Geometria analitica: curve e superfici

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1 Geometria analitica: curve e superfici Quadriche Quadriche in forma canonica Quadriche in generale Coni e cilindri Curve nello spazio Coniche nello spazio Coni e cilindri in forma canonica e parametrica Superfici di rotazione 006 Politecnico di Torino 1

2 Equazione di una quadrica Una quadrica (algebrica) Q è una superficie di definita in forma cartesiana come luogo di zeri di un polinomio p (x, y, z ) di grado in tre variabili a coefficienti reali. Quindi Q ha equazione del tipo 1,1, 3,3 a x + a y + a z + + a1,xy + a1,3xz + a,3yz + + bx+ by+ bz+ c= con i coefficienti a i, j non tutti nulli Politecnico di Torino

3 Equazione matriciale L equazione in forma matriciale di Q è t Q : XAX + BX + c = 0, dove la matrice simmetrica non nulla A M 3, il 3 vettore B e lo scalare c definiscono rispettivamente la parte quadratica, la parte lineare e il termine noto. t 5 Matrice associata La matrice associata a Q è M Q a1,1 a1, a1,3 b1 a1, a, a,3 b =. a1,3 a,3 a3,3 b3 b b b c Politecnico di Torino 3

4 Esempio Se Q :3x y + 5z + 6xy + yz x + + 4y z + 1= 0, M Q = Considerazioni generali Si possono studiare le quadriche con le stesse tecniche di algebra lineare utilizzate per le coniche nel piano ottenendo sia superfici in forma cartesiana (compresi i piani) sia insiemi di altro tipo (il, punti, rette, piani, coppie di rette o di piani). Non approfondiremo tale teoria, che risulta notevolmente più complessa di quella delle coniche, ma studieremo alcuni casi importanti Politecnico di Torino 4

5 Ellissoidi (1/) Se a, b, c > 0, le quadriche + + = 1, x y z a b c si dicono ellissoidi in forma canonica con semiassi a, b, c. Osserviamo che per a = b = c abbiamo le sfere di centro O e raggio a Politecnico di Torino 5

6 Geometria analitica: curve e superfici Ellissoidi (/) 11 Iperboloidi (1/) Se a, b, c > 0, le quadriche x y z + = 1, a b c x y z = 1, a b c si dicono iperboloidi, rispettivamente a una falda e a due falde, in forma canonica con semiassi a, b, c Politecnico di Torino 6

7 Geometria analitica: curve e superfici Iperboloidi (/) 13 Paraboloidi (1/) Se a, b > 0, le quadriche x y + z = 0, a b x y z = 0, a b si dicono paraboloidi, rispettivamente ellittici e iperbolici, in forma canonica con semiassi a, b Politecnico di Torino 7

8 Geometria analitica: curve e superfici Paraboloidi (/) 15 Osservazioni Gli ellissoidi e gli iperboloidi in forma canonica hanno l origine come centro di simmetria e gli assi e i piani coordinati come assi e piani di simmetria. I paraboloidi in forma canonica hanno l asse delle z come asse di simmetria e i piani coordinati x = 0 e y = 0 come piani di simmetria Politecnico di Torino 8

9 Quadriche traslate t t Se Q : XAX + BX + c = 0è una quadrica, Q èuna quadrica traslata se A èdiagonale. Quindi abbiamo Q : ax + ay + az + bx+ by+ bz+ c= 0. In particolare, se a 1 = a = a 3, Q è una sfera, un punto o il vuoto Politecnico di Torino 9

10 Esempi (1/3) Se Q :x + y + z + 4x z 1= 0, abbiamo da cui (( ) ) x + 4x = x + 1 1, ( ) z z = z 1 1 ( ) ( ) Q : x y + z 1 = Esempi (/3) Se f è la traslazione di (-1, 0,1), e x y z Q ': + + = 1, 4 4 allora f (Q ) = Q. Quindi Q è un ellissoide con semiassi a =, b = c = e centro (-1, 0, 1) Politecnico di Torino 10

11 Esempi (3/3) Se Q : x y + x 4z 3= 0 Q :( x + 1) y 4( z + 1) = 0. Se f è la traslazione di (-1, 0, -1) e abbiamo x Q ': 0, y z = abbiamo f (Q ) = Q. Quindi Q è un paraboloide iperbolico con semiassi a =, b = 1. 1 Quadriche e isometrie (1/) t t Se ora Q : XAX + BX + c = 0 è una quadrica qualsiasi, sappiamo per il Teorema Spettrale che esiste una matrice ortogonale N di ordine 3 tale che A = t NAN è diagonale. Sia f (X ) = NX l applicazione ortogonale associata a N : f è una isometria e valgono le stesse formule di trasformazione delle coniche. 006 Politecnico di Torino 11

12 Quadriche e isometrie (/) t t Se Q ': XA ' X + NBX + c = 0, allora f (Q ) = Q. Poiché Q è una quadrica traslata, possiamo studiarla con metodi di completamento dei quadrati e di raccoglimento dei coefficienti per determinare una opportuna traslazione che la riduca a una delle forme canoniche o a una superficie riconoscibile. 3 Esempio (1/3) Sia Q la quadrica con M Q = Politecnico di Torino 1

13 Esempio (/3) Se N = 0 1 0, t NAN = e t NB = Esempio (3/3) Allora Q ':x + 3y + 4z + 4x 1= 0, da cui ( ) Q ': x y + 4z 3= 0. 3 Q è un ellissoide di semiassi a = 3 b = 1, c = e centro (-1, 0, 0) Politecnico di Torino 13

14 Definizione di cono Una superficie S dello spazio è un cono di vertice P 0 se P 0 S e se per ogni P S con P P 0 la retta per P e P 0 è contenuta in S. Quindi S è unione di rette passanti per P 0. Tali rette sono dette generatrici di S. Una curva γ S non passante per P 0 è una direttrice di S se γ interseca ogni generatrice Politecnico di Torino 14

15 Definizione di cilindro Una superficie S è un cilindro di direzione A se per ogni P S la retta per P di direzione A è contenuta in S. Quindi S è unione di rette parallele di direzione A. Tali rette sono dette generatrici di S. Una curva γ S è una direttrice di S se γ interseca ogni generatrice. 9 n Coni di vertice l origine Una funzione f : con D = n f è omogenea di grado d > 0 se f tx per ogni t. = t d f X 3 ( ) ( ) Se f : è omogenea e se S = Z (f ) è una superficie in forma cartesiana, allora S è un cono di vertice O. Infatti, P S equivale a f (P ) = 0, quindi f (tp ) = t d f (P ) = 0 per ogni t e la retta per O e P ècontenuta in S Politecnico di Torino 15

16 Esempi La quadrica Q : p( x, y, z) = x + y z + 4xy xz + 3yz = 0 è un cono di vertice O, in quanto p èomogeneo di grado. La superficie 3 S : f ( x, y, z) = xy z = 0 è un cono di vertice O, in quanto f èomogenea di grado Cilindri in direzione canonica (1/) Sia S = Z (f ) una superficie in forma cartesiana. Se f non dipende da una delle variabili, per esempio dalla z, possiamo porre f (x, y, z ) = f (x, y ). Se P = (x 0, y 0, z 0 ) S, si ha f (x 0, y 0, t + z 0 ) = f (x 0, y 0 ) = 0 per ogni t, quindi la retta per P di direzione e 3 è contenuta in S e S è un cilindro di direzione e Politecnico di Torino 16

17 Cilindri di direzione canonica (/) In generale, per i = 1,, 3, chiamiamo un cilindro di questo tipo cilindro di direzione canonica e i. La quadrica Q : y + z + 4yz + y 1= 0 è un cilindro di direzione canonica e 1. La superficie 3 S : x z = 0 è un cilindro di direzione canonica e Politecnico di Torino 17

18 Curve in forme cartesiane 3 Una curva γ in forma cartesiana è il luogo di 3 zeri di una applicazione f :. Se f = (f 1, f ), le equazioni di γ sono 1 (,, ) 0 : f x y z = γ f ( x, y, z) = 0 Possiamo vedere γ come intersezione delle superfici S 1 = Z (f 1 ) e S = Z (f ). Per esempio le rette sono intersezioni di due piani e le circonferenze di un piano e di una sfera. 35 Curve piane Una curva γ nello spazio si dice piana se esiste un piano Π che contiene γ. Se γ non è un segmento di retta (o una retta), allora Π è unico: infatti se γ Πe γ Π con Π Π, abbiamo che γ è contenuta nella retta Π Π. Rette e circonferenze sono curve piane Politecnico di Torino 18

19 Eliche (1/) La curva in forma parametrica x = cos πt γ : P () t = y = sen πt, t z = t non è piana. Infatti i punti P (0) = (1, 0, 0), 1 1 P (1) = (1, 0, 1), P = 1,0, non sono allineati e l unico piano per essi è y = 0, che non contiene γ. 37 Eliche (/) Se a, b, c > 0, le curve parametriche del tipo x = a cos πt γ : P () t = y = bsen πt, t z = ct si dicono eliche cilindriche. Tali curve non sono piane ma sono contenute nei cilindri di equazione x a y + = 1. b Politecnico di Torino 19

20 Esempio In generale le intersezioni di quadriche non sono curve piane: per esempio x + y + z = γ : xy z = contiene i punti (,0,0 ),(,0,0 ), ( 0,,0) e (,,) che non sono complanari. 39 Sezione cilindrica (1/3) Sia Π : ax + by + cz + d = 0 un piano e sia γ una curva piana di equazioni: ( x y z) f,, = 0 ax + by + cz + d = 0 Se c 0, z = Ax + By + C, con A = -a /c, B = -b /c, C = -d /c Politecnico di Torino 0

21 Sezione cilindrica (/3) Posto f 0 (x, y ) = f (x, y, Ax + By + C ), abbiamo ( x y) 0, 0 : f = γ ax + by + cz + d = 0 Quindi γ = Z (f 0 ) Π, dove Z (f 0 ) è un cilindro di direzione canonica e 3. Se a 0 o b 0, potremo avere cilindri con direzione canoniche e 1 e e rispettivamente. 41 Sezione cilindrica (3/3) Un piano con direzione ortogonale A è parallelo a un vettore B O se A. B = 0. Se γ = S Πcon S cilindro in direzione canonica e i e Π piano non parallelo a e i, diciamo che γ è in sezione cilindrica. Osserviamo che γ è una direttrice di S. In particolare, se Π è il piano coordinato ortogonale a e i chiamiamo γ la direttrice principale di S Politecnico di Torino 1

22 Esempio (1/) Se x y + z y + z = γ : y z = ponendo z = y si ottiene la sezione cilindrica x + y = γ : y z = Esempio (/) Politecnico di Torino

23 Osservazione Osserviamo che la direttrice principale del cilindro nell esempio precedente, cioè x + y = γ 0 : z = si può identificare con la circonferenza unitaria nel piano. In generale la direttrice principale di un cilindro S di direzione canonica può essere identificata con la curva nel piano definita dall equazione del 45 cilindro S. Sezioni piane Possiamo studiare e descrivere una superficie S per mezzo delle curve piane ottenute intersecando S con un fascio di piani paralleli (sezioni piane). Per esempio, le figure delle quadriche in forma canonica si possono ottenere con sezioni con i piani paralleli a uno dei piani coordinati Politecnico di Torino 3

24 Esempio Intersecando l ellissoide con semiassi, 1, 1 con i piani z = k otteniamo: Per k < 1 la famiglia di ellissi con semiassi decrescenti al crescere di k ; Per k = ± 1 i punti (0, 0, ± 1); Per k > 1 il. x y + = 1 41 ( k ) 1 k z = k Politecnico di Torino 4

25 Esempio (1/) Consideriamo la famiglia di quadriche Q k : k (k 1)x + z + xz + ky + 1 = 0. Se Π : z = 0, allora C k = Q k Π si rappresenta in sezione cilindrica come C k k k x + ky + = ( ) : z = Esempio (/) C 0 = e C 1 è la retta y = z = 0 Per k 0, 1, C k è una parabola nel piano Π identificato con il piano con sistema di riferimento Oxy Politecnico di Torino 5

26 Coniche come sezioni cilindriche (1/3) Se Q èuna quadrica e se Π è un piano non contenuto in Q, l intersezione C = Q Π èuna conica nello spazio. Infatti, se Oxyz è un sistema di riferimento in cui Π : z = 0 e se Q : p (x, y, z ) = 0 in Oxyz, posto p 0 (x, y ) = p (x, y, 0), abbiamo C come sezione cilindrica: ( x y) 0, 0 : p = C z = 0 51 Coniche come sezioni cilindriche (/3) Il polinomio p 0 è non nullo e ha grado in x, y. Quindi nel piano Π : z = 0 identificato con il piano con sistema di riferimento Oxy, l insieme C : p 0 (x, y ) = 0 è una conica, una retta o il vuoto a seconda che il grado di p 0 sia, 1 o 0. Pertanto possiamo riconoscere C come conica nel piano Politecnico di Torino 6

27 Coniche come sezioni cilindriche (3/3) Sia Q : p (x, y, z ) = 0 una quadrica. Se Q èun cilindro di direzione A, allora per ogni piano Π non parallelo a A la conica Q Π è dello stesso tipo. In particolare diremo che Q è ellittico, iperbolico o parabolico se Q Π è una ellisse, iperbole o parabola rispettivamente. Possiamo usare queste proprietà per studiare le coniche nello spazio. 53 Cono circolare La quadrica Q 0 : x + y z = 0 si dice cono circolare retto. Per ogni k 0, Q {z = k } è una circonferenza di centro (0, 0, k ), raggio k nel piano z = k Politecnico di Torino 7

28 Esempi (1/) Sia Π : x y z + 1 = 0. Allora la conica C = Q 0 Π in sezione cilindrica si rappresenta come = : x y xy x y C x y z + 1= 0 La superficie Q : 3x + 3y + xy x + y 1 = 0 è un cilindro di direzione canonica e 3 con direttrice principale un ellisse, quindi C è una ellisse. 55 Esempi (/) In modo analogo si verifica che: Se Π 1 : x + y + z 1 = 0, Q 0 Π 1 è una iperbole; Se Π : x z 1 = 0, Q 0 Π è una parabola. Intersecando Q 0 con un piano Π per O otteniamo coniche degeneri: un punto (Π : z = 0), una retta (Π : x = z ) o una coppia di rette incidenti (Π : y = 0) Politecnico di Torino 8

29 Sezioni coniche (1/) Quindi tutti i tipi di coniche non degeneri possono essere ottenuti come intersezioni di Q 0 con un piano non passante per l origine. Le coniche sono state in origine introdotte in questo modo e il loro nome deriva da sezioni coniche. 57 Sezioni coniche (/) Politecnico di Torino 9

30 Parametrizzazione (1/3) Come applicazione, parametrizziamo la conica + + = : x y z xy xz C x + y z = Sostituendo z = x + y abbiamo la sezione cilindrica + = 1 0 : x y C x + y z = 0 59 Parametrizzazione (/3) Il cilindro ellittico S : x + y 1 = 0 ha direttrice principale + = 1 0 : x y C z = 0 che si parametrizza con Q 1 ( ) = cos, sen,0, θ Politecnico di Torino 30

31 Parametrizzazione (3/3) Quindi una parametrizzazione di C è x = cosθ 1 P ( θ) : y = sen θ θ 0 π 1 z = cosθ + senθ Politecnico di Torino 31

32 Coni e cilindri con assegnata direttrice Sia γ una curva piana contenuta nel piano Π. Se P Πe A O non è parallelo a Π, allora esistono un unico cono K (γ, P ) di vertice P e un unico cilindro H (γ, A ) di direzione A con direttrice γ. Illustriamo con un esempio come ottenere coni e cilindri in forma canonica e parametrica con vertice e direttrice assegnati. 63 Direttrice assegnata Se γ è una curva piana, in generale conviene rappresentare γ in sezione cilindrica. Sia x y = 1 0 γ : x + y z = Politecnico di Torino 3

33 Cono in forma cartesiana (1/3) Se P = (1, 0, 0) e se K = K (γ, P ), X = (x, y, z ) K se e solo se X giace in una retta per P e un punto di γ, cioè se e solo se esistono X = (x, y, z ) γ e t tali che X = t (X P ) + P. 65 Cono in forma cartesiana (/3) Abbiamo il sistema ( ) x = t x ' y = ty ' z = tz ' x ' y ' 1= 0 x ' + y ' z ' = 0 Dalle prime 3 equazioni ricaviamo (per t 0): ( 1 + ) x t y z x ' =, y ' = e z ' =. t t t Politecnico di Torino 33

34 Cono in forma cartesiana (3/3) Sostituendo nelle ultime equazioni abbiamo: ( ) x 1+ t y t = 0 x + y z + t 1 = 0 Ricavando t dalla seconda e sostituendo nella prima otteniamo: K : x + y + xy xz x y + z 1= Cilindro in forma cartesiana (1/3) Se A = (1, 0, -1) e se H = H (γ, A ), X = (x, y, z ) H se e solo X giace in una retta di direzione A per un punto di γ, cioè se e solo se esistono X = (x, y, z ) γ e t tali che X = ta + X Politecnico di Torino 34

35 Cilindro in forma cartesiana (/3) Abbiamo il sistema x = t + x ' y = y ' z = t + z ' x ' y ' 1= 0 x ' + y ' z ' = 0 69 Cilindro in forma cartesiana (3/3) Sostituendo nelle ultime equazioni x = x t, y = y e z = z + t abbiamo: ( ) x t y 1= 0. x + y z t = 0 Ricavando t dalla seconda e sostituendo nella prima otteniamo: H : x 7y + z xy + xz yz 4 = Politecnico di Torino 35

36 Direttrice in forma parametrica Se γ è in forma parametrica, per esempio x = cosh() t 1 γ : y = senh () t, t 1 z = cosh() t + senh() t possiamo parametrizzare le superfici K e H. 71 Cono in forma parametrica x = ( cosh() t 1) u K : y = senh () t u, ( t, u) 1 = cosh() + senh() z t t u Politecnico di Torino 36

37 Cilindro in forma parametrica x = u + cosh() t 1 H : y = senh () t, ( t, u) 1 z = u + cosh() t + senh() t 73 Parametrizzazione del cono Se γ : P (t ) = (x (t ), y (t ), z (t )), t D e se P 0 = (x 0, y 0, z 0 ), allora con t D e u. ( ) ( ) ( ) x ( t, u) = x ( t) x 0 u + x 0 K ( γ, P0) : y ( t, u) = y ( t) y 0 u + y 0 z ( t, u) = z ( t) z 0 u + z Politecnico di Torino 37

38 Parametrizzazione del cilindro Se γ : P (t ) = (x (t ), y (t ), z (t )), t D e se A = (a, b, c ) O, allora con t D e u. (, ) ( ) ( ) = + ( ) (, ) ( ) x t u = au + x t H ( γ, A) : y t, u bu y t z t u = cu + z t Politecnico di Torino 38

39 Definizione di superficie di rotazione Siano r una retta e γ una curva nello spazio. Se P γ, sia Π P il piano per P ortogonale a r e sia C P la circonferenza di centro r Π p e raggio d (P, r ) in Π P (se P r, sia C P = P ). Allora l unione delle C P per P γ è una superficie S detta superficie di rotazione di asse r generata da γ. 77 Meridiani e paralleli Una superficie S di rotazione di asse r è trasformata in sè da tutte le rotazioni di asse r. Se θ 0 π ) e se γ θ è l immagine di γ tramite la rotazione di asse r e angolo θ, allora S è unione delle curve γ θ per 0 θ < π. Le circonferenze C P si dicono paralleli, mentre le curve γ θ si dicono i meridiani di S. Osserviamo che i meridiani sono le intersezioni di S con i piani del fascio per r Politecnico di Torino 39

40 Superfici di rotazione di asse z Studiamo le superfici di rotazione nel caso in cui l asse r è l asse z e γ è una curva piana in y = 0. Indicheremo con S γ la superficie di rotazione attorno all asse z generata da tale γ. Se γ è piana possiamo sempre ricondurci a questo caso con un cambiamento di riferimento. 79 Esempio (1/) Consideriamo la circonferenza ( ) 1 0 : x + z = γ y = 0 Se P 0 (x 0, 0, z 0 ) γ, (x, y, z ) C P0 se e solo se z = z 0 e x + y = x Politecnico di Torino 40

41 Esempio (/) Sostituendo nella prima equazione abbiamo la forma cartesiana ( ) ( ) 10( x + y ) + 6z + 9 = 0. 4 S : x + y + z + x + y z γ 81 Coordinate cilindriche Per studiare una superficie di rotazione si può utilizzare il seguente cambiamento di coordinate 3 in : x = ρ cosθ y = ρsenθ z = t con ρ > 0, t e 0 θ π. Il cilindro x + y = R ha equazione ρ = R. in coordinate cilindriche Politecnico di Torino 41

42 Esempio Una parametrizzazione di γ è P ( ϕ) = ( cosϕ +,0,sen ϕ), ϕ 0 π. Passando alle coordinate cilindriche e sostituendo ρ = cosϕ + e t = senϕ, otteniamo la parametrizzazione ( cosϕ ) ( ) x = + cosθ S : = cos + sen,, 0, γ y ϕ θ ϕ θ π. z = senϕ 83 Toro Una superficie di rotazione con generatrice una circonferenza γ e con un asse una retta complanare e esterna a γ si dice toro. z O y x Politecnico di Torino 4

43 Forma cartesiana Se ( x z), 0 : f = γ, y = 0 ( ) = ( + ) e se F x, y, z f x y, z, allora ( ) S : F x, y, z = 0. γ 85 ( ) ( ) ( ) ( ) Se γ : P t = x t,0, z t, t D, Forma parametrica ( θ) x ( t) ( ) ( ) (, θ ) z ( t) x t, = cosθ S :, = sen,, 0 γ y t θ y t θ t D θ π. z t = Politecnico di Torino 43

44 Esempi (1/) Se 0 : x z = γ y = 0 allora Sγ : x + y z = 0 è il cono circolare retto. Poiché γ : t,0, t, abbiamo ( ) x = t cosθ S : γ y = tsenθ z = t 87 ( ) ( ) Esempi (/) Se γ : P ϕ = R cos ϕ,0, Rsen ϕ, ϕ 0 π (semicirconferenza di centro O ), allora x = Rsenϕ cosθ S : sen sen, 0, 0 γ y = R ϕ θ ϕ π θ π z = R cosϕ è la sfera di centro O e raggio R Politecnico di Torino 44