IL TRASPORTO DEGLI INQUINANTI

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1 La iffusione molecolare La ispersione avviene principalmente in irezione longituinale rispetto al flusso meio, e le variazioni i velocità non spiegano l aumento l i ampiezza in irezione normale al moto meio che è invece ovuto alla DIFFUSIONE MOLECOLARE. La iffusione molecolare è ovuta ai movimenti aleatori elle molecole el fluio e prouce un flusso aggiuntivo i tracciante a zone i maggiore concentrazione a zone i concentrazione più bassa, e erivanti anch esse alla ispersione el soluto. L effetto microscopico si ripercuote a livello macroscopico, come si può evienziare lasciano tenere a zero la velocità.

2 La ispersione iroinamica La ispersione ovuta alle variazioni i velocità a livello microscopico, specialmente nella irezione el flusso, si ice DISPERSIONE MECCANICA. Si ice invece DISPERSIONE IDRODINAMICA il fenomeno associato sia alla ispersione meccanica sia alla iffusione molecolare. I ue processi sono infatti inseparabili e la loro ifferenziazione è el tutto artificiale. Oltre a avezione (flusso meio), ispersione meccanica e iffusione molecolare, molti altri fattori possono influenzare la istribuzione ella concentrazione c i un soluto in un mezzo poroso: Interazione con la matrice solia (assorbimento, eposizione, scioglimento s ella matrice solia, scambio ionico, ecc.) Reazioni chimiche Decaimento raioattivo Le variazioni i concentrazione el tracciante provocano variazioni ella ensità e viscosità el liquio, che possono influenzare lo stesso regime i moto (istribuzione ibuzione elle velocità). Quano la concentrazione non influenza la ensità e viscosità el l liquio che lo trasporta si parla i TRACCIANTE PASSIVO.

3 Flusso i avezione e ispersione Sia V (x, la velocità el fluio e c la sua concentrazione: V ( x, c( x, IL TRASPORTO DEGLI INQUINANTI V ( x, + V '( x, c( x, + c' ( x, con V ( x, c( x, la velocità meia el liquio e V V la sua eviazione rispetto alla meia; la concentrazione meia el liquio e c c la sua eviazione rispetto alla meia. Il trasporto meio sarà: cv cv + c'v ' ovvero il flusso meio ella sostanza consierata è uguale alla somma i ue flussi a livello macroscopico: cv un FLUSSO DI ADVEZIONE, velocità meia, secono la legge i Darcy; c'v' che costituisce il flusso trasportato all acqua acqua alla sua un FLUSSO DI DISPERSIONE, che costituisce il flusso aizionale ovuto alle fluttuazioni ella velocità nell intorno el punto consierato.

4 Il coefficiente i ispersione Il flusso i ispersione può essere espresso in termini i granezze meie (e misurabili) quali la velocità e la concentrazione meia. L ipotesi i lavoro è che tale flusso possa essere espresso nella forma ella legge i Fick: c' V ' D c' V ' i D ij c x j in cui D è un tensore simmetrico etto COEFFICIENTE DI DISPERSIONE (meccanica). In tale espressione c inica la massa el tracciante per unità i volume acqua, e il termine c'v' rappresenta il flusso per unità i area ell acqua. L equazione inica che il flusso i ispersione è linearmente proporzionale al graiente i concentrazione meia e che tale flusso si realizza a zone i alta concentrazione a zone i bassa concentrazione.

5 Il coefficiente i ispersione Diversi autori hanno ricavato la seguente espressione per la relazione tra D e la configurazione microscopica ella matrice porosa, la velocità el fluio e la iffusione molecolare: D ij a ijkm V kv V m f ( Pe, δ ) in cui V Pe è la velocità meia, è il numero i Peclet,, efinito come: Pe L V D ove L è una lunghezza caratteristica ei meati, D è il coefficiente i iffusione molecolare el soluto nella fase liquia; δ è il rapporto tra la lunghezza caratteristica ei singoli meati e la lunghezza caratteristica ella loro sezione trasversale; f(pe Pe, δ) è una funzione che introuce l effetto l i trasporto el tracciante per iffusione molecolare tra linee i corrente contigue a livello microscopico. In questo moo la iffusione molecolare influenza la ispersione meccanica. Bear e Bachmat (1967) suggeriscono la relazione f(pe Pe, δ) ) Pe/( /(Pe δ 2 ), ma nella maggior parte ei casi si assume f(pe Pe, δ) ) 1.

6 Il coefficiente i ispersione Il coefficiente a ijkm [L] chiamato ispersività el mezzo poroso è un tensore el quarto orine che esprime la configurazione microscopica ell interfaccia solio-liquio. liquio. Nel caso i mezzo poroso ISOTROPO, le componenti iverse a zero el tensore sono legate a ue parametri: a L [L] ispersività longituinale a T [L] ispersività trasversale - a L misura l eterogeneitl eterogeneità el mezzo poroso a scala microscopica, ovvero ovuta alla presenza ei meati e ella matrice solia. È ell orine i granezza ella imensione meia ei grani. - a T è i un orine i granezza 10 o 20 volte più piccolo i a L. Il coefficiente a ijkm assume la seguente espressione: a ijkm a T al at δ ijδ km + ( δ ikδ jm + δ 2 im δ jk ) in cui δ ij inica il elta i Kronecker (δ ij 0 per i j e δ ij 1 per i j). Utilizzano tale espressione, con f(pe Pe, δ) ) 1, si ottiene il coefficiente i ispersione meccanica nella forma: Dij atvδ ij + ( al at ) VV i j / V (si omette il segno i meia per le velocità)

7 La iffusione molecolare A livello microscopico, il vettore i flusso J () ovuto alla iffusione molecolare è espresso alla legge i Fick: ( ) J D in cui D è il coefficiente i iffusione molecolare in un mezzo fluio (che e vale circa 10-5 cm 2 /s). J ( ) i D Integrano tale espressione sul REV, con opportune ipotesi semplificative,, Bear e Bachmat (1986) hanno ottenuto la seguente espressione per il flusso macroscopico: o: c x i J ( ) D T * D * in cui D * T*D è il coefficiente i iffusione molecolare in un mezzo poroso e T* è un tensore simmetrico el secono orine che esprime l effetto l ella configurazione ella parte el REV occupata all acqua. acqua. Il coefficiente T*, spesso chiamato tortuosità, è efinito come: con S ww la porzione i confine acqua-acqua el REV v la normale alla superficie 0w il volume el REV occupato all acqua. acqua. U 0w T * ij 1 U 0w S ww ( x j x 0 j ) v S i

8 Il coefficiente i ispersione iroinamica Sommano i contributi el flusso ispersivo e iffusivo si ottiene: IL TRASPORTO DEGLI INQUINANTI ( ) c' V ' + J ( D + D ) D h in cui il coefficiente D h D + D * è chiamato coefficiente i ispersione iroinamica. Il flusso totale q c,, tot i un inquinante, trasportato per avezione,, ispersione e iffusione può essere unque scritto nella forma: q c, tot θw( cv Dh ) che rappresenta la quantità i inquinante trasportato per unità area i un mezzo poroso. L ipotesi i consierare f(pe Pe, δ) ) 1 equivale a supporre una relazione lineare tra il coefficiente i ispersione meccanica D e la velocità meia V. Tuttavia il termine f(pe Pe, δ) ) introuce un effetto i non linearità con la velocità (al momento che f(pe Pe, δ) ) LV/D ) che sembra essere confermato agli stui sperimentali isponibili. ili. Per tener conto i tali non-linearit linearità,, si utilizzano spesso espressioni el tipo: m D 11 alv ( Pe) 22 1, D a V (Pe) T m 2 con m 1 e m 2 costanti opportune.