La vera forma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe geografiche June 16, 2015 distorcono 1 / 34le

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1 La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe geografiche distorcono le rme. June 16, 2015 La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe geografiche June 16, 2015 distorcono 1 / 34le

2 Cos è una piantina geografica? Una piantina geografica dovrebbe riprodurre scala in modo preciso la geografia della terra o di una parte di essa. Idealmente se la scala è 1 : ogni centimetro sulla piantina dovrebbe corrispondere esattamente a cm = 1km nel mondo reale. È possibile costruire piantine precise? La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe geografiche June 16, 2015 distorcono 2 / 34le

3 Cos è una piantina geografica? Una piantina geografica dovrebbe riprodurre scala in modo preciso la geografia della terra o di una parte di essa. Idealmente se la scala è 1 : ogni centimetro sulla piantina dovrebbe corrispondere esattamente a cm = 1km nel mondo reale. È possibile costruire piantine precise? La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe geografiche June 16, 2015 distorcono 2 / 34le

4 Cos è una piantina geografica? Una piantina geografica dovrebbe riprodurre scala in modo preciso la geografia della terra o di una parte di essa. Idealmente se la scala è 1 : ogni centimetro sulla piantina dovrebbe corrispondere esattamente a cm = 1km nel mondo reale. È possibile costruire piantine precise? La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe geografiche June 16, 2015 distorcono 2 / 34le

5 Esempi di piantine La piantina di Mercatore: La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe geografiche June 16, 2015 distorcono 3 / 34le

6 Esempi di piantine La piantina di Peters: La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe geografiche June 16, 2015 distorcono 4 / 34le

7 Chi ha ragione? NESSUNO DEI DUE! La piantina di Mercatore preserva gli angoli ma distorce le aree e le lunghezze. La piantina di Peters ha la proprietà di riprodurre fedelmente le aree ma di distorcere gli angoli e le lunghezze. La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe geografiche June 16, 2015 distorcono 5 / 34le

8 È possibile costruire una cartina geografica precisa? NO È MATEMATICAMENTE IMPOSSIBILE La ragione è che la terra è curva e dunque non è possibile schiacciarla su un glio di carta (piano) senza dermare le rme. La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe geografiche June 16, 2015 distorcono 6 / 34le

9 Scopo del seminario Introdurre la nozione di curvatura di una superficie e mostrare come la non sviluppabilità della sfera è una manifestazione del fatto che la curvatura è non nulla. La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe geografiche June 16, 2015 distorcono 7 / 34le

10 Il caso della cilindro Intuitivamente il fatto che la terra è curva corrisponde al fatto che non sia contenuta su una porzione di piano. ATTENZIONE: se la terra sse cilindrica potremmo realizzare delle piantine precise...eppure neanche il ciclindro è contenuto in un piano... La curvatura può essere zero anche per superfici che non siano piane. La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe geografiche June 16, 2015 distorcono 8 / 34le

11 Il caso della cilindro Intuitivamente il fatto che la terra è curva corrisponde al fatto che non sia contenuta su una porzione di piano. ATTENZIONE: se la terra sse cilindrica potremmo realizzare delle piantine precise...eppure neanche il ciclindro è contenuto in un piano... La curvatura può essere zero anche per superfici che non siano piane. La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe geografiche June 16, 2015 distorcono 8 / 34le

12 Il caso della cilindro Intuitivamente il fatto che la terra è curva corrisponde al fatto che non sia contenuta su una porzione di piano. ATTENZIONE: se la terra sse cilindrica potremmo realizzare delle piantine precise...eppure neanche il ciclindro è contenuto in un piano... La curvatura può essere zero anche per superfici che non siano piane. La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe geografiche June 16, 2015 distorcono 8 / 34le

13 La lunghezza di una circonferenza su un piano Indico con C r (p) il luogo dei punti che distano esattamente r da p. Tale luogo descrive una circonferenza centrata in p di raggio r. La sua lunghezza è esattamente 2πr. Più r è grande più C r (p) è lunga. La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe geografiche June 16, 2015 distorcono 9 / 34le

14 La lunghezza di una circonferenza sulla sfera Fissiamo ora p un punto sulla sfera di raggio R T e indichiamo con Γ r (p) il luogo dei punti sulla sfera che distano da p esattamente r (dove la distanza è misurata sulla sfera!). Figure : Caso r < (π/2)r T. La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe June geografiche 16, 2015distorcono 10 / 34le

15 La lunghezza di una circonferenza sulla sfera Fissiamo ora p un punto sulla sfera di raggio R T e indichiamo con Γ r (p) il luogo dei punti sulla sfera che distano da p esattamente r (dove la distanza è misurata sulla sfera!). Figure : Caso r = (π/2)r T. La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe June geografiche 16, 2015distorcono 11 / 34le

16 La lunghezza di una circonferenza sulla sfera Fissiamo ora p un punto sulla sfera di raggio R T e indichiamo con Γ r (p) il luogo dei punti sulla sfera che distano da p esattamente r (dove la distanza è misurata sulla sfera!). Figure : Caso r > (π/2)r T. La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe June geografiche 16, 2015distorcono 12 / 34le

17 La lunghezza di una circonferenza sulla sfera Fissiamo ora p un punto sulla sfera di raggio R T e indichiamo con Γ r (p) il luogo dei punti sulla sfera che distano da p esattamente r (dove la distanza è misurata sulla sfera!). Figure : Caso r = πr T. La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe June geografiche 16, 2015distorcono 13 / 34le

18 La lunghezza di una circonferenza sulla sfera Il comportamento di Γ r (p) è molto diverso da quello di C r (p) soprattutto quando r è grande! Ma come si calcola la lunghezza di Γ r (p)? La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe June geografiche 16, 2015distorcono 14 / 34le

19 La lunghezza di una circonferenza sulla sfera Osserviamo che Γ r (p) giace su un piano parallelo all equatore. La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe June geografiche 16, 2015distorcono / 34le

20 La lunghezza di una circonferenza sulla sfera In particolare su tale piano Γ r (p) è una circonferenza centrata in O di raggio s = R T sin(r/r T ) Dunque si ha che la lunghezza di Γ r (p) è 2πs = 2πR T sin(r/r T ) < 2πr. A O O La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe June geografiche 16, 2015distorcono 16 / 34le

21 La lunghezza di una circonferenza sulla sfera In particolare su tale piano Γ r (p) è una circonferenza centrata in O di raggio s = R T sin(r/r T ) Dunque si ha che la lunghezza di Γ r (p) è 2πs = 2πR T sin(r/r T ) < 2πr. A O O La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe June geografiche 16, 2015distorcono 16 / 34le

22 Un confronto La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe June geografiche 16, 2015distorcono 17 / 34le

23 Perché non si possono costruire piantine precise Sia p un punto sulla sfera e supponiamo di poter costruire una piantina precisa di una zona intorno a p con fattore di scala k. Indichiamo con p il corrispettivo punto sulla piantina. Allora il luogo Γ r (p) è rappresentato sulla piantina dalla circonferenza C di raggio kr centrata in p. La lunghezza di Γ r (p) è minore di 2πr, mentre la lunghezza di C sulla cartina è precisamente 2πkr. Dunque lungh(c) > klungh(γ r (p)). La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe June geografiche 16, 2015distorcono 18 / 34le

24 Perché non si possono costruire piantine precise Sia p un punto sulla sfera e supponiamo di poter costruire una piantina precisa di una zona intorno a p con fattore di scala k. Indichiamo con p il corrispettivo punto sulla piantina. Allora il luogo Γ r (p) è rappresentato sulla piantina dalla circonferenza C di raggio kr centrata in p. La lunghezza di Γ r (p) è minore di 2πr, mentre la lunghezza di C sulla cartina è precisamente 2πkr. Dunque lungh(c) > klungh(γ r (p)). La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe June geografiche 16, 2015distorcono 18 / 34le

25 Perché non si possono costruire piantine precise Sia p un punto sulla sfera e supponiamo di poter costruire una piantina precisa di una zona intorno a p con fattore di scala k. Indichiamo con p il corrispettivo punto sulla piantina. Allora il luogo Γ r (p) è rappresentato sulla piantina dalla circonferenza C di raggio kr centrata in p. La lunghezza di Γ r (p) è minore di 2πr, mentre la lunghezza di C sulla cartina è precisamente 2πkr. Dunque lungh(c) > klungh(γ r (p)). La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe June geografiche 16, 2015distorcono 18 / 34le

26 Un osservazione Se la terra sse perfettamente rotonda e avendo a disposizione strumenti estremamente precisi, uno potrebbe misurare il raggio della terra guardando semplicemente quanto la lunghezza di una circonferenza sulla terra di raggio r ARBITRARIO si scosta da 2πr Fissando ad esempio r = 1km Matematicamente ciò equivale a risolvere l equazione R T sin(1/r T ) = lunghγ 1 (p) In realtà per r = 1km la differenza tra la lunghezza di Γ 1 (p) e 2πkm è circa 4µm = 0, 004mm. La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe June geografiche 16, 2015distorcono 19 / 34le

27 Un osservazione Se la terra sse perfettamente rotonda e avendo a disposizione strumenti estremamente precisi, uno potrebbe misurare il raggio della terra guardando semplicemente quanto la lunghezza di una circonferenza sulla terra di raggio r ARBITRARIO si scosta da 2πr Fissando ad esempio r = 1km Matematicamente ciò equivale a risolvere l equazione R T sin(1/r T ) = lunghγ 1 (p) In realtà per r = 1km la differenza tra la lunghezza di Γ 1 (p) e 2πkm è circa 4µm = 0, 004mm. La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe June geografiche 16, 2015distorcono 19 / 34le

28 Un osservazione Se la terra sse perfettamente rotonda e avendo a disposizione strumenti estremamente precisi, uno potrebbe misurare il raggio della terra guardando semplicemente quanto la lunghezza di una circonferenza sulla terra di raggio r ARBITRARIO si scosta da 2πr Fissando ad esempio r = 1km Matematicamente ciò equivale a risolvere l equazione R T sin(1/r T ) = lunghγ 1 (p) In realtà per r = 1km la differenza tra la lunghezza di Γ 1 (p) e 2πkm è circa 4µm = 0, 004mm. La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe June geografiche 16, 2015distorcono 19 / 34le

29 Che cos è la curvatura di una superficie La curvatura di una superficie in un punto è la misura di quanto la lunghezza delle circonferenze di raggio r sulla superficie si discostano da 2πr per r piccoli. In generale se la curvatura è positiva allora le circonferenze sulla superficie hanno lunghezza minore di 2πr mentre se la curvatura è negativa la lunghezza dellle circonferenze è maggiore di 2πr. Se una regione intorno ad un punto p è sviluppabile allora la curvatura è zero nel punto p. La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe June geografiche 16, 2015distorcono / 34le

30 Esempio di una superficie a curvatura negativa Figure : La sella è un esempio di superficie a curvatura negativa La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe June geografiche 16, 2015distorcono 21 / 34le

31 Il caso dei poliedri Un poliedro è una superficie ottenuta attaccando lungo i lati poligoni piani. La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe June geografiche 16, 2015distorcono 22 / 34le

32 La geometria vicino ai lati di un poliedro Se p è su un lato di un poliedro e r è piccolo allora Γ r (p) è l unione di due semicirconferenze piane, ciascuna su uno delle due facce che incidono il lato. La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe June geografiche 16, 2015distorcono 23 / 34le

33 La geometria vicino ad un vertice Se v è un vertice allora Γ r (p) è l unione di tanti settori circolari di raggio r, ciascuno contenuto in una faccia che incide su p. Se f 1,..., f k sono le facce che insistono su p e θ i è l angolo che il vertice p rma sulla faccia f i si ha lungh(γ r (p)) = θ 1 r + θ 2 r θ k r = (θ 1 + θ θ k )r La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe June geografiche 16, 2015distorcono 24 / 34le

34 La geometria vicino ad un vertice Se v è un vertice allora Γ r (p) è l unione di tanti settori circolari di raggio r, ciascuno contenuto in una faccia che incide su p. Se f 1,..., f k sono le facce che insistono su p e θ i è l angolo che il vertice p rma sulla faccia f i si ha lungh(γ r (p)) = θ 1 r + θ 2 r θ k r = (θ 1 + θ θ k )r La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe June geografiche 16, 2015distorcono 24 / 34le

35 La curvatura nel vertice di un poliedro K v = 2π (θ 1 + θ θ k ). La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe June geografiche 16, 2015distorcono 25 / 34le

36 Esempi: cubo Tutti i vertici hanno curvatura 2π 3 (π/2) = π/2. La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe June geografiche 16, 2015distorcono 26 / 34le

37 Esempi: tetraedro regolare Tutti i vertici hanno curvatura 2π 3 (π/3) = π. La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe June geografiche 16, 2015distorcono 27 / 34le

38 Esempi: icosaedro Tutti i vertici hanno curvatura 2π 5π/3 = π/3 La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe June geografiche 16, 2015distorcono 28 / 34le

39 Esempi: Stella octangula 8 vertici hanno curvatura π e 6 vertici hanno curvatura 2π 8π/3 = 2/3π La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe June geografiche 16, 2015distorcono 29 / 34le

40 La curvatura totale La curvatura totale di un poliedro è la somma algebrica delle curvature dei suoi vertici. Esempi: CUBO: 8 vertici con curvatura π/2 K tot = 4π TETRAEDRO: 4 vertici con curvatura π K tot = 4π ICOSAEDRO: 12 vertici con curvatura π/3 K tot = 4π STELLA OCTANGULA: 8 vertici con curvatura π e 6 con curvatura 2/3π K tot = 8π + 6 ( 2/3)π = 4π La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe June geografiche 16, 2015distorcono 30 / 34le

41 Un poliedro con un buco Questo poliedro ha 24 vertici, 24 facce (trapezi), 48 lati. K tot è somma di 24 termini: ogni termine è della rma 2π (θ 1 + θ 2 + θ 3 + θ 4 ). K tot = 2π 24 (somma di tutti gli angoli di tutte le facce). K tot = 2π 24 2π 24 = 0. La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe June geografiche 16, 2015distorcono 31 / 34le

42 Un poliedro con un buco Questo poliedro ha 24 vertici, 24 facce (trapezi), 48 lati. K tot è somma di 24 termini: ogni termine è della rma 2π (θ 1 + θ 2 + θ 3 + θ 4 ). K tot = 2π 24 (somma di tutti gli angoli di tutte le facce). K tot = 2π 24 2π 24 = 0. La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe June geografiche 16, 2015distorcono 31 / 34le

43 Un poliedro con un buco Questo poliedro ha 24 vertici, 24 facce (trapezi), 48 lati. K tot è somma di 24 termini: ogni termine è della rma 2π (θ 1 + θ 2 + θ 3 + θ 4 ). K tot = 2π 24 (somma di tutti gli angoli di tutte le facce). K tot = 2π 24 2π 24 = 0. La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe June geografiche 16, 2015distorcono 31 / 34le

44 La rmula di Gauss Bonnet per i poliedri Sia P un poledro con g buchi allora: K tot = 4π(1 g) La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe June geografiche 16, 2015distorcono 32 / 34le

45 Dimostrazione nel caso g = 0 Assumiamo che tutte le facce di P siano triangolari. Indichiamo con f il numero di facce, v il numero di vertici e e il numero di lati. K tot è la somma di v addendi. Ogni addendo è della rma 2π (θ θ k ) K tot = 2πv (somma di tutti gli angoli) K tot = 2πv πf. Ogni faccia contiene 3 lati e ogni lato incide esattamente su due facce: 3f = 2l ovvero f = 2l 2f. K tot = 2πv 2π(l f ) = 2π(v l + f ) = 4π. La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe June geografiche 16, 2015distorcono 33 / 34le

46 Dimostrazione nel caso g = 0 Assumiamo che tutte le facce di P siano triangolari. Indichiamo con f il numero di facce, v il numero di vertici e e il numero di lati. K tot è la somma di v addendi. Ogni addendo è della rma 2π (θ θ k ) K tot = 2πv (somma di tutti gli angoli) K tot = 2πv πf. Ogni faccia contiene 3 lati e ogni lato incide esattamente su due facce: 3f = 2l ovvero f = 2l 2f. K tot = 2πv 2π(l f ) = 2π(v l + f ) = 4π. La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe June geografiche 16, 2015distorcono 33 / 34le

47 Dimostrazione nel caso g = 0 Assumiamo che tutte le facce di P siano triangolari. Indichiamo con f il numero di facce, v il numero di vertici e e il numero di lati. K tot è la somma di v addendi. Ogni addendo è della rma 2π (θ θ k ) K tot = 2πv (somma di tutti gli angoli) K tot = 2πv πf. Ogni faccia contiene 3 lati e ogni lato incide esattamente su due facce: 3f = 2l ovvero f = 2l 2f. K tot = 2πv 2π(l f ) = 2π(v l + f ) = 4π. La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe June geografiche 16, 2015distorcono 33 / 34le

48 Dimostrazione nel caso g = 0 Assumiamo che tutte le facce di P siano triangolari. Indichiamo con f il numero di facce, v il numero di vertici e e il numero di lati. K tot è la somma di v addendi. Ogni addendo è della rma 2π (θ θ k ) K tot = 2πv (somma di tutti gli angoli) K tot = 2πv πf. Ogni faccia contiene 3 lati e ogni lato incide esattamente su due facce: 3f = 2l ovvero f = 2l 2f. K tot = 2πv 2π(l f ) = 2π(v l + f ) = 4π. La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe June geografiche 16, 2015distorcono 33 / 34le

49 Dimostrazione nel caso g = 0 Assumiamo che tutte le facce di P siano triangolari. Indichiamo con f il numero di facce, v il numero di vertici e e il numero di lati. K tot è la somma di v addendi. Ogni addendo è della rma 2π (θ θ k ) K tot = 2πv (somma di tutti gli angoli) K tot = 2πv πf. Ogni faccia contiene 3 lati e ogni lato incide esattamente su due facce: 3f = 2l ovvero f = 2l 2f. K tot = 2πv 2π(l f ) = 2π(v l + f ) = 4π. La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe June geografiche 16, 2015distorcono 33 / 34le

50 quanti buchi ha questa superficie? La vera rma della Groenlandia. Ovvero perché le mappe June geografiche 16, 2015distorcono 34 / 34le

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