Cenni sulle coniche 1.

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1 1 Premessa Cenni sulle coniche 1. Corso di laurea in Ingegneria Civile ed Edile Università degli Studi di Palermo A.A. 2013/2014 prof.ssa Paola Staglianò Scopo della geometria analitica piana è rappresentare luoghi di punti contenuti in un piano mediante equazioni e studiare problemi geometrici usando le equazioni medesime. Ellissi, iperboli, parabole, sono particolari luoghi geometrici di punti del piano le cui coordinate soddisfano una equazione polinomiale di secondo grado in due variabili, f(x, y) = 0. Studieremo tutti i luoghi geometrici di punti che soddisfano una equazione di secondo grado, scoprendo che non si tratta sempre delle figure note. Tali luoghi geometrici, definiti sempre da equazioni polinomiali di secondo grado, si chiamano coniche. Il nome, già usato nell antichità dai matematici greci, dipende dal fatto che le coniche (dette anche sezioni coniche), si ottengono segando i coni circolari retti con piani. Le equazioni note sin dalle scuole superiori, rappresentano ellissi, circonferenze, iperboli e parabole, poste in posizioni speciali rispetto agli assi coordinati. Cambiando il sistema di coordinate cartesiane, il luogo geometrico resta lo stesso ma cambia l equazione, cioè la relazione analitica fra le coordinate dei punti. Ci sono luoghi geometrici del piano, diversi da ellissi, iperboli e parabole che pure soddisfano equazioni polinomiali di secondo grado a coefficienti reali, tali luoghi di punti sono due equazioni di primo grado (eventualmente a coefficienti non reali) e sono dette coniche degeneri o riducibili. Una conica è degenere se e soltanto se è formata da due rette (reali o complesse coniugate) ovvero da una retta doppia. Una conica degenere resta tale anche si si cambiano le coordinate poiché la proprietà di essere degenere è geometrica, definita dal fatto che la conica è l unione di due rette. Notiamo che 1 La presente dispensa è una bozza, eventuali errori possono essere segnalati via . Lo scopo della presente dispensa è quello di illustrare brevemente la riduzione a forma canonica di una conica utilizzando le nozioni dell algebra lineare introdotte durante il corso. Per i teoremi e gli altri metodi si invita a consultare i testi in commercio 1

2 l equazione f(x, y) = 0 e l equazione αf(x, y) = 0 rappresentano la stessa conica, in quanto hanno le stesse soluzioni. 2 Cenni sulle coniche dal punto di vista della geometria elementare 2.1 Le coniche come sezioni di un cono Lo studio delle curve piane chiamate coniche, e cioè le ellissi, le parabole e le iperboli, risale all antichità. Un analisi pressoché completa delle proprietà di tali curve redatta dal grande matematico greco Apollonio di Perga (circa a.c.). Nella sua opera Sezioni coniche Apollonio definisce le coniche come le curve ottenute dall intersezione di un cono circolare retto infinito con un piano; le diverse inclinazioni del piano generano le diverse coniche. 2.2 Le coniche come luoghi geometrici Le coniche possono anche essere definite come opportuni luoghi geometrici. Un luogo geometrico (o più semplicemente luogo) è l insieme di tutti e soli i punti che soddisfano una data proprietà. 2

3 Definizione 2.1. Fissati nel piano due punti distinti F 1 e F 2 detti fuochi ed un numero reale positivo k, si chiama ellisse il luogo dei punti P tali che sia P F 1 + P F 2 = k, ovvero l insieme dei punti tali che la somma delle distanze dai fuochi è costante. Se i due fuochi coincidono, allora l ellisse è una circonferenza di centro F 1 = F 2 e raggio k; si chiama iperbole il luogo dei punti P tali che sia P F 1 P F 2 = k, ovvero l insieme dei punti tali che il modulo della differenza delle distanze dai fuochi è costante. Definizione 2.2. La parabola è il luogo dei punti del piano che hanno uguale distanza da un punto fisso, F, detto fuoco e da una retta (non passante per il fuoco), r, detta direttrice. 3 Equazioni canoniche delle coniche Dopo aver visto le definizioni delle coniche, ci chiediamo come si possono rappresentare analiticamente, ossia, dato un sistema di riferimento cartesiano quali sono le equazioni che rapresentano delle coniche. A partire dalle definizione delle coniche come luogo geometrico è facile ricavare le equazioni canoniche (la dimostrazione è omessa): 3.1 Ellisse L equazione canonica di una ellisse è rappresentata dalla scrittura: x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 con a, b > 0, detti semiassi dell ellisse. Se a = b = R, si ha l equazione di una circonferenza di centro l origine O degli assi e raggio R: x 2 + y 2 = R 2. Dall equazione canonica di una ellisse si osserva subito che: la curva è simmetrica rispetto a ciascuno dei due assi e rispetto all origine. la curva interseca gli assi cartesiani nei quattro punti (±a, 0), (0, ±b) detti vertici dell ellisse. I semiassi rappresentano, quindi, le distanze dei vertici dal centro di simmetria. 3

4 3.2 Iperbole L equazione canonica di una iperbole è: con a, b > 0, oppure: x 2 x 2 a 2 y2 b 2 = 1, a y2 2 b = 1, ( ) 2 con a, b > 0. Se a = b, l iperbole è equilatera. Dall equazione canonica di una iperbole si osserva subito che: la curva è simmetrica rispetto a ciascuno dei due assi e rispetto all origine. nel caso ( ), la curva interseca gli assi cartesiani nei due punti (±a, 0) detti vertici dell iperbole. Nel caso ( ) i vertici sono (0, ±b). le rette y = b x rappresentano gli asintoti dell iperbole e delimitano a le regioni in cui giace l iperbole. ( ) 4

5 3.3 Parabola L equazione canonica di una parabola è: y = ax 2, ( ) oppure: x = by 2, ( ) Consideriamo l equazione ( ). Osserviamo che: la curva è simmetrica rispetto all asse y, detto asse della parabola. se a > 0 la curva sta nel semipiano positivo, se a < 0 la curva sta nel semipiano negativo. l origine è il vertice della parabola. Considerazioni analoghe si hanno nel caso ( ). 5

6 Osservazione 3.1. La forma canonica delle coniche è quella che l equazione assume in un sistema di riferimento opportuno. Se cambiamo il sistema di riferimento, ossia eseguiamo una rototraslazione degli assi, l equazione della conica assumerà la forma generale ax 2 + by 2 + cxy + dx + ey + f = 0 nella quale compaiono tutti termini di una equazione di secondo grado. Questo significa che in un sistema di riferimento generico, ossia non scelto con particolari criteri, l equazione di una conica si presenta completa. Definizione 3.1. Si definisce conica qualsiasi curva che in un sistema cartesiano si rappresenti con una equazione algebrica di secondo grado in x, y. (ovviamente i coefficienti dei termini di secondo grado non possono essere tutti nulli). Osservazione 3.2. Una conica nel senso della geometria elementare è anche una conica rispetto a questa definizione, il viceversa non è vero, poiché questa definizione comprende anche le coniche degeneri, ovvero coniche che si spezzano in rette o che degenerano in un punto. Occorre, quindi, trovare un metodo che permette di stabilire se una determinata equazione di secondo grado rappresenta una conica degenere o non degenere ed, in secondo luogo, di che tipo di conica si tratta. Se la conica è non degenere vogliamo, quindi trovare, una forma canonica, se la conica è degenere individuare le rette nelle quali si spezza. 6

7 4 L algebra lineare nello studio delle coniche È possibile utilizzare le tecniche dell algebra lineare per studiare e classificare le coniche. Data l equazione generale di una conica, si considera la sua forma matriciale, ovvero si considerano due matrici quadrate simmetriche, denotate con A e A 33, ottenute a partire dai coefficienti della curva. Attraverso l uso di autovalori, autovettori, rango delle matrici e determinante è, poi, possibile dedurre proprietà geometriche. Sia Γ una conica di equazione f(x, y) = 0. Poiché f è un polinomio generico di secondo grado si può scrivere: Γ = f(x, y) = a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 13 x + 2a 23 y + a 33 ovvero Γ = (x, y, 1)A(x, y, 1) t. Associamo ad f due matrici simmetriche: a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 = a 12 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 13 a 23 a 33 ; A 33 = ( a11 a 12 a 12 a 22 A è detta matrice associata alla conica, A 33 matrice dei termini di secondo grado della conica f. Cambiamenti di coordinate nel piano consentono di trasformare l equazione di secondo grado f(x, y) = 0, in una equazione più semplice, cioè in forma canonica. Una equazione di secondo grado rappresenta una conica non degenere in forma canonica se è del tipo (per le coniche a centro): αx 2 + βy 2 = γ con α e β autovalori di A 33 e γ = deta deta 33 oppure (per le parabole) βy 2 = 2γx o αx 2 = 2γy con α = 0, β autovalore di A 33 e γ 2 = deta nel primo caso e con β = 0, α β autovalore di A 33 e γ 2 = deta nel secondo caso. α Data la conica Γ, la classificazione avviene secondo il seguente schema: ) 7

8 Det(A) 0. Si tratta di una conica non degenere: deta 33 T r(a 33 ) deta Γ > 0 > 0 ellisse a punti immaginari > 0 < 0 ellisse a punti reali = 0 qualsiasi parabola < 0 qualsiasi iperbole (se a 11 + a 22 = 0 equilatera) con T r(a 33 ) = a 11 + a 22 Det(A) = 0. Si Tratta di una conica degenere deta 33 ρ(a) Γ < 0 2 coppia di rette reali distinte e incidenti > 0 2 coppia di rette immaginarie (1 punto reale in comune) = 0 2 coppia di rette reali parallele o complesse coniugate = 0 1 coppia di rette reali coincidenti Esempio: Classificare la seguente conica: Γ = f(x, y) = x 2 + 2xy 2y 2 + 6x + 6 = ( ) A = A 33 = poiché det(a) = 0 la conica è degenere. Poiché det(a 33 ) = 3 la conica si spezza in due rette reali incidenti. Esempio: Data la conica Γ : f(x, y) = hx 2 + 2xy + ky 2 2hx 2y + h = 0, per quali valori reali di h, k la conica è riducibile? Consideriamo la matrice A associata alla conica ed imponiamo che il suo determinante sia nullo. A = h 1 h 1 k 1 h 1 h 8

9 det(a) = h 2 k + h + h kh 2 h h = 0 h, k R. Esempio: Classificare la seguente conica: Γ = f(x, y) = 3x 2 + 2xy + 3y x = ( ) A = A 33 = poiché det(a) = 6 la conica è irriducibile. Poiché det(a 33 ) = 8 la conica è una ellisse (reale poiché tr(a 33 ) det(a) = 36). Una forma canonica della conica sarà: αx 2 + βy 2 = γ. Calcoliamo gli autovalori di A 33. det(a 33 λi) = 0 det(a 33 λi) = 3 λ λ = λ2 6λ + 8 = 0 risolvendo: λ 1 = α = 2, λ 2 = β = 4, γ = 3. 4 Una forma canonica sarà: 2x 2 + 4y 2 = 3 4 Esempio: Classificare la seguente conica: Γ = f(x, y) = x 2 + 6xy + 9y 2 6x = ( ) A = A 33 = poiché det(a) = 81 la conica è irriducibile. Poiché det(a 33 ) = 0 la conica è una parabola. Una forma canonica della conica sarà: βy 2 = 2γx. Calcoliamo gli autovalori di A 33 (uno sarà nullo). det(a 33 λi) = 0 det(a 33 λi) = 1 λ λ = λ2 10λ = 0 risolvendo: λ 1 = α = 0, λ 2 = β = 10, γ 2 = 81 Una forma canonica sarà: 81 10y 2 = 2 10 x 9 10.

10 oppure 81 10y 2 = 2 10 x Esempio: Classificare la seguente conica: Γ = f(x, y) = x 2 +2xy +y 2 2x 2y +1 = ( ) A = A 33 = poiché det(a) = 0 la conica è riducibile. Poiché det(a 33 ) = 0 e ρ(a) = 1 la conica si spezza in due rette reali coincidenti. Troviamo le rette, risolvendo in funzione della variabile x: x 2 + 2(y 1)x + y 2 2y + 1 = 0 = 4(y 1) 2 4(y 2 2y + 1) = 4(y 2 2y + 1) 4(y 2 2y + 1) = 0 La retta cercata sarà: x = 2(y 1) 2 = y + 1 cioè x + y 1 = 0 Esempio: Classificare la seguente conica: Γ = f(x, y) = 2x 2 5xy+2y 2 +3x 3y+1 = ( ) 2 2 A = A = poiché det(a) = 0 la conica è riducibile. Poiché det(a 33 ) = 9 0 la conica 4 si spezza in due rette reali e distinte. Troviamo le rette, risolvendo in funzione della variabile x: La rette cercate saranno: 2x 2 + ( 5y + 3)x + 2y 2 3y + 1 = 0 = ( 5y + 3) 2 4 2(2y 2 3y + 1) = (3y 1) 2 x = 5y 3 ± (3y 1) 4 10 = 1 2 y 1 2 2y 1

11 ovvero: x 2y + 1 = 0 e 2x y + 1 = 0 Esempio: Classificare la seguente conica al variare del parametro t: Γ = f(x, y) = x 2 + 2txy + y 2 + t = 0 1 t 0 ( ) A = t t A 33 = t t det(a) = t(1 t 2 ), det(a 33 ) = 1 t 2. Se det(a) = 0 ovvero t = 0 o t = ±1 allora Γ è degenere. In particolare per t = 0, det(a 33 ) = 1, ρ(a) = 2 la conica si spezza in due rette complesse coniugate incidenti in punto reale. per t = ±1, det(a 33 ) = 0, ρ(a) = 2 la conica si spezza in due rette parallele Se det(a) 0 ovvero t 0 o t ±1 allora Γ è irriducibile. In particolare se det(a 33 ) = 1 t 2 > 0 ovvero 1 < t < 1 allora Γ è una ellisse. Si tratta di una ellisse immaginaria per 0 < t < 1, reale per 1 < t < 0. se det(a 33 ) = 1 t 2 < 0 ovvero t < 1 o t > 1 allora Γ è una iperbole. Non esistono parabole 5 Studio delle coniche a centro 5.1 Centro di simmetria e assi di simmetria Il centro di simmetria di una conica a centro si ottiene risolvendo il sistema lineare omogeneo: { a11 x + a C = 12 y + a 13 = 0 a 12 x + a 22 y + a 23 = 0 Gli assi sono delle rette che passano per il centro di simmetria. Si possono distinguere due casi: 11

12 a 12 = 0, in questo caso gli assi sono paralleli agli assi coordinati; a 12 0, in questo caso gli assi sono paralleli alle rette di equazione r 1 : (a 11 α)x + a 12 y = 0 r 2 : (a 11 β)x + a 12 y = 0 con α e β autovalori di A 33. Per ottenere gli assi si considerano due rette parallele a r 1, r 2 rispettivamente e si impone il passaggio per il centro C. Osservazione 5.1. Per le coniche degeneri il centro di simmetria è rappresentato dall intersezione (se esiste) delle due rette in cui la conica si decompone. Esempio: Trovare il centro e gli assi di simmetria della conica La conica è irriducibile. Γ : 3x 2 + 8xy 3y 2 6x 8y = A = det(a) = 75 > A 33 = ( la conica è una iperbole, poiché a 11 + a 22 = 0 è una iperbole equilatera. Il centro sarà dato da: { 3x + 4y + 3 = 0 C = C = (1, 0) 4x 3y 4 = 0 Gli autovalori della matrice A 33, ottenuti risolvendo l equazione det(a 33 λi) = 0, sono λ 1 = α = 5, λ 2 = β = 5. Di conseguenza gli assi saranno paralleli alle rette: r 1 = (3 5)x + 4y = 0 ) r 2 = (3 + 5)x + 4y = 0 ovvero saranno rispettivamente del tipo: 2x h = 0 e 8x + 4y + k = 0. Imponendo il passaggio per il centro C si ottiene h = 2, k = 8. Gli assi saranno quindi le rette 2x+4y+2 = 0 e 8x+4y 8 = 0 ovvero semplificando x 2 1 = 0 e 2x + y 2 = 0. 12

13 5.2 Asintoti dell iperbole Sia Γ = f(x, y) = 0 una iperbole e sia C il suo centro. Sia g(x, y) = 0 l equazione formata dai coefficienti di secondo grado della conica Γ. L equazione g(x, y) = 0 individua una conica spezzata in due rette distinte s 1, s 2. Gli asintoti di Γ sono delle rette parallele a s 1 e s 2 e passanti per il centro C. Esempio: Trovare gli asintoti dell iperbole studiata nell esempio precedente: Γ : 3x 2 + 8xy 3y 2 6x 8y = 0 Sappiamo che il centro C ha coordinate C = (1, 0). Consideriamo la conica formata dai coefficienti di secondo grado: 3x 2 +8xy 3y 2 = 0. Calcoliamo le rette s 1 e s 2, risolvendo rispetto alla x. = 64y 2 4 3( 3y 2 ) = 100y 2 ovvero: x = 8y ± (10y) 6 = 3y y 3 s 1 : x 3y = 0 s 2 : x + y 3 = 0 Le rette parallele alle rette s 1 e s 2 saranno rispettivamente: x 3y + h = 0 e x y + k = 0 Imponendo il passaggio per il centro C otteniamo: h = 1 e k = 1, Gli asintoti saranno, quindi, le rette: x 3y 1 = 0 e 3x + y 3 = 0 6 Studio della parabola 6.1 Asse della parabola Sia Γ = f(x, y) = 0 una parabola. Allora l asse della parabola è una retta parallela alla retta di equazione a 11 x + a 12 y = 0 13

14 6.2 Vertice La tangente alla parabola Γ nel vertice è ortogonale all asse; essa è l unica retta ortogonale all asse che interseca Γ in un solo punto doppio. Questo punto è il vertice. 6.3 Come trovare l asse e il vertice di una parabola Sia Γ = f(x, y) = 0 una parabola. procedere così: Per trovare l asse e il vertice si può l asse della parabola è parallelo alla retta di equazione a 11 x + a 12 y = 0, quindi la tangente nel vertice ha equazione a 12 x a 11 y + t = 0, dove t è determinato in modo che vi sia una sola soluzione (doppia) V con la parabola. V è il vertice. l asse è la retta per V parallela alla retta a 11 x + a 12 y = 0 Esempio: Trovare l asse e il vertice della parabola: Γ : 4x 2 4xy+y 2 +4y = 0 Poiché a 11 = 4 e a 12 = 2 0 l asse della parabola sarà parallelo alla retta di equazione: 4x 2y = 0 ovvero 2x y = 0. La tangente nel vertice V ha equazione x 2y + t = 0 ovvero x + 2y t = 0 con t da determinare, considerando il sistema { x + 2y t = 0 4x 2 4xy + y 2 + 4y = 0 Ricavando la x dalla prima equazione e sostituendo nella seconda si trova l equazione nella y 25y 2 + ( 20t + 4)y + 4t 2 = 0 imponiamo la condizione di tangenza ovvero = 0, = t = 0 da cui t = La tangente nel vertice è quindi: x + 2y 1 = Il vertice si trova intersecando la retta tangente con la conica Γ. Risolvendo il sistema si ha: V = ( 9, 1 ) L asse di Γ è la retta parallela alla retta 2x y = 0 e passante per V, risolvendo si ha 2x y 2 = 0. 5 Osservazione 6.1. Metodo pratico per trovare vertice, asse e tangente alla parabola Γ: 14

15 l asse è parallelo alla retta a 11 x + a 12 y = 0 la tangente è ortogonale alla retta a 11 x + a 12 y = 0 cioè è una retta del tipo a 12 x a 11 y + t = 0 t si ottiene imponendo la condizione di tangenza ovvero = 0 risolvendo il sistema tra la tangente e la conica. il vertice V si ottiene intersecando la tangente con la curva Γ imponendo il passaggio dell asse di simmetria a 11 x + a 12 y + h = 0 per il vertice V si trova il parametro h Osservazione 6.2. Sia Γ = f(x, y) = 0, una conica non degenere e g(x, y) la parte di secondo grado di Γ. Allora Γ è una parabola se e solo se g(x, y) è un quadrato a meno del segno. 15

16 Esercizi Esercizio 1: Date le seguenti coniche non degeneri: 1. 9x 2 + 4xy + 6y 2 10 = 0 2. x 2 + 6xy + y 2 + 2x + y = x 2 6xy + 5y x + 38 = x 2 7y y + 7 = 0 5. x 2 + 4xy + 4y 2 6x + 1 = 0 Per ognuna di esse stabilire le matrici associate alla conica di quale conica si tratta se si tratta di una conica a centro, determinare centro e assi di simmetria determinare una forma canonica Esercizio 2: Date le seguenti coniche degeneri: 1. x 2 + 2xy + y 2 + 3x + 3y = 0 2. x 2 + 9y 2 6xy + 2x 6y + 1 = 0 3. x 2 + xy 2y 2 + 3y 1 = 0 4. x 2 + 4y 2 = 0 Determinare le equazioni delle rette che la formano e l eventuale centro di simmetria. Esercizio 3: Sia Γ la conica di equazione: f(x, y) = 2xy x 3y = k 16

17 Stabilire per quali valori di k la conica è degenere. Posto k = 0, stabilire di quale tipo di conica si tratti. Trovare gli assi (o l asse) di simmetria di Γ per k = 0. Esercizio 4: Sia k un parametro reale. Si consideri la famiglia di coniche Γ k di equazione: f(x, y) = 2kx 2 + 2(k 2)xy 4y 2 + 2x = 1. Esistono coniche degeneri nella famiglia? Si classifichi la conica Γ k al variare di k. Si determinino le coordinate dei centri delle coniche (quando esistono). Esercizio 5: Sia Γ la conica di equazione f(x, y) = 3x xy 5y 2 10x + 14y = 0 Stabilire il tipo di conica. Nel caso sia una conica a centro, trovare le coordinate del centro. Trovare equazioni degli eventuali asintoti della conica. Esercizio 6: Data la parabola di equazione x 2 + 4xy + 4y 2 6x + 1 = 0, determinarne il vertice e l asse di simmetria. Esercizio 7: Provare che la conica 4x 2 4xy +y 2 +6x+2y 3 = 0 è una parabola, trovare il vertice ed una forma canonica. 17

18 Esercizio 1: Soluzioni: 1. Ellisse, C(0, 0), x 2y = 0, 2x + y = 0, x y2 1 = Iperbole, C( 1, 5 ), 4x 4y 1 = 0, 8x+8y+3 = 0, x2 +4y = 3. Ellisse, C( 5 2, 3 2 2), x+y+4 2 = 0, x y+ 2 = 0, 4x 2 +y 2 1 = Iperbole, C(0, 24 7 ), y = 24 7, x = 0, 25x2 7y = 0 5. Parabola, x 2 = y Esercizio 2: 1. rette parallele, x + y = 0, x + y + 3 = 0 2. rette coincidenti, x 3y + 1 = 0 3. rette reali distinte, x y + 1 = 0, x + 2y 1 = 0, C = ( 1 3, 2 3 ) 4. rette complesse coniugate, x ± 2iy = 0 Esercizio 3: k = 3 2 iperbole x y = 1, x + y = 2 Esercizio 4: non esistono coniche degeneri se k = 2 è una parabola, se k 2 è una iperbole per k 2, C = ( 4 (k+2) 2, k 2 (k+2) 2 ) Esercizio 5: iperbole C = ( 3 8, 7 8 ) x + 5y 4 = 0, 3x y + 2 = 0 Esercizio 6: asse: 5x + 10y = 3, V = ( 17 Esercizio 7: V = (0, 1), y = 2 5 x, 14)