Geometria analitica del piano II (M.S. Bernabei & H. Thaler)

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1 Geometria analitica del piano II (M.S. Bernabei & H. Thaler)

2 Equazione della retta in forma esplicita Sia data una retta r ax + by + c = 0 con b 0. Svolgendo questa equazione per y otteniamo e ponendo y = a b x c b m = a, q = c b b si ha y = mx + q (*) (equazione della retta in forma esplicita).

3 y = mx + q

4 Al variare di m, q R otteniamo tutte le rette del piano tranne quelle parallele all asse y. Queste ultime sono della forma x = k, k R. Il numero m è detto coefficiente angolare della retta. Ponendo x = t si ottiene subito la seguente equazione parametrica di (*) x = t y = q + mt x y = 0 q + t 1 m (**) Da quest ultima equazione vediamo che la retta r passa Per il punto (0, q) ed è parallela al vettore v = i + mj.

5 Se θ indica l angolo che la retta e il vettore v formano con l asse delle x, si ha m = tan θ. Se P 0 = (x 0, y 0 ) è un punto sulla retta r, allora l equazione cartesiana corrispondente all equazione (*) della retta si trova come: y y 0 = m x x 0. (Δ) Al variare di m otteniamo tutte le rette del piano passanti per P 0 tranne quella parallela all asse delle y.

6 Esempio. Trovare l equazione della retta che passa per il punto P 0 = ( 1, 2) e che forma un angolo di π/3 con l asse x. Dato che m = tan θ = 3, otteniamo dall equazione (Δ) Siano date due rette y 2 = 3 x + 1. r : y = mx + q e r 1 : y = m 1 x + q 1.

7 Ovviamente le due rette sono parallele se e solo se lo sono i due vettori v = i + mj e v 1 = i + m 1 j, quindi se e solo se m = m 1. D altra parte le due rette sono perpendicolari se e solo se lo sono i due vettori v e v 1, quindi solo se 1 + mm 1 = 0. Esempio. Trovare l equazione della retta r passante per il punto P 0 = (2, 3) e parallela alla retta r 1 : 2x 5y + 3 = 0.

8 Siccome le due rette sono parallele vale m = m 1 = 2, per cui troviamo secondo (Δ) 5 l equazione r y + 3 = 2 5 (x 2). Esempio. Trovare l equazione della retta r passante per il punto P 0 = ( 1, 4) e perpendicolare alla retta r 1 : 2y 3x + 4 = 0. Il fatto che le due rette sono perpendicolari consegue

9 che 1 + mm 1 = 0, per cui m = 1 m 1 = 2/3. Quindi r y 4 = 2 3 (x + 1). L angolo fra le due rette r e r 1, con direzioni v e v 1, è dato da cos θ = ± v v mm 1 = ± v v m m 1

10 Distanza di un punto da una retta Siano dati una retta r : ax + by + c = 0 e un punto P 0 = (x 0, y 0 ). Sia H il piede della perpendicolare alla retta r condotta da P 0. La distanza δ del punto P 0 dalla retta è uguale alla lunghezza del segmento P 0 H, quindi δ = P 0 H. Sia H = (x, y). Essendo H r, vale ax + by + c = 0. I vettori P 0 H e v = ai + bj sono paralleli.

11 δ = P 0 H

12 Dalla formula per il prodotto scalare otteniamo P 0 H v = P 0 H v, cioè δ = P 0 H = P 0 H v. v Sostituendo nella formula precedente le componenti dei vettori P 0 H e v, si ottiene δ = x 0 x a + y 0 y b a 2 + b 2

13 oppure, usando il fatto che ax by = c δ = ax 0 + by 0 + c a 2 + b 2 Esempio. Trovare la distanza δ del punto P 0 = (4, 1) dalla retta r : 6x + 8y 3 = 0. Applicando la formula sopra, si ha: δ = =

14 La distanza fra due rette parallele r e r 1 di equazioni rispettivamente ax + by + c = 0 e ax + by + c 1 = 0 si ottiene misurando la distanza fra un punto generico P 0 = (x 0, y 0 ) r 1 e la retta r. Notando che P 0 r 1, si ha δ = ax 0 + by 0 + c a 2 + b 2 = c 1 + c a 2 + b 2 Esempio. La distanza fra le rette parallele 4x 3y + 1 = 0 e 4x 3y + 5 = 0 è δ = = 4 5

15 Distanza δ fra le rette r e r 1

16 Esercizi 1. Trovare il coefficiente angolare delle seguenti rette: 4x-5y+20=0, 2x+3y-12=0. [4/5, -2/3] 2. Trovare l equazione della retta di coefficiente angolare 3 e che stacca sull asse y un segmento di misura 2 e disegnarla. [3x-y+2=0] 3. Per quale valore del parametro a il punto M=(a,3) giace sulla retta che congiunge i punti Q=(1,-6), P=(0,-3)? [a=-2] 4. Trovare l equazione della retta i cui punti sono equidistanti dai punti A=(2,-2) e M=(-4,2) e disegnarla. [3x-2y+3=0]

17 1. Trovare il coefficiente angolare delle seguenti rette: 4x-5y+20=0, 2x+3y-12=0. [4/5, -2/3] 4x 5y + 20 = 0 5y = 4x 20 y = 4 5 x + 4 m = x + 3y 12 = 0 3y = 2x + 12 y = 2 3 x + 4 m = 2 3.

18 2. Trovare l equazione della retta di coefficiente angolare 3 e che stacca sull asse y un segmento di misura 2 e disegnarla. [3x-y+2=0] Soluzione: Usando la forma esplicita della retta y = mx + q troviamo y = 3x + 2 3x + y 2 = Per quale valore del parametro a il punto M = (a, 3) giace sulla retta che congiunge i punti Q = (1, 6), P = (0, 3)? Soluzione: Primo passo: trovare l equazione della retta

19 x 1 1 = y+6 3 3x 3 = y 6 3x + y + 3 = 0 r ; Secondo passo: per quale a vale M = (a, 3) r? Deve valere 3a = 3a + 6 = 0 a = 2.

20 4. Trovare l equazione della retta i cui punti sono equidistanti dai punti A = (2,-2) e M = ( 4,2) e disegnarla. Soluzione: Sia r la rette cercata. Sia P 0 il punto medio del segmento AM, cioè P 0 = 1 2 A + M = = Come direzione della retta scegliamo un vettore v 6 che è perpendicolare al vettore AM = 4. =

21 che è perpendicolare al vettore AM = Per esempio v = L equazione parametrica della retta cercata è: P = P 0 + t 4 6, t R. Quindi x r: y = t 4 6 (forma parametrica). Per trovare la forma cartesiana della retta r, bisogna risolvere le due equazione di sopra rispetto a t:

22 t = x+1 4 ; t = y 6 ; x+1 4 = y 6, oppure 6x + 6 = 4y 6x 4y + 6 = 0 3x 2y + 3 = 0.

23 5. Dato il triangolo di vertici A=(7,9), B=(-5,7), C=(12,-3): trovare l equazione dell altezza passante per B. Disegnare il triangolo e l altezza. [5x-12y+109=0] 6. Trovare l equazione della retta equidistante dalle rette parallele 2x-3y+14=0 e 2x-3y-6=0. [2x-3y+4=0] 7. Trovare la distanza d tra le rette parallele 5x+12y+4=0 e 10x+24y+5=0. Disegnarle. [d=3/26] 8. Data la retta di equazione 2x+3y+4=0, scrivere l equazione della retta passante per il punto (2,1) e perpendicolare alla retta data. Disegnarle. [3x- 2y-4=0]

24 5. Dato il triangolo di vertici A=(7,9), B=(-5,7), C=(12,-3): trovare l equazione dell altezza passante per B. Disegnare il triangolo e l altezza. 5 Soluzione: Il vettore AC = 12 è perpendicolare alla retta cercata r. Qunidi r 5x 12y + c = 0. Inoltre sappiamo che B r c = 0 c = = 109. La retta cercata è data da r 5x 12y = 0.

25 6. Trovare l equazione della retta equidistante dalle rette parallele r 1 : 2x-3y+14=0 e r 2 : 2x-3y-6=0. Soluzione: Sia r: 2x 3y + c = 0 la retta cercata. Dalla formula per la distanza fra le rette otteniamo δ = c 1 + c a 2 + b 2 Di conseguenza = c 2 + c a 2 + b 2 c 1 + c = c 2 + c. (*)

26 Elevando entrambi i lati di (*) alla seconda troviamo c 1 + c c 14 2 = c 2 + c 2 2 = c c 2 28c = c c c = 160 c = 4. Abbiamo dimostrato che r: 2x 3y + 4 = 0.

27 Modo alternativo usando la forma esplicita delle rette: y 1 = 2 3 x ; y 2 = 2 3 x 2; Scegliendo q della retta cercata come q = q 1+q 2 2 q = = 4 3 r: y = 2 3 x + 4 3

28 7. Trovare la distanza δ tra le rette parallele 5x+12y+4=0 e 10x+24y+5=0. Disegnarle. Soluzione: Usando la formula δ = c 1+c a 2 +b 2, troviamo subito δ = 4+5/ = 3/ = 3 26.

29 8. Data la retta di equazione 2x+3y+4 = 0, scrivere l equazione della retta passante per il punto (2,1) e perpendicolare alla retta data. Disegnarle. Soluzione: Sia r: ax + by + c = 0 la retta cercata. I vettori a b e 2 3 sono perpendicolari, per cui a b = 3 2 è una possibile scelta. P r c = 0 c = 4.

30 9. Siano date le equazioni di due lati di un rettangolo x-2y=0, x-2y+15=0 e l equazione di una sua diagonale y=15-7x. Determinare le coordinate dei vertici del rettangolo. Fare il disegno. [(2,1), (4,2), (-1,7), (1,8)] 10. Dati i punti A=(1,4), B=(5,2), C=(8,7), determinare la distanza di A dalla retta passante per i punti B e C e l area del triangolo ABC. Fare il disegno. [ , 13] 11. Trovare la distanza del punto P=(2,-3) dalla retta di equazione y=2x-3. Fare il disegno. [ ]

31 9. Siano date le equazioni di due lati di un rettangolo x-2y=0, x-2y+15=0 e l equazione di una sua diagonale y=15-7x. Determinare le coordinate dei vertici del rettangolo. Fare il disegno. [(2,1), (4,2), (-1,7), (1,8)] Soluzione: r 1 : x 2y = 0; r 2 : x 2y + 15 = 0; d: y = 15 7x; Sia P 1 il punto di intersezione di r 1 con d. La soluzione del sistema r 1 d da il vertice P 1.

32 (i) x 2y = 0 (ii) y = 15 7x Inserendo ii in i x 2(15 7x) = 0 x x = 0 x = 2. ii y = = 1. P 1 = 2,1. r 2 d (i) x 2y + 15 = 0 (ii) y = 15 7x

33 Inserendo ii in i x x + 15 = 0 x x + 15 = 0 15x 15 = 0 x = 1. ii y = = 8. P 2 = 1,8. Troviamo la retta r 3 perpendicolare a r 1 passante per P 1. r 3 : 2x + y + c = 0; P 1 r c = 0 c = 5; r 3 : 2x + y 5 = 0; Mettendo a sistema r 3 e r 2 troviamo il vertice P 3 :

34 i) 2x + y 5 = 0 ii) x 2y + 15 = 0 i) y = 2x + 5 Sostituendo y nella seconda x 2 2x = 0 5x = 5 x = 1; y = 7; P 3 = 1,7 ; Il punto P 4 si trova in maniera analoga.