VINCENZO AIETA Matrici,determinanti, sistemi lineari

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1 VINCENZO AIETA Mtrici,determiti, sistemi lieri

2 1 Mtrici 1.1 Defiizioe di cmpo. Dto u isieme A, dotto di due operzioi itere (, ), A Φ, si dice che l struttur lgebric A(, ), di sostego A, è u cmpo se: (1) A( ) è u gruppo belio, vle dire: (.) ( b) c = ( b c) 1, b, c Α Proprietà ssocitiv (.b ) 1 Α, u Α / u = u = Esistez dell elemeto eutro u (.c) 1 Α, ' Α / ' = ' = u Esistez del simmetrico (.d ) 1 b = b,, b Α Proprietà commuttiv I prticolre qulor si verifict solo l (1.) l struttur A( ) prede il ome di semigruppo, l (1.) più l (1.b) di mooide, l (1.), (1.b) e (1.c) di gruppo. (2) è doppimete distributiv rispetto, cioè: ( b c ) = ( b ) ( c ) ( b c ) = ( b ) ( c ) (3) A -{u} rispetto è u gruppo belio: ( 3.) ( b c) = ( b) c (.b) 3 u' = u' = (.c) qulor o si verifict l (3.d), l struttur A(, ), riteedo verificte tutte le ltre proprietà, prede il ome di corpo. 1.2 Defiizioe di Mtrice., b, c Α Proprietà ssocitiv Esistez di u, elemeto eutro 3 ' = ' = u' Esistez del simmetrico (.d ) 3 b = b Proprietà commuttiv U mtrice M(m, ),di tipo (m, ), è u tbell costituit d m elemeti pprteeti d u cmpo, di solito R, disposti su m righe ed coloe: M ( R) ( m, ) K1 j. K K2 jk = K m1m2m3kmjk 1 2 m

3 2 Mtrici 1.3 Mtrici prticolri. (1.3.) Se m l mtrice si dice rettgolre, se m = l mtrice si dice qudrt, il umero delle sue righe (o coloe) si chim l ordie dell mtrice. (1.3.b) U mtrice A(m, ) si dice ull se tutti i suoi elemeti soo ulli: M = (1.3.c) Dt u mtrice A(m, ) si defiisce mtrice oppost l mtrice vete come elemeti gli opposti degli elemeti corrispodeti. A =... m m m 3 1 j... 2 j mj m A = m m m 3 1 j j... mj m (1.3.d) Si chim vettore rig u mtrice co u uic rig, cioè del tipo (1, ). Si chim vettore colo u mtrice co u uic colo, cioè del tipo (m,1). U mtrice qudrt, A(, ), vete tutti gli elemeti dell digole priciple uguli 1 e i restti ulli, si chim mtrice uitri ( o mtrice idetic) e viee idict co I. I = (1.3.e) Si defiisce mtrice trspost M t di u mtrice M(m,) l mtrice che si ottiee dll mtrice ssegt scmbido le righe co le coloe. M = m 1 m m M t = m 1 m 2... m (1.3.f) U mtrice qudrt M, di ordie, si dice simmetric se soo uguli le coppie di elemeti simmetrici rispetto ll digole priciple, cioè se: i k = k i per i,k =1.. ed i k

4 Mtrici 3 I modo del tutto equivlete, u mtrice M si dice simmetric se: M = M t. (1.3.h) Fr le mtrici qudrte di ordie rivestoo otevole iteresse, per ciò che cocere le ppliczioi, le mtrici trigolri superiori (iferiori) i cui tutti gli elemeti che si trovo sotto ( sopr ) l digole priciple soo ulli, metre gli ltri elemeti possoo essere quluque, e le mtrici digoli i cui tutti gli elemeti dell digole priciple soo diversi d zero, metre soo ulli tutti gli ltri. 1.4 Addizioe tr mtrici. Defiimo mtrice somm di due mtrici di tipo (m, ) su R: A = ( i j ) e B = (b i j ) co i =1..m, j=1.. l mtrice che h come elemeti l somm degli elemeti che occupo l stess posizioe elle mtrici ddedi; cioè: ( i j ) + (b i j ) = (c i j ) i = 1..m j = K1 2122K. 2 K... m1m2k b11b 12. K. b1 b21b22k. b K bm1bm 2Kb (1.5) Prodotto di uo sclre per u mtrice. m c11c12. K. c1 c21c22k. c2 =... K cm1cm2kcm Dt u mtrice A(m, ) e kεr, si defiisce prodotto di uo sclre k per u mtrice A, l mtrice che si ottiee moltiplicdo k per tutti gli elemeti di A. m k ( i j ) = (k i j ) i = 1..m j = 1.. ( ) k m1 m 2... m k11k12... k1 k 21k k 2 = k m1k m 2... k m L isieme M m dotto di ddizioe, cioè l struttur ( M, + ), è u gruppo belio. ( ) m

5 4 Mtrici 1.5 Prodotto righe per coloe. Cosiderimo due mtrici, M 1 ed M 2, d elemeti el cmpo rele; se il umero delle coloe dell prim mtrice è egule l umero di righe dell secod si può moltiplicre ogi rig dell prim mtrice per ogi colo dell secod, otteedo cor u mtrice che h le righe dell prim e le coloe delle secod. Dte le mtrici: ( m ) M, 1 ed M (, p) 2 eseguimo l moltipliczioe righe per coloe. Esplicitdo le mtrici, M M 1 2 = = ( ) ij ( b ) hk i = 1... m j = 1.. h = 1.. k = 1.. p si h: M M = M = ( c ) dove = cik = i 1b1 k + i2b2 k + i3b3 k + K + ibk = j= j 1 b ij ik jk i = 1.. m k = 1.. p cioè, c ik è l somm dei prodotti degli elemeti dell ì esim rig di M 1 per gli elemeti dell k esim colo di M 2. L struttur ( ) (, +, ) M è u ello uitrio o commuttivo, perché: È gruppo belio rispetto ll ddizioe; L moltipliczioe è ssocitiv; L moltipliczioe è distributiv rispetto ll ddizioe; L moltipliczioe mmette l elemeto eutro (mtrice uitri). L moltipliczioe o è, però, commuttiv perché o sempre d AxB si può pssre BxA e, se che fosse, solo di rdo risulterebbe (mtrici permutbili) verifict l ugugliz. 1.6 Ivers di u mtrice. Assegt u mtrice A(m,) diremo che ess è ivertibile se è qudrt, cioè m =, e se il suo determite det(a) (prgrfo successivo) è diverso d zero. I tl cso esiste A -1, ivers di A tle che: A -1 A = A A -1 = I, dove I è l mtrice uitri. Se ess esiste è uic. U mtrice priv di ivers si dice sigolre. Deotdo co A* l mtrice ggiut (trspost dell mtrice dei complemeti lgebrici di A) A -1 si ottiee medite l formul: A -1 = 1 A * det(a)

6 Determiti Defiizioe di determite. Assegti oggetti, di tur qulsisi, si dicoo permutzioi semplici di clsse tutti i rggruppmeti che si ottegoo prededo, ogi volt, gli oggetti, sicchè due di essi possoo differire solo per l ordie degli elemeti. Cosiderimo l isieme degli idici: N = 1, 2, 3,.., costituito di umeri turli escluso lo zero. Il umero di permutzioi di clsse che si possoo formre co gli elemeti dti è il fttorile di ; quidi: P =!! è il prodotto dei primi umeri turli:! = (-1). Vle l proprietà: (+1)! = (+1)! per cui: 1! = 1 0! m 1! =1 e perciò 0! =1. Le permutzioi ell isieme N soo le fuzioi ivertibili di N i N. Ad esempio, ll isieme {1, 2 } soo ssocite due permutzioi: 1 2 permutzioe idetic, lsci port 1 2 e 2 1, 1iversioe 1 2 e 2 2,0 scmbi clsse pri 2 1 clsse dispri Se i u permutzioe o vi è lcu iversioe di ordie rispetto quello turle si dice che l permutzioe è di clsse pri (l stess cos vle se il umero di iversioi è pri), metre se vi è u iversioe si dice che l permutzioe è di clsse dispri (stesso discorso se le iversioi soo i umero dispri). Le permutzioi di clsse pri, cicli, soo positive; quelle di clsse dispri, trsposizioi, soo egtive. Le prime soo, i umero, sempre uguli lle secode. Cosiderimo l isieme 1, 2, 3 ; le permutzioi soo 3! = = 6, vedimole: lsci fisso 1 e scmbi 2 3 ; lsci fisso 3 e scmbi 1 2; iversioe clsse dispri iversioe clsse dispri lsci fisso 2 e scmbi 1 3; lsci fissi i tre idici ; vi soo iversioi clsse dispri iversioi clsse pri port 1 2, 2 3, 3 1; port 3 1, 1 2, 2 3 ; iversioi clsse pri iversioi clsse pri. Fissto u cmpo K ed ssegt u mtrice A, qudrt di ordie co elemeti i K, defiimo determite di A, det(a), l somm dei termii (prodotti) reltivi lle fttorili permutzioi dell isieme N = {1,2,3,, }, prese co il sego più se di clsse pri co il sego meo se di clsse dispri. Se ƒ è u permutzioe di N llor, si può scrivere: A = det(a) = ƒ f

7 6 Determiti ( x) Det(A) è uo sclre e si può che defiire come u fuzioe dll isieme K delle mtrici qudrte di ordie, ell isieme R dei umeri reli : ( x) det : K R A(,) det(a)ε R 2.2 Clcolo di determiti. Eseguimo il clcolo del determite di u mtrice A,qudrt di ordie = 2: A = = Poiché ll isieme degli idici Ι = {1,2} soo ssocite 2! = 2 permutzioi, di cui u di clsse pri e u dispri, il vlore del determite è dto dll somm dei termii, d esse reltivi, che si ottegoo moltiplicdo i digole. Si spieg, co questo esempio, l ot regol memoic secodo l qule gli studeti so che si deve cmbire di sego qudo si moltiplic lugo l digole secodri, m o so il perché. Clcolimo, desso, il determite dell mtrice A = ( i j ) i, j = 1..3, qudrt di ordie = 3: A = Poiché ll isieme degli idici {1,2,3} corrispodoo 3! = 6 permutzioi,di cui 3 di clsse pri e tre di clsse dispri, l somm dei termii d esse reltivi dà il umero rele ssocito l determite. Riscrivedo le prime due coloe dopo l terz e moltiplicdo i digole (regol di Srrus) troveremo le sei permutzioi già espresse el precedete prgrfo, ribdire l defiizioe di determite di u mtrice: = Miore e complemeto lgebrico. Si defiisce complemeto lgebrico (o cofttore) A rs di u elemeto rs (miore) di u mtrice A di tipo (, ) il determite dell mtrice otteut sopprimedo i quell dt l r-esim rig e l s-esim colo. Esso è preceduto dl sego più se r + s è pri, dl sego meo se r + s è dispri.

8 Determiti 7 Si defiisce miore di u mtrice A (,) il determite di ogi mtrice qudrt estrtt d ess; il miore di ordie 1 è l elemeto; orldo questo miore co u rig ed u colo si perviee d u miore di ordie 2, poi di ordie 3 e cosi vi, fio d otteere l uico miore di ordie coicidete co A(, ). 2.4 Rgo di u mtrice. Si defiisce rgo p di u mtrice A(m, ) l ordie mssimo dei miori estrtti diversi d zero e, teedo coto che ogi mtrice è compost d vettori rig e vettori colo, il rgo può essere defiito, che, come il mssimo umero di liee dell mtrice liermete idipedeti. Ricordimo che il rgo p di u mtrice verific l proprietà : p Miimo(m, ). Teorem di Kroecher. U mtrice A(m,) h rgo p = r se esiste u suo miore estrtto di ordie r, H(r, r), diverso d zero e se tutti gli orlti di ordie r+1, H(r+1,r+1), soo uguli zero. Teorem di Lplce. Il determite di u mtrice qudrt A, di ordie, è ugule ll somm dei prodotti degli elemeti di u lie ( rig o colo) qulsisi dell mtrice per i rispettivi complemeti lgebrici. det (A) = rj A rj (riferito ll rig r-esim) det (A) = is A is (riferito ll s-esim colo) j = 1 i =1 Se l mtrice A è di ordie 1, ossi è costituit d u solo elemeto A = ( 11 ), si poe per defiizioe det (A)= 11, pertto il determite di u mtrice qudrt di ordie 1 è ugule l umero stesso. Per clcolre il determite di u mtrice di ordie co l regol di Lplce, si devoo clcolre determiti di mtrici di ordie -1; su volt per clcolre u determite di u mtrice qudrt di ordie -1, si devoo clcolre -1 determiti di mtrici di ordie -2, e così vi fio giugere l clcolo di u determite di u mtrice di ordie 2. Per ridurre il clcolo, volte molto lborioso, si pplico le proprietà dei determiti. Eseguimo il clcolo del determite di =3 per ritrovre le 3! permutzioi che co L Plce: = = = Proprietà dei determiti. () Se u mtrice qudrt h u lie di tutti zero, il suo determite è zero. (b) Se i u mtrice qudrt vi soo due liee uguli o proporzioli, il determite è zero. (c) Se i u mtrice qudrt si sostituisce u lie co l somm di quest co il prodotto di u sclre k per u lie d ess prllel, il determite o cmbi.

9 8 Sistemi lieri 3.1 Sistemi lieri. Assegt u mtrice A di tipo (m, ) sul cmpo R dei reli, u vettore colo X di tipo (, 1) ed u vettore colo B di tipo (m, 1), eseguedo il prodotto righe per coloe A X ed eguglido B, otteimo u sistem di m equzioi i icogite (x 1, x 2,..., x ) liere e o omogeeo x1 b x2 = b m1 m2 m x bm 11x1 + 12x x = b1 21x1 + 22x x = b2 : : : : m1x1 + m2x2+. + mx = bm Se il vettore B coicide co il vettore ullo 0 llor il sistem si dice liere omogeeo i quto tutti i suoi termii soo di primo grdo. Si dice soluzioe del sistem ogi pl (x 1, x 2,..., x ) di sclri di R, che soddisf le sue equzioi. I prticolre, se esso è omogeeo, l pl di tutti zero (0,0,,0) è u su soluzioe. U sistem liere è comptibile se mmette lmeo u soluzioe, i cso cotrrio si dice icomptibile. Il sistem liere omogeeo è sempre comptibile. Ad ogi sistem liere soo ssocite due mtrici: quell icomplet o dei coefficieti delle icogite A e quell complet A otteut ggiugedo d A l colo dei termii oti. Nel sistem omogeeo esse coicidoo b b 2 A = : : : A = : : : : m1 m2 m m1 m2. m b m Idicti co p il rgo di A, co p quello di A, co m il umero di equzioi ed il umero di icogite del sistem, si h il teorem di: Rouchè Cpelli il qule fferm che: codizioe ecessri e sufficiete ffichè u sistem di m equzioi i icogite si comptibile è che il rgo di A si ugule quello di A ; i prticolre se : p = p = m = esso mmette u uic soluzioe (teorem di Krmer). Se p = p = m < il sistem mmette -m soluzioi. Se p = p = m =, co m <m, si devoo elimire m - m equzioi, che dipedoo dlle rimeti, e l soluzioe è uic. Se p = p = m <, co m <m, elimite m - m equzioi icogite, il sistem mmette -m soluzioi. Se p p il sistem è icomptibile e o mmette lcu soluzioe. Se il sistem dto è liere omogeeo e p = p = m = ffichè esso bbi u uic soluzioe, quell ull (0,0,,0), è ecessrio che il det( A) si 0.

10 Appliczioi 9 ESERCIZIO 1. Determire per quli vlori di k l mtrice A è ivertibile, stbilire sez clcolre l ivers di A, se per k = 1, l ivers di A risult B k B = A = 2-1 k clcolimo det(a) = 2- k 2-1 k = k -1 2 Applicdo l proprietà (c) dei determiti, mi creo uo zero i 11, prim rig, e risolvo co L Plce: - (2 + 2k) + (-2 + k 2 ) = k-2 + k 2 = 0 k 2 2k 4 = 0 k 1 ± 5 è ivertibile. Pertto per k = 1, B o è l ivers di A come risult dll verific, pplicdo il prodotto righe per coloe: = ESERCIZIO 2. Studire, l vrire del prmetro rele k, il rgo dell mtrice: k+1 k 2k+1 k+1 -k-1 2k+1 A = 2k+3 2k+2 3k+3 moltiplicdo l terz colo per -1 2k+3 -k-1 3k+3 = 0 -k -k e sommdo co l secod si h: 0 0 -k k+1 k+1 k = 0 k = k - ( k+1)(2k+3) + (k+1) 2 = k (k+1)(-k-2) = 0 k = -1 2k+3 k+1 k = -2 Per k 0, -1, -2 rgo 3, per k = 0, -1, -2 rgo mssimo 2. Verifichimolo: k = 0 A= p = 2; k = -1 A= p = 2; per k = -2 A= p = Nel primo cso il determite è zero, perché vi è u rig ull. Nel secodo cso perché vi soo due righe proporzioli. Nel terzo cso perché vi soo due righe uguli ESERCIZIO 3. Dire per quli vlori di k l mtrice A è ivertibile e trovre l ivers per k = 3. Verificre che (A -1 ) T = (A T ) k 1 moltiplicdo l l rig per - k 3 2k 1 A = 0 -k k e sommdol ll 2, poi l 1-3k -k-2k 2 0 = - (3k+1)(k+2k 2 ) 2 2 k+1 per -k-1 e sommdol ll 3 : -3k-1-2k 2-2k+2 0-3k(-2k 2-2k+2) = k 2-7k = 0 (k = 0 e k = 1/7) quidi per k 0, 1/7 l mtrice è ivertibile. Per k = 3 divet: A = il cui determite, credo due zeri ell 3 colo, è =

11 10 Appliczioi Clcolimo i complemeti lgebrici: A 11 = = -18; A 12 = - = 6; A 13 = = 6; A 21 = - = -22; A 22 = =10; A 23 = - = 6; A 31 = = 21; A 32 = - = -9; A 33 = = /2 11/6-7/4 A * = A -1 = -1 A * = -1/2-5/6 3/4. Provimo che A -1 A = I /2-1/2 3/4 3/2 11/6-7/ /2-1/2-1/2-1/2-5/6 3/ = ; (A -1 ) T = 11/6-5/6-1/2-1/2-1/2 3/ /4 3/4 3/4 Poiché il det(a) coicide co il det(a T ) risult: det(a T ) = - 12; i complemeti lgebrici di A T soo dti dlle righe di A * per cui, fcedo l trspost, si ottiee (A T ) *. Allor srà: /2-1/2-1/2 (A T ) -1 = -1 (A T ) * = = 11/6-5/6-1/2 = (A -1 ) T /4 3/4 3/4 ESERCIZIO 4. Determire per quil vlori di k il sistem mmette 1 soluzioi, essu soluzioe. kx + y + z = 1 k x + ky + z = k scrivimo le mtrici: 1 k 1 k essedo di tipo (3,3) e (3,4) il rgo può x - y - z = essere l mssimo 3 e ciò vverrà per tutti i k per cui il determite dell prim mtrice è diverso k 1 1 k k+1 k+1 d zero. Clcolimolo: 1 k 1 = 1 k+1 2 = - ( k+1) 2 +2(k+1) = (k+1)(1-k) = 0 se k = ± Allor per k ±1 il sistem è comptibile ed mmette u uic soluzioe, i quto p = p = m =. Per determirl, bst elimire l z tr l prim e l terz equzioe e tr l secod e l terz equzioe. (k+1)x =1 Risolvedo il sistem: si h: x = 1 ; y = k + 2 ; z = - k -1 = -1 2x + (k-1)y = k k+1 k +1 k+1 x + y + z =1 x + y + z =1 Per k =1 x + y + z =1 equivlete rgo p = p = 2 = m <, essedo il miore x - y - z = 0 x - y - z = x + y + z =1 0, esso mmette 1 soluzioi del tipo (½, ½ - h, h). Per k = -1 si h: x y + z = x y z = 0

12 Appliczioi l mtrice h rgo 2, essedo il miore 0, m h rgo e, pertto, essedo p p, il sistem è icomptibile e o mmette lcu soluzioe. Il miore di terzo ordie precedete è stto otteuto orldo quello di ordie 2 co l 3 rig e l 4 colo. ESERCIZIO 5. Stbilire per quli vlori di k rele il sistem mmette 2 soluzioi. x + 2y + z = x + ky + (k+1)z = 1 scrivimo le mtrici: -1 k k+1 1 essedo di tipo (3,3) e (3,4) le due kx + 2ky + kz = 0 k 2k k 0 mtrici del sistem, il rgo può essere l più 3; clcoldo il determite dell mtrice dei coefficieti delle icogite (mi creo due zeri ell 2 colo moltiplicdo l 3 per -2 e sommdo d ess: k-2 k+1 = - (k + 2) 0 = 0 k, quidi il rgo srà mssimo 2. k 0 k 1 2 Se k -2 0 ci dice che il rgo p = 2. Orldo il miore precedete co l 4 colo, si -1 k ottiee: -1 k 1 moltiplicdo l 1 colo -1 k+2 1 = (k + 2)(- k) = 0 se k = 0, k = -2. k 2k 0 per -2 e sommdo co l 2 k 0 0 Per k 0 e d -2 il rgo dell mtrice complet è 3 ed il sistem è icomptibile. (essu soluz.) Per k = -2 si h: = 0 e rgo p =1 poiché le prime due righe soo proporzioli ll e vo elimite L mtrice otteut co l colo dei termii oti : h rgo 2, essedo 0, ed il sistem è icomptibile. Per k = 0 si h l terz rig di tutti zero, quidi p = p = 2 ed il sistem mmette 1 soluzioi. Quidi o vi soo vlori di k rele per cui il sistem h 2 soluzioi. Iftti soo le mtrici del sistem di tipo (2,3) e (2,4). Affichè il loro rgo si 1, ciò comporterebbe 2 soluzioi, dovedo fissre due icogite, i due vettori rig dovrebbero vere le compoeti proporzioli, cos o ver. ESERCIZIO 6. Dt l mtrice A e i vettori colo X e B, si dic per qule vlore di k rele A è ivertibile e per quli vlori di k il sistem A X = B è comptibile o icomptibile, trovre le soluzioi x 2 A = k 2 k 1 X = y B = k z 3

13 12 Appliczioi Moltiplico l 1 colo per -2 e sommo ll 3 : k 2 k 1-2k 2 = -1+2k 2 +k 2-2k = 3k 2-2k -1= k-2 che dà k = 1, -1/3. Perciò per k 1, -1/3 l mtrice A è ivertibile, il sistem è comptibile, essedo p = p = m = =3, ed mmette u uic soluzioe. Per determirl risolvimo il sistem: x + 2z = 2 k 2 x + ky + z = 3 k 2 x + ky + z = 3 bbio 2 e 3 ed elimio y: -kx - ky - k 2 z = -3k x + y + kz = 3 -kx(1-k) 0 z(1-k)(1+k) = 3(1-k) Elimio 1-k, bbio il risultto ll 1 equzioe ed elimio x, moltiplicdo l 2 equzioe per k: -kx + (1+k)z = 3 segue che z = 3+2k ; x = k ; y = -2k 2 + 4k k 1+ 3k 1 + 3k kx + 2kz = 2k 0 (1+3k)z = 3 + 2k x + 2z = 2 elimio l 3 rig x + 2z = Per k = 1 x + y + z = 3 e trovo: essedo 0 x + y + z = 3 x + y + z = risult p = p =2 < 3 che implic 1 soluzioi, fisso y = k i quto il miore estrtto o rigurd l y e risolvedo trovo l soluzioe (4-2k, k, k-1). x + 2z = Per k = -1/3 x - 3 y + 9z = soo mtrici di tipo (3,3) e (3,4) 3 x + 3y - z = Poichè: = = 0 p = 2 m = p = Per il teorem di Rouchè-Cpelli, p p, il sistem è icomptibile. ESERCIZIO 7. Dire per quli vlori di k rele l mtrice A è ivertibile. 2 3 k 0 3-2k k - 2 A = 1 k 1 moltiplico l 2 rig per -2 e sommo co l 1 : 1 k 1 0 k 2k 0 k 2k 3 2k k = k(k 2) - 2k(3-2k) = 5k 2-8k = 0 k = 0 e k = 8/5, quidi per k 0, 8/5 l k 2k mtrice è ivertibile. Per k = 0 il suo determite è zero (terz rig ull). Per k = 8/5 risult che l mtrice h due righe proporzioli e il suo determite è zero.

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