 0 determinare la soluzione del problema di Cauchy; (c) Sia y(x) la soluzione trovata al punto (b) Calcolare y (0) Quesito 1 (6 punti) Sia f : R R una funzione di classe C tale che = x x5 +o(x 5 ) per x 0 Sia g(x) = f(2x) (a) Calcolare le derivate g (k) (0) per k = 1, 2, 3, 4, 5 Giustificare il procedimento seguito (b) Stabilire se x 0 = 0 è un punto di estremo per g e, in caso affermativo, studiarne la natura Giustificare il procedimento seguito (c) Si può dire qualcosa del comportamento di g nel punto x 0 = 3 4? Motivare la risposta Quesito 2 (6 punti) (a) Dare la definizione di funzione crescente e strettamente crescente su di un intervallo I (b) Enunciare i risultati che, per funzioni derivabili, collegano la proprietà di crescenza e stretta crescenza al segno della derivata (c) Sia f : R R derivabile e crescente su R Si mostri che anche f(x 3 + sinh x) è crescente su R
8 Esame di ANALISI MATEMATICA I - 11 Febbraio 2011, ore 11 D Esercizio 1 (10 punti) Si consideri la funzione ( ) x = arctan x x (c) Determinare gli intervalli di monotonia di e gli eventuali punti di massimo e minimo locale e assoluto (d) Determinare gli intervalli di convessità e gli eventuali flessi della funzione (e) Tracciare il grafico qualitativo di utilizzando le informazioni ricavate nei punti precedenti Esercizio 2 (8 punti) Si consideri il problema di Cauchy y = y2 3y 4 8, y(0) = a dove a è un parametro reale x + 1 (a) determinare i valori di a per cui il problema di Cauchy ha soluzione costante; (b) per a = 0 determinare la soluzione del problema di Cauchy; (c) Sia y(x) la soluzione trovata al punto (b) Calcolare y (0) Quesito 1 (6 punti) Sia f : R R una funzione di classe C tale che = 1 2 x4 + x 5 + o(x 5 ) per x 0 Sia g(x) = f(2x) (a) Calcolare le derivate g (k) (0) per k = 1, 2, 3, 4, 5 Giustificare il procedimento seguito (b) Stabilire se x 0 = 0 è un punto di estremo per g e, in caso affermativo, studiarne la natura Giustificare il procedimento seguito (c) Si può dire qualcosa del comportamento di g nel punto x 0 = 3 4? Motivare la risposta Quesito 2 (6 punti) (a) Dare la definizione di funzione decrescente e strettamente decrescente su di un intervallo I (b) Enunciare i risultati che, per funzioni derivabili, collegano la proprietà di decrescenza e stretta decrescenza al segno della derivata (c) Sia f : R R derivabile e decrescente su R Si mostri che anche f(e x + x 5 ) è decrescente su R
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