Modelli di PL: allocazione ottima di risorse. Un esempio Modelli a risorse condivise Modelli a risorse alternative Modelli multi-periodo

Transcript

1 Modelli di PL: allocazione ottima di risorse Un esempio Modelli a risorse condivise Modelli a risorse alternative Modelli multi-periodo

2 Allocazione ottima di robot Un azienda automobilistica produce tre diversi modelli di autovettura: economico (E), normale (N), lusso (L) ogni autovettura viene lavorata da tre robot: A, B disponibili 8 ore al giorno e C disponibile 5 ore al giorno durate della lavorazione (min) di ciascun robot su ciascuna vettura: economica normale lusso A B C il numero di autovetture L non deve superare il 20% del totale, mentre il numero di E deve essere almeno il 40% tutte le vetture vengono vendute e il profitto netto ammonta rispettivamente a 1000, 1500, 2200 Euro per ciascuna autovettura di tipo E,N e L Formulare il problema di PL che permetta di elaborare un piano di produzione che massimizzi il profitto

3 Formulazione variabili decisionali: x E, x N, x L numero di autovetture del modello risp E, N, L da produrre in un giorno funzione obiettivo: profitto dalle vendite vincolo sulla capacità produttiva vincoli sulle percentuali di vetture vincoli di non negatività max 1000x E x N x L 20x E + 30x N + 62x L x E + 42x N + 51x L x x N + 10x L 300 x L 02(x E + x N + x L) x E 04(x E + x N + x L) x E 0, x N 0, x L 0

4 Modello di PL max 1000x E x N x L subject to 20x E + 30x N + 62x L x E + 42x N + 51x L x x N + 10x L 300 x L 02(x E + x N + x L ) x E 04(x E + x N + x L ) x E, x N, x L 0 Osservazione Le variabili sono continue ma rappresentano quantità indivisibili (numero di autovetture) Dovremmo imporre che x E, x L, x N fossero intere, perdendo la linearità del problema

5 Variante Una riorganizzazione del processo produttivo permette ora di produrre un autovettura (di qualsiasi tipo) utilizzando un solo robot le nuove durate delle operazioni sono (adesso i valori di una colonna sono in alternativa!): economica normale lusso A B C nuove variabili decisionali: x ij, i = A, B, C; j = E, N, L numero di autovetture del modello j costruite dal robot i

6 Formulazione funzione obiettivo max 1000(x AE+x BE+x CE)+1500(x AN +x BN +x CN )+2200(x AL+x BL+x CL) vincolo sulla capacità produttiva 80x AE + 50x AN + 102x AL x BE + 95x BN + 71x BL x CL + 109x CN + 40x CL 300 vincoli sulle percentuali di vetture x AL + x BL + x CL 02 vincoli di non negatività x AE + x BE + x CE 04 i=a,b,c j=e,l,n i=a,b,c j=e,l,n x ij x ij x ij 0, i = A, B, C; j = E, N, L

7 Modello di PL max 1000(x AE + x BE + x CE ) (x AN + x BN + x CN ) (x AL + x BL + x CL ) subject to 80x AE + 50x AN + 102x AL x BE + 95x BN + 71x BL x CL + 109x CN + 40x CL 300 x AL + x BL + x CL 02 x AE + x BE + x CE 04 i=a,b,c j=e,l,n i=a,b,c j=e,l,n x ij 0, i = A, B, C; j = E, N, L x ij x ij

8 In generale m risorse R 1,, R m n prodotti P 1,, P n la produzione di una unità di P j richiede una quantità a ij di risorsa i P 1 P j P n R 1 a 11 a 1j a 1n R i a i1 a ij a in R m a m1 a mj a mn le risorse sono limitate: si dispone di b i unità della risorsa R i i = 1,, m profitto dalla vendita p j di una unità di P j, j = 1,, n (equivalentemente, un ricavo se p j è il prezzo)

9 Caso 1: risorse condivise variabili decisionali: x 1,, x n quantità da produrre di ciascun prodotto funzione obiettivo: profitto (proporzionalità, additività) z = p 1 x p n x n vincoli sulla capacità produttiva a 11 x a 1n x n b 1 a 21 x a 2n x n b 2 a m1 x a mn x n b m vincoli di non negatività x j 0, j = i,, n

10 Caso 2: risorse alternative variabili decisionali: x ij quantità di prodotto j da produrre con la risorsa i funzione obiettivo: profitto (proporzionalità, additività) z = p 1 m i=1 x i1 + p 2 m i=1 vincoli sulla capacità produttiva x i2 + + p n n i=1 x in = n m p j x ij j=1 i=1 a 11 x a 1n x 1n b 1 a 21 x a 2n x 2n b 2 a m1 x m1 + + a mn x mn b m vincoli di non negatività x ij 0, i = 1,, m; j = i,, n

11 Modelli multi-periodo Un industria manifatturiera fabbrica due tipi di prodotti P 1 e P 2 ogni prodotto finito richiede 4 Kg di materiale grezzo e l utilizzo di due macchine: una per la levigatura e una per la pulitura la disponibilità massima settimanale della levigatrice è 80 ore mentre quella della pulitrice è 60 ore il numero di ore di lavorazione necessarie su ciascuna macchina per ciascun prodotto finito è il seguente P 1 P 2 levigatura 4 2 pulitura 2 5

12 Modelli multi-periodo si deve programmare la produzione nelle due successive settimane nella prima si potranno vendere al più 12 prodotti P 1 e 4 prodotti P 2, mentre nella seconda al più 8 prodotti P 1 e 12 prodotti P 2 i prodotti fabbricati nella settimana 1 possono anche essere tenuti in magazzino e venduti nella settimana 2, al costo unitario di 2 Euro (indipendente dal tipo) l industria dispone settimanalmente di 75 Kg di materiale grezzo il profitto netto ottenuto dalla vendita di una unità di prodotto P 1 e P 2 è rispettivamente di 10 e 15 Euro Costruire un modello lineare che permetta di massimizzare il profitto complessivo ottenuto dalla vendita dei prodotti nelle due settimane

13 Formulazione variabili decisionali: x ij quantità di prodotto P i, i = 1, 2 fabbricato nella settimana j, j = 1, 2; y 1, y 2 quantità di prodotto risp P 1 e P 2 immagazzinato qtitàdi prodotto fabbricato x 11, x 21 qtitàdi prodotto fabbricato x 12, x 22 sett 1 magazzino y 1, y 2 sett 2 qtitàdi prodotto venduto qtitàdi prodotto venduto funzione obiettivo: ricavo prima settimana: 10(x 11 y 1 ) + 15(x 21 y 2 ) ricavo seconda settimana: 10(x 12 + y 1 ) + 15(x 22 + y 2 ) costo magazzino: 2(y 1 + y 2 )

14 Formulazione vincoli sulla capacità produttiva 4x x x x x x x x vincoli sulla disponibilità di materia prima 4x x x x 22 75

15 Formulazione vincoli sulla domanda x 11 y 1 12 x 21 y 2 4 x 12 + y 1 8 x 22 + y 2 12 vincoli di non negatività x ij 0, i = 1, 2; j = 1, 2 y 1 0, y 2 0