Geometria analitica: curve e superfici

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1 Geometria analitica: curve e superfici Sfere Coordinate sferiche e sfere in forma parametrica Sfere, rette e piani Circonferenze nello spazio Circonferenze in forma parametrica Politecnico di Torino 1

2 Sfere come luoghi geometrici Ricordiamo che, dati un punto P 0 nello spazio e un numero reale R > 0, la sfera S (P 0, R ) di centro P 0 e raggio R è il luogo dei punti la cui distanza da P 0 è R Politecnico di Torino 2

3 Equazione della sfera (1/3) Fissato un sistema di riferimento, se 3 P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) e R > 0, abbiamo l equazione di S (P 0, R ) riferita a centro e raggio: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0, : = S P R x x y y z z R 5 Equazione della sfera (2/3) La sfera di centro O = (0, 0, 0) e raggio 1 ha equazione x 2 + y 2 + z 2 = 1 (sfera unitaria). La sfera di centro (-1, 2, 3) e raggio 3 ha equazione (x + 1) 2 + (y 2) 2 + (z 3) 2 = Politecnico di Torino 3

4 Equazione della sfera (3/3) Sviluppando i quadrati nell equazione della sfera e ponendo a = -2x 0, b = -2y 0, c = -2z 0, 2 d = x + y + z R otteniamo ( ) S P0, R : x + y + z + ax + by + cz + d = 0. Nell esempio precedente abbiamo (( ) ) S 1,2,3,3 : x + y + z + 2x 4y 6z + 5= 0. 7 Sfere come luoghi di zeri (1/4) ( ) Viceversa consideriamo l insieme E = Z f definito da un equazione del tipo ( ) f x, y = λx + λy + λz + ax + by + cz + d = 0. con λ 0. A meno di dividere per λ possiamo assumere che λ = Politecnico di Torino 4

5 Sfere come luoghi di zeri (2/4) Per completamento dei quadrati abbiamo a a x + ax = x b b y + by = y c c z + cz = z Sfere come luoghi di zeri (3/4) Posto x 0 = a, y 0 = b, z0 = c a + b + c h = d 4 e ( ) ( ) ( ) E : x x + y y + z z h = Politecnico di Torino 5

6 Sfere come luoghi di zeri (4/4) Abbiamo tre casi: Se a 2 + b 2 + c 2 > 4d, allora h > 0 e, posto R = h, E è la sfera di centro P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) e raggio R ; Se a 2 + b 2 + c 2 = 4d, allora h = 0 e E è il punto P 0 = (x 0, y 0, z 0 ); Se a 2 + b 2 + c 2 < 4d, allora h < 0 e E =. 11 Esempio Consideriamo la famiglia di insiemi E k definita da E : x + y + z + 2x 4y 6z + k = 0. k Poiché ( ) ( ) ( ) E : x y 2 + z 3 + k 14 = 0. k E k è una sfera di centro (-1, 2, 3) e raggio 14 k se k < 14, coincide col punto (-1, 2, 3) se k = 14 ed è vuoto se k > Politecnico di Torino 6

7 Coordinate sferiche 3 In consideriamo il seguente cambiamento di coordinate x = ρsenϕcosθ y = ρsenϕsenθ z = ρcosϕ con ρ > 0, 0 ϕ π e 0 θ 2 π. La sfera S (O, R ) : x 2 + y 2 + z 2 = R 2 in coordinate sferiche ha equazione ρ = R Politecnico di Torino 7

8 Parametrizzazione della sfera (1/3) La sfera S (P 0, R ) : (x - x 0 ) 2 + (y - y 0 ) 2 + (z - z 0 ) 2 = R 2 di centro P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) è l immagine di S (O, R ) tramite la traslazione ( ) t P X = X + P Parametrizzazione della sfera (2/3) Abbiamo la parametrizzazione di S (P 0, R) x = Rsenϕcosθ + x 0 P ( ϕθ, ) = y = Rsenϕsen θ+ y 0, z = R cosϕ + z0 0 ϕ π, 0 θ 2 π. Le coordinate ϕ e θ si dicono rispettivamente latitudine e longitudine Politecnico di Torino 8

9 Parametrizzazione della sfera (3/3) 17 Esempio (1/2) Se P 0 = (2, -5, 1) abbiamo la parametrizzazione di S (P 0, 3) x = 3senϕ cosθ + 2 P ( ϕθ, ) = y = 3senϕsenθ 5 z = 3cosϕ ϕ π, 0 θ 2 π Politecnico di Torino 9

10 Esempio (2/2) P Se S : x 2 + y 2 + z 2 = 1, le seguenti sono parametrizzazioni della semisfera S + = S {z 0}: x = senϕ cosθ, π ϕ θ = y = senϕsen θ, 0 ϕ, 0 θ 2 π, 2 z = cosϕ 1 ( ) x = t 2 2 P2 ( t, u) = y = u, t + u 1. = 2 2 z 1 t u Politecnico di Torino 10

11 Intersezione tra sfere e piani (1/4) Se S è la sfera di centro P 0 e raggio R e Π è un piano, esiste un sistema di riferimento Oxyz tale che Π : z = 0 e P 0 = (0, 0, z 0 ) con z 0 0. Poiché i cambiamenti di riferimento sono isometrie, abbiamo z 0 = d (P 0, Π). 21 Intersezione tra sfere e piani (2/4) In tale sistema di riferimento S ha equazione ( ) = S : x y z z R. Quindi S Π è l insieme delle soluzioni del sistema x + y = R z z = Politecnico di Torino 11

12 Intersezione tra sfere e piani (3/4) Abbiamo tre casi: Se z 0 > R, S Π = ; Se z 0 = R, S Π = {(0, 0, R )} è un punto; Se z 0 < R, S Π = C è la circonferenza contenuta nel piano z = 0 di centro O e raggio R 2 z Intersezione tra sfere e piani (4/4) Dati una sfera S = S (P 0, R ), un piano Π e posto d = d (P 0, Π) si ha: Se d > R, Π èesterno a S ; Se d = R, allora S Πè un punto P e Π è tangente a S in P ; Se d < R, allora S Πèla circonferenza C di centro p Π (P 0 ) (proiezione di P 0 su Π) e raggio 2 2 R d in Π Politecnico di Torino 12

13 Piano tangente Se S = S (P 0, R ) è una sfera e P S, il piano tangente tg p (S ) a S in P è il piano passante per P con direzione ortogonale a P P 0. Infatti in questo caso d (P, Π) = d (P, P 0 ) = R, quindi P = p Π (P 0 ) e d (Q, P 0 ) > R se Q Πe Q P. Dunque S Π = {P }. 25 Esempio Se S : x 2 + y 2 + z 2 2x + 4y 6z + 3 = 0, S ha centro P 0 = (1, -2, 3) e P = (2, -1, 0) S. Poiché P P 0 = (1, 1, -3), ( ) : + 3 1= 0. tg S x y z P Politecnico di Torino 13

14 Intersezione di sfere (1/4) Se S 1 : x 2 + y 2 + z 2 + a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 e S 2 : x 2 + y 2 + z 2 + a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 sono sfere, S : x + y + z + a x + b y + c z + d = S x + y + z + a2x + b2y + c 2z + d2 = Intersezione di sfere (2/4) Sottraendo la prima equazione alla seconda abbiamo il sistema equivalente x + y + z + a1x + b1y + c1z + d1 = 0 ( a2 a1) x + ( b2 b1) y + ( c 2 c1) z + d2 d1 = 0 Il piano a a x + b b y + c c z + d d = ( ) ( ) ( ) si dice piano radicale di S 1 e S Politecnico di Torino 14

15 Intersezione di sfere (3/4) Siano S 1 = S (P 1, R 1 ), S 2 = S (P 2, R 2 ) e d = d (P 1, P 2 ) con R 1 R 2. Se d > R 1 + R 2 o d < R 1 R 2, S 1 e S 2 sono disgiunte; Se d = R 1 + R 2 o d = R 1 R 2, S 1 e S 2 sono tangenti esternamente o internamente; Se R 1 R 2 < d < R 1 + R 2, S 1 S 2 è una circonferenza. 29 Intersezione di sfere (4/4) Politecnico di Torino 15

16 Esempio (1/2) S 1 : x 2 + y 2 + z 2 2x + 4y 6z 2 = 0 e S 2 : x 2 + y 2 + z 2 2x + 2y 4z 3 = 0, sono le sfere di centri P 1 = (1, -2, 3), P 2 = (1, -1, 2) e raggi R 1 = 4 e R 2 = 3 rispettivamente. Quindi R 1 R 2 = 1 < d (P 1, P 2 ) = 2 < R 1 + R 2 = 7 e S 1 S 2 è una circonferenza C. 31 Esempio (2/2) Il piano radicale di S 1 e S 2 è Π: 2y 2z + 1 = 0, da cui x + y + z x + y z = C : 2 y 2 z + 1 = 0 Osserviamo che si può studiare S 1 S 2 tramite questa rappresentazione Politecnico di Torino 16

17 Intersezione tra sfere e rette (1/2) Se S = S (P 0, R ) è una sfera e r è una retta, possiamo ragionare come nel caso dei piani. Se d (P 0, r ) > R allora S r = e r è esterna a S ; Se d (P 0, r ) = R allora S r è un punto P e r è tangente a S in P ; Se d (P 0, r ) < R allora S r sono due punti e r èsecante S. 33 Intersezione tra sfere e rette (2/2) Osserviamo che una retta r passante per P è tangente a S se e solo se r tg P (S ). Per determinare i punti di intersezione quando esistono, conviene parametrizzare la retta e sostituire nell equazione di S Politecnico di Torino 17

18 Esempio Siano S : x 2 + y 2 + z 2 + 2x 2z 1 = 0 e x = t 1 r : y = t z = t + 1 Sostituendo otteniamo 3t 2 3 = 0, da cui t = ± 1 e S r = {(0, 1, 2), (-2, -1, 0)} Politecnico di Torino 18

19 Circonferenze in forma cartesiana (1/4) Sia S : x 2 + y 2 + z 2 + ax + by + cz + d = 0 la sfera di raggio R e centro P 0. Sia Π : αx + βy + γz + δ = 0 un piano tale che d 0 = d (P 0, Π) < R. Quindi S Π è la circonferenza C di centro 2 2 Q 0 = p Π (P 0 ) e raggio r = R d in Π Circonferenze in forma cartesiana (2/4) Il sistema x + y + z + ax + by + cz + d = αx + βy + γz + δ = 0 rappresenta la circonferenza C in forma cartesiana Politecnico di Torino 19

20 Circonferenze in forma cartesiana (3/4) 39 Circonferenze in forma cartesiana (4/4) Viceversa, assegnati Π : αx + βy + γz + δ = 0, Q 0 = (x 0, y 0, z 0 ) Πe r > 0, la circonferenza C di centro Q 0, raggio r in Π si può rappresentare in forma cartesiana con il sistema ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) = r αx + βy + γz + δ = Politecnico di Torino 20

21 Cerchi massimi Se S è la sfera di centro P 0 e raggio R e se Π è un piano tale che P 0 Π, la circonferenza C = S Π si dice cerchio massimo di S in Π. È immediato che C ha centro P 0 e raggio R. 41 Esempio (1/3) S : x 2 + y 2 + z 2 + 2x 2y 2 = 0 èla sfera di centro P 0 = (-1, 1, 0) e raggio R = 2. Se Π : 2x 2y + z + 1 = 0, allora d 0 = d (P 0, Π) = 1 < R e C = S Πè una circonferenza in Π di equazioni = 0 : x y z x y C 2 x 2 y + z + 1 = Politecnico di Torino 21

22 Esempio (2/3) Il raggio di C è 2 2 r = R d0 = 1. Se s : t (2, -2, 1) + (-1, 1, 0) è la retta ortogonale a Π per P 0, il centro di C è Q = s =,, Esempio (3/3) Viceversa, la circonferenza C di centro Q 0 =,, e raggio r = in Π : 2x 2y + z + 1 = 0 si può rappresentare come cerchio massimo in Π della sfera con stessi centro e raggio: : x + + y + z = C x 2y + z + 1= Politecnico di Torino 22

23 Circonferenza per tre punti Se P 0, P 1, P 2 sono punti non allineati, esiste una sola circonferenza C passante per tali punti. Per i = 1, 2 siano: Π il piano per P 0, P 1, P 2 ; M i il punto medio tra P 0 e P i ; Π i il piano per M i con direzione ortogonale P i P 0. Allora C è la circonferenza di centro Q 0 = Π Π 1 Π 2 e raggio R = d (P 0, Q 0 ) in Π. 45 Esempio (1/2) Se P 0 = (1, 1, -2), P 1 = (1, -1, 0), P 2 = (-1, 3, -2), allora Π : x + y + z = 0; P 1 P 0 = (0, -2, 2) e P 2 P 0 = (-2, 2, 0); M 1 = (1, 0, -1) e M 2 = (0, 2, -2). Quindi Π 1 : y z 1 = 0 e Π 2 : x y + 2 = Politecnico di Torino 23

24 Esempio (2/2) Si verifica che Q 0 = Π Π 1 Π 2 = (-1, 1, 0) e R = 2 2. Quindi x y 2 + z 2 = ( ) ( ) C : x + y + z = Retta tangente a una circonferenza Se C = S Πè una circonferenza e se P C, allora la retta tg P (C ) tangente a C in P è l intersezione del piano Π con il piano tangente tg P (S ) alla sfera S in P Politecnico di Torino 24

25 Esempio Se x + y + z z = C : x + y + z = P C e tg P (S ) : x y z 2 = 0, quindi e P = ( 1, 1,0 ), tg P ( C ) 2 0 : x y z = x + y + z = Politecnico di Torino 25

26 Circonferenze in forma parametrica (1/5) 3 Sia C una circonferenza di centro O e raggio R nel piano Π. Poiché O Π, abbiamo Π : ax + by + cz = 0, quindi Π è un sottospazio 3 vettoriale di di dimensione 2. Allora esiste una base ortonormale di Π, cioè una base {X 1, X 2 } tale che X = X = e X X = Circonferenze in forma parametrica (2/5) Se X Π, esistono unici c 1, c 2 X = c 1 X 1 + c 2 X 2. Abbiamo tali che 2 ( ) ( ) X = c X + c X c X + c X = = c X c X c c X X c c Politecnico di Torino 26

27 Circonferenze in forma parametrica (3/5) Si ha che X C se e solo se X Πe X quindi se e solo se 2 = = X c c R Pertanto X C se e solo se X = R cosθ X + Rsen θ X = R 2, ) per θ 0 2 π. 53 Circonferenze in forma parametrica (4/5) In generale, se C è la circonferenza nel piano Π di centro P 0 e raggio R, siano Π 0 il piano parallelo a Π e raggio R e passante per O ; C 0 la circonferenza di centro O e raggio R in Π 0 ; {X 1, X 2 } una base ortonormale di Π Politecnico di Torino 27

28 Circonferenze in forma parametrica (5/5) Se P ( ) ( ) = t X = X + P 0 0 P0 0. t C C è la traslazione di P 0, vale Quindi abbiamo la parametrizzazione di C ( ) = P θ R cosθx Rsen θx P, θ 0, 2 π. 55 Esempio (1/2) Sia C la circonferenza di centro P 0 = (1, -1, 1) e raggio R = 3 in Π : x + y + z -1 = 0. Una base ortonormale di Π 0 : x + y + z = 0 è X 1 1 = ( 1, 1,0 ), X = ( 1,1, 2 ) Politecnico di Torino 28

29 Esempio (2/2) Abbiamo la parametrizzazione 3 3 x = cosθ + senθ C : P ( θ) = y = cosθ + senθ z = 6senθ Politecnico di Torino 29