Appunti di matematica per le Scienze Sociali Parte 1

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1 Appunti di matematica per le Scienze Sociali Parte 1 1 Equazioni 1.1 Definizioni preliminari Monomi Si definisce monomio ogni prodotto indicato di fattori qualsiasi, cioè uguali o diseguali, numerici o letterali, dove i fattori letterali sono elevati ad esponente intero positivo o nullo. Il monomio è l espressione algebrica più semplice. - In altre parole un monomio è un espressione algebrica in cui non figurano nè addizioni, nè sottrazioni, nè moltiplicazioni. - Si considerano, poi, monomi anche i singoli numeri, siano essi rappresentati da lettere o dati aritmeticamente. Ad esempio, sono monomi le seguenti espressioni: 1 ( 3 ; a; b2 ; 3 2 ab; 3a 2 bx 3 ;( 3)b 3 c; 5 ) a 4 x 2 y. 2 Invece non sono monomi le seguenti espressioni: 3b 2a; 1 3 a 3 b 2 ; 5a2 b 4xy. perchè, oltre alla moltiplicazione, contengono altre operazioni. Si può sempre fare in modo che in un monomio si susseguano i fattori numerici e poi le potenze letterali con la stessa base. Così si ha: (+3)a 3 xy 2 b 3 x 2 a 5 y 4 = (+3)a 3 a 5 b 3 xx 2 y 2 y 4 da cui si può ottenere (applicando la proprietà associativa ai fattori numerici e alle potenze di egual base): 9 4 a8 b 3 x 3 y 6. 1

2 Un monomio così scritto si dice scritto o ridotto sotto forma normale, perchè è un prodotto indicato di un fattore numerico e di potenze a basi letterali diverse. Il fattore numerico con il segno si chiama coefficiente del monomio, mentre il prodotto dei rimanenti fattori si dice parte letterale. Si dice grado di un monomio rispetto a una sua lettera l esponente che questa lettera ha nel monomio. Si dice grado (compessivo) di un monomio la somma degli esponenti di tutte le sue lettere. Al monomio nullo non si attribuisce alcun grado. Due monomi si dicono simili se hanno la stessa parte letterale (cioè le stesse lettere con gli stessi esponenti). Due monomi si dicono eguali se sono simili ed hanno lo stesso coefficiente. Due monomi si dicono opposti se sono simili ed hanno coefficienti opposti Polinomi Si chiama polinomio un monomio o una somma algebrica di due o più monomi. I monomi che compongono un polinomio si dicono termini del polinomio. Un polinomio si dice ridotto a forma normale quando non ha termini simili e ha tutti i suoi termini scritti sotto forma normale. A proposito dei polinomi scritti sotto forma normale e non nulli si danno le seguenti definizioni: - si chiama grado di un polinomio rispetto a una lettera il massimo grado dei suoi termini, rispetto a quella lettera. - Si chiama grado (complessivo) di un polinomio il massimo dei gradi dei suoi termini. - Si chiama termine noto di un polinomio il termine che, se esiste, è di grado zero (cioè il termine senza parte letterale). - Un polinomio si dice omogeneo se tutti i suoi termini sono dello stesso grado. 2

3 1.2 Concetto di equazione Eguaglianza fra due espressioni algebriche che risulta verificata soltanto da particolari valori delle variabili in essa contenute. Se invece l eguaglianza fra due espressioni algebriche è verificata per qualunque valore delle variabili si ha una identità. Le variabili che compaiono nell equazione si chiamano incognite; le due espressioni algebriche che formano l equazione si chiamano membri (primo membro quello a sinistra del segno di eguaglianza e secondo membro quello a destra). Se l incognita non compare a denominatore l equazione si dice intera, altrimenti è detta frazionaria. Se al di fuori delle incognite l equazione contiene solo numeri si parla di equazione numerica, altrimenti si parla di equazione letterale. Soluzione: ogni insieme di valori delle incognite che rendono i due membri uguali. Esempio a un incognita: Esempio a due incognite: x 2 5x+20 = 3x+8; ax+4 = a 2 2x 3x+2y 1 = x 5y Concetto di equazione (continua) Se non ammette soluzioni l equazione è detta impossibile (es.: x 2 = 9). Se ammette infinite soluzioni l equazione è detta indeterminata (es.: x + y = 9). Se ammette un numero finito di soluzioni l equazione è detta determinata (es.: 2x = 6). Risolvere una equazione vuol dire trovarne tutte le soluzioni(cioè l insieme soluzione). Due equazioni algebriche nella stessa incognita si dicono equivalenti quando tutte le soluzioni della prima equazione sono anche soluzioni della seconda e viceversa (cioè hanno lo stesso insieme soluzione) due equazioni equivalenti a una terza sono equivalenti fra loro. Procedimento di soluzione: trasformo una equazione in un altra equivalente ma più semplice, che poi trasformo in una equivalente ancora più semplice e così via. 3

4 1.4 Principi fondamentali sulle equazioni Ricordiamo che: Da a = b (segue che) a+c = b+c per ogni numero c. Da a+c = b+c a = b. Da a = b ac = bc. Da ac = bc a = b se c è diverso da zero. Principio di addizione: data l equazione A(x) = B(x) (1) e indicata con M(x) una espressione algebrica nella variabile x che si possa calcolare per ogni valore della x, allora l equazione (1) è equivalente all equazione: A(x)+M(x) = B(x)+M(x) Principio di trasporto: dal Principio di addizione consegue che se si trasporta un termine da un membro all altro, purchè gli si cambi il segno, si ottiene un equazione equivalente alla data: Da: A(x)+C(x) = B(x) = A(x) = B(x) C(x) dal Principio di addizione consegue che si possono trasportare tutti i termini ne primo membro cosicchè il secondo risulta zero: E(x) = 0 Proprietà di cancellazione: dal Principio di addizione consegue che se un equazione contiene lo stesso termine in entrambi i membri questo può essere eliminato: Da: A(x)+C(x) = B(x)+C(x) = A(x) = B(x) Principio di moltiplicazione e divisione: 4

5 data l equazione (1): A(x) = B(x) e indicata con M(x) una espressione algebrica nella variabile x che si possa calcolare per ogni valore della x e che non si annulli mai, allora l equazione (1) è equivalente all equazione: A(x) M(x) = B(x) M(x) Il risultato vale anche se si moltiplicano entrambi i membri per un numero. dal Principio di moltiplicazione consegue che se i due membri di un equazione hanno un fattore numerico comune, diverso da zero, questo può essere soppresso. Ad es. l equazione: 630x 2 420x = 105x 735 è equivalente a: 6x 2 4x = x 7 perchè la seconda si ottiene dalla prima dividendo entrambi i membri per 105. dal Principio di moltiplicazione consegue che cambiando il segno a tutti i termini di un equazione se ne ottiene un altra equivalente alla data. Ad es. l equazione: 2x 2 3x = 9+ x 7 è equivalente a: 2x 2 +3x = 9 x 7 dal Principio di moltiplicazione consegue che un equazione intera a coefficienti numerici si può trasformare in un altra equivalente in cui non compaiano denominatori moltiplicando ambo i membri per il mimimo comun multiplo (m.c.m.). Ad es. l equazione: è equivalente a: 42 5x 3 5x = 7x = 42 7x che è equivalente a: 70x 12 = 49x+16 5

6 1.5 Forma normale e grado di un equazione in un incognita Un equazione si dice scritta in forma normale quando è scritta sotto la forma: P(x) = 0 Il grado del polinomio P(x) (potenza massima a cui è elevata l incognita) si chiama grado dell equazione. 6

7 1.6 Soluzione di equazioni lineari, o di primo grado In base ai principi riportati sopra, un equazione intera, a coefficienti numerici, di primo grado, si può sempre scrivere sotto la forma: ax = b dove a e b sono numeri interi con a diverso da zero. Dividendo ambo i membri per a si ottiene: x = b a dove b a è l unica soluzione (un equazione di primo grado ammette sempre una ed una sola soluzione). 1.7 Soluzione di equazioni lineari, o di primo grado (continua) Quindi abbiamo la seguente regola per risolvere un equazione intera di primo grado in una incognita e a coefficienti numerici: 1. Si libera, quando sia il caso, l equazione dai denominatori moltiplicando entrambi i membri per il m.c.m. dei denominatori. 2. Si eseguono gli eventuali prodotti indicati. 3. Si trasportano tutti i termini contenenti l incognita al primo membro e tutti i termini noti al secondo. 4. Si riducono, in ambi i membri, i termini simili. 5. Si dividono ambo i membri dell equazione per i coefficienti dell incognita. 2 Sistemi di equazioni di primo grado o sistemi lineari 2.1 Premessa: equazioni a due incognite Se con A(x,y) e B(x,y) indichiamo due espressioni algebriche in x e y non fra loro identiche, una equazione nelle incognite x e y si può rappresentare come segue: A(x,y) = B(x,y) (2) 7

8 Si chiama soluzione dell equazione (2) ogni coppia ordinata di numeri che, sostituiti rispettivamente a x e y fanno assumere alle due espressioni A(x,y) e B(x,y) valori uguali. Valgono per l equazione (2) le stesse definizioni date per le equazioni a una sola incognita (intera/frazionaria, numerica/letterale) e gli stessi principi (addizione, trasporto, moltiplicazione). L equazione (2) può essere scritta in forma normale: C(x,y) = 0 e il grado dell equazione è dato dal grado del polinomio C(x,y). 8

9 2.2 Premessa: equazioni a due incognite (continua) Consideriamo solo equazioni di 1 grado. Una tale equazione può assumere la forma: ax+by = c dove a, b, c indicano tre numeri dati. Una equazione di 1 grado in due incognite ammette sempre infinite soluzioni (cioè è risolta da infinite coppie di numeri sostituiti alle incognite). 9

10 2.3 Sistemi di due equazioni in due incognite Date due equazioni in due incognite, ci chiediamo se le due equazioni ammettono delle soluzioni in comune. Cioè: esistono delle coppie di numeri che, sostituiti rispettivamente a x e y rendono soddisfatte entrambe le equazioni? Se la risposta è sì, allora questa coppia ordinata di numeri si chiama soluzione del sistema di equazioni. Risolvere un sistema di due equazioni in due incognite vuol dire trovare tutte le soluzioni del sistema. Un sistema di due equazioni in due incognite si dice determinato, indeterminato o impossibile, secondo che ammetta, rispettivamente, un numero finito di soluzioni, infinite soluzioni o nessuna soluzione. Si chiama grado di un sistema, scritto in forma normale, il prodotto dei gradi delle singole equazioni. 10

11 2.4 Metodi di soluzione Metodo di sostituzione: 1. Si risolve una delle due equazioni rispetto ad una incognita, per es. la y. 2. Si sostituisce l espressione così trovata al posto della y nell altra equazione. 3. Si risolve questa equazione rispetto all incognita x. 4. Il valore della y si ottiene sostituendo il valore della x nella rispettiva espressione prima trovata. Metodo di confronto (caso particolare del precedente): 1. Si risolvono entrambe le equazioni rispetto alla stessa incognita, per es. la y. 2. Si seguono i passi 2, 3, 4 del metodo di sostituzione. 11

12 3 Equazioni esponenziali e logaritmiche 3.1 Concetto di esponenziale Si chiama esponenziale un termine del tipo: a x in cui l incognita x compare come esponente mentre la base a è fissata. Caratteristiche principali dell esponenziale a x : 1. è definito per ogni valore di x; 2. è definito solo per a > 0, a 1; 3. è sempre positivo; 4. vale 1 per x = 0. 12

13 3.2 Concetto di logaritmo Posto a > 0, a 1, k > 0, si chiama logaritmo in base a di k quel numero y cui bisogna elevare a per ottenere k: a y = k y = log a k dove k si chiama argomento del logaritmo. Proprietà dei logaritmi: 1. se a > 0, a 1, k > 0, log a k esiste sempre ed è unico; 2. se a > 1 e k > 1 = log a k > 0 mentre se a > 1 e 0 < k < 1 = log a k < 0 ; 3. se 0 < a < 1 e k > 1 = log a k < 0 mentre se 0 < a < 1 e 0 < k < 1 = log a k > 0 ; 4. non si può parlare di logaritmo di un numero rispetto alla base 1 o rispetto a una base negativa o nulla, e non esiste il logaritmo di un numero negativo; 5. Il logaritmo del numero 1 è 0: log a 1 = 0; 6. Il logaritmo della base a è 1: log a a = 1. 13

14 3.3 Concetto di logaritmo (continua) Proprietà dei logaritmi (continua): 7. log a (b c) = log a b+log a c; 8. log a b c = log ab log a c; 9. log a b c = c log a b; 10. log a n b = log a b n ; 11. valgono le relazioni inverse delle 7, 8, 9 e 10. Tra gli infiniti sistemi di logaritmi, due sono quelli che comunemente si considerano: quello a base 10, detto sistema dei logaritmi decimali o volgari o di Briggs. Il logaritmo in base 10 di un numero N si indica con logn. Quello a base e, un numero irrazionale il cui valore approssimato per difetto è 2, Questo è detto sistema dei logaritmi naturali o neperiani. Il logaritmo in base e di un numero N si indica con lnn. 14

15 3.4 Equazioni esponenziali Si chiama equazione esponenziale ogni equazione in cui l incognita figura come esponente di una o più potenze. Il caso più semplice di equazione esponenziale è: a x = b che ammette una e una sola soluzione quando a e b sono numeri positivi e a 1. Per risolvere questa equazione usiamo i logaritmi. Prendiamo il logaritmo decimale di ambo i membri ottenendo: xloga = logb da cui si ottiene la soluzione: x = logb loga 15

16 3.5 Equazioni logaritmiche Un equazione si dice logaritmica quando in essa compare il logaritmo dell incognita o di qualche espressione contenente l incognita. Per risolvere una equazione logaritmica si cerca, servendosi delle proprietà dei logaritmi enunciate prima, di scrivere l equazione sotto la forma: loga(x) = logb(x) ove A(x) e B(x) sono espressioni algebriche che contengono l incognita x. I valori dell incognita che si cerca, dovendo rendere uguali i logaritmi delle due espressioni A(x) e B(x) dovranno soddisfare anche l equazione: A(x) = B(x) 16