Determinanti e caratteristica di una matrice (M.S. Bernabei & H. Thaler

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Anna Belloni
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1 Determinnti e crtteristic di un mtrice (M.S. Bernbei & H. Thler

2 Determinnte Il determinnte può essere definito solmente nel cso di mtrici qudrte Per un mtrice qudrt 11 (del primo ordine) il determinnte è pri ll unico elemento dell mtrice: A 11 det( A) Per mtrici qudrte di ordine superiore il determinnte si definisce in mnier induttiv, prtendo dll definizione dt nel cso dell mtrice di ordine 1

3 Determinnte A second dell su posizione nell mtrice A, un elemento ik di un mtrice può essere: di clsse pri se i + k è pri di clsse dispri se i + k è dispri A ciscun elemento ik viene ssocit un mtrice qudrt, che si ottiene dll mtrice A eliminndo l i-esim rig e l k-esim colonn il determinnte di tle mtrice, M ik, si chim minore complementre dell elemento ik

4 Determinnte si chim complemento lgebrico C ik dell elemento ik il minore complementre M ik moltiplicto per +1 o 1 second che ik si di clsse pri o dispri: nn nk n n in ik i i in k n k A

5 Determinnte Il determinnte di un mtrice qudrt è definito come somm dei prodotti degli elementi di un line (rig o colonn) per i corrispondenti complementi lgebrici (sviluppo di Lplce) det( A) det( A) n i1 n k 1 ik ik C C rbitrrio) Il vlore del determinnte non dipende dll line scelt ( k Un mtrice con determinnte nullo è dett singolre ik ik ( i rbitrrio)

6 Determinnte di un mtrice 22 Clcolimo il determinnte di un mtrice 22: A Sviluppndo il determinnte lungo l prim rig si h: det A C C Il determinnte dell mtrice 22 si clcol come il prodotto degli elementi dell digonle principle meno il prodotto degli elementi dell digonle secondri.

7 Esempio Clcolre il determinnte dell mtrice Soluzione: Clcolre il determinnte dell mtrice Soluzione: A ) 4( ) det( A A ) 1)( ( 2) 3( ) det( A

8 Determinnte di un mtrice 33 Clcolimo il determinnte di un mtrice 33: A det A = 11 C C C 13 =

9 Determinnte di un mtrice 33 = = ( ) =

10 Esempio Clcolre il determinnte dell seguente mtrice A = Sceglimo l prim rig o l prim colonn (contenendo uno zero i clcoli sono più fcili) det A = 11 C C C 13 = ( 1) = = 23.

11 C è un metodo lterntivo per clcolre il determinnte di un mtrice 3 3 (regol di Srrus). Per pplicre il metodo lterntivo ricopimo l mtrice dt, ggiungendo ll fine le prime due colonne: Il determinte è dto come somm del prodotto dell digonle principle e delle digonli prllele meno il prodotto dell digonle secondri e delle sue prllele det( A) = = = 23.

12 Alcune proprietà dei determinnti 1) Il determinnte dell mtrice trspost è ugule l determinnte dell mtrice di prtenz: det A T = det(a). 2) Se tutti gli elementi di un rig (o di un colonn) sono nulli, il determinnte è nullo 3) Scmbindo tr loro due righe (o due colonne) il determinnte cmbi segno 4) Se due righe (o due colonne) sono proporzionli, il determinnte è nullo

13 Alcune proprietà dei determinnti 5) Se gli elementi di un rig (o di un colonn) vengono moltiplicti per un numero λ, il determinnte viene nch esso moltiplicto per λ. 5b) Si A i = A i + A i, llor det A 1 A i + A i A n = det A 1 A i A n + det A 1 A i A n Un proprietà nlog vle per le colonne. 5) e 5b) ci dicono che il determinnte è linere rispetto lle colonne (righe)

14 6) Il vlore del determinnte non cmbi sommndo un rig (colonn) il multiplo di un ltr rig (colonn). det A 1 A i + λa j A n = det A 1 A i A n, i j, λ R. 7) Dte due mtrici qudrte A e B, se C = AB, llor det AB = det(a)det(b). Osservzione: Dlle proprietà 5) e 6) segue che il determinnte di un mtrice formt d righe (colonne) linermente dipendenti è nullo.

15 Si A i combinzione linere delle ltre det A 1 A i A n = det A 1 n j=1,j i λ j A n A j n = j=1,j i λ j det A 1 A j A n = 0.

16 Def. Si V uno spzio vettorile e sino v 1,, v n vettori di V. Ogni somm del tipo α 1 v α n v n = n i=1 α i v i, α i R, si dice combinzione linere di v 1,, v n. I vettori v 1,, v n si dicono linermente indipendenti, se l equzione c 1 v 1 + c 2 v c n v n = 0, c 1,, c n R h come soluzione solo quell bnle c 1 = c 2 = = c n = 0. Nel cso contrrio si chimno linermente dipendenti.

17 Significto geometrico dei determinnti Si A un mtrice n n, llor il vlore ssoluto det A = volume del prllelepipedo formto dlle colonne (o righe) di A. Se A 1, A 2,, A n sono linermente indipendenti, det A 0. Inoltre, in questo cso il segno di det A indic l orientmento dell bse A 1, A 2,, A n. Per esempio in R 3 det i, j, k = 1, mentre det j, i, k = 1.

18 L re e volume dei «prllelepipedi» in ℝ2 e ℝ3

19 Mtrici digonli Il determinnte di un mtrice digonle è pri l prodotto degli elementi dell digonle principle: n i nn ii A ) det( nn A

20 Il rngo (crtteristic) di un mtrice (definizione lterntiv) Dt un mtrice A di ordine m n, si definisce minore di ordine r dell mtrice A un qulunque mtrice di dimensione r r i cui elementi sono dti dll intersezione di r righe e r colonne dell mtrice A. Esempio: dt l mtrice A =

21 Un minore di ordine 3 dell mtrice è ottenuto intersecndo le righe A 1, A 2, A 3 con le colonne ca 1, ca 3, ca 4. Un minore di ordine 2 dell mtrice è ottenuto intersecndo le righe A 2, A 3 con le colonne ca 1, ca 3.

22 Il rngo (crtteristic) di un mtrice in termini di determinnti Dt un mtrice A di ordine m n. Il rngo dell mtrice A è ugule p se esiste un minore di ordine p con determinnte diverso d zero e tutti i minori di A di ordine mggiore di p hnno determinnte ugule 0. rn A min m, n. Esempio: A = rn A min 3,2 = 2.

23 det = 3 0 rn A = 2. Esempio: A = Dto che rn A min 4,3 = 3, vedimo prim i minori di ordine = 0, = 0, = 0, = 0.

24 Poi i minori di ordine = 12 0 rn A = 2.

25 Prodotto vettorile Def. Sino v =, b, c = i + bj + ck, w =, b, c = i + b j + c k due vettori di R 3. Il prodotto vettorile di v e w è il vettore v w = bc b c i + c c j + b b k = (bc b c, c c, b b). Il prodotto vettorile può essere memorizzto usndo il seguente determinnte (formle), sviluppndo secondo l prim rig v w = i j k b c b c

26 Esempio. Sino v = 2,31, w = 4,1, 2. v w = i j k = ( 6 1)i + (4 + 4)j + (2 12)k = 7i + 8j 10k. Esempio. Abbimo i j = k, j k = i, k i = j. i j = i j k = k, j k = i j k = i, k i = i j k = j.

27 Per vettori di R 2 possimo usre l precedente definizione, introducendo l identificzione R 2 v v R 3, b (, b, 0). Sino v =, b, w =, b v w = i j k b 0 b 0 = b b k.

28 Alcune proprietà del prodotto vettorile V1) v w = w v; V2) v w + u = v w + v u; V3) hv w = v hw = h v w, h R ; V4) v v w = 0, w v w = 0; V5) hv v = 0, h R ; V6) se v w = 0, llor esiste un h R, tle che w = hv, oppure v = hw. V1) vuol dire che è nticommuttivo. V2) e V3) dicono che è linere. Le proprietà V4) stbiliscono che il vettore v w è perpendicolre si v, si w. Secondo l proprietà V5) il prodotto di due vettori prlleli è il vettore nullo e V6) fferm che vle nche il vicevers.

29 Norm del prodotto vettorile L norm si clcol come segue v w 2 = bc b c 2 + c c 2 + b b 2 = 2 + b 2 + c b 2 + c 2 + bb + cc 2 = v 2 w 2 v w 2 V7) Si θ l ngolo convesso fr i vettori v e w. Sppimo che per cui v w = cos θ v w v w 2 = v 2 w 2 v 2 w 2 cos 2 θ

30 = v 2 w 2 (1 cos 2 θ ) = v 2 w 2 sin 2 θ v w = v w sin θ V8) w sin θ = BH v w = v w sin θ = OA BH.

31 Quindi l norm del prodotto vettorile corrisponde ll re del prllelogrmm OACB individuto di vettori v e w. Adesso possimo verificre l proprietà V6) di sopr. Se v w = 0 v w = 0 l re del prllelogrmm è zero v e w sono prlleli. Esempio. Si dto nello spzio un prllelogrmm ACDB di vertici A = 1,2,4, B = 3,4,7, C = 0,3,1, D = 2,5,4. Trovre l re del prllelogrmm. Dobbimo clcolre AC AB

32 AC = 1,1, 3, AB = 2,2,3 AC AB = i j k = 9i 3j 4k AC AB = (9, 3, 4) = = 106. L re del prllelogrmm ACDB è 106.

33 Prodotto misto Sino dti tre vettori v = i + bj + ck w = 1 i + b 1 j + c 1 k u = 2 i + b 2 j + c 2 k Def. Si chim prodotto misto il numero v w u. Si h v w u = i + bj + ck ( b 1 c 2 b 2 c 1 i + 2 c 1 1 c 2 j + 1 b 2 2 b 1 k)

34 perciò = b 1 c 1 b 2 c 2 b 1 c 1 2 c 2 + c 1 b 1 2 b 2 v w u = b c 1 b 1 c 1 2 b 2 c 2. Dlle proprietà dei determinnti segue che M) v w u = w u v = u v w (permutzione ciclic) Si h che v w u = 0 i tre vettori v, w, u sono complnri. Qui si us il ftto che un determinnte è zero se e solo se le colonne (righe) sono linermente dipendenti.

35 Vedimo ll fine il significto geometrico del prodotto misto v w u = v w u cos(θ) dove θ è l ngolo fr i vettori v e w u. Sppimo che w u è l re del prllelogrmm individuto di vettori w e u. D ltr prte v cos(θ) corrisponde ll ltezz reltiv l prllelogrmm dell bse del prllelepipedo. Quindi v w u corrisponde l volume del prllelepipedo individuto di vettori v, w, u.

36 Esercizi 1. Clcolre i seguenti determinnti: , , 3/5 1/3 4 1 [0, 16, 11/15] 3/5 1/3 4 1 = = = =

37 2. Clcolre i seguenti determinnti: , Clcolre i seguenti determinnti:, 4/ / /3 [98, -250, -1157/9] , , [0, 0, -18]

38 4. Clcolre i seguenti determinnti x x x x x x x b x x c b x, dove x,, b, c, sono delle incognite.

39 A 3 +2A = = = A 1 +4A = = = 250.

40 4/ / /3 (regol di Srrus) = 4/ / /3 4/ /2 7 3 = = = = =

41 A 2 + A = 0, perché A 2 = A = 0, visto che A 3 = 2A = = = 18.

42 A 3 3A = A 2 +2A (sviluppo lungo l prim colonn) = = = = 340.

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