CAPITOLO 5 Analisi dei transitori Paragrafo 5.2: Scrittura delle equazioni differenziali per circuiti contenenti condensatori e induttori

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1 CAPITOLO 5 Analisi dei transitori Paragrafo 5.2: Scrittura delle equazioni differenziali per circuiti contenenti condensatori e induttori Problema 5.1 L=0.9 mh, Vs=12 V, R 1 = 6 kω, R 2 = 6 kω, R 3 = 3 kω L equazione differenziale per t>0 (interruttore aperto) del circuito di figura Applichiamo la LKC al nodo superiore (analisi nodale) per scrivere l equazione circuitale. Notate che la tensione al nodo superiore è la tensione sull induttore, v L. Ora, utilizziamo la definizione di tensione sull induttore per eliminare la variabile v L dall equazione al nodo: Sostituendo i valori numerici, otteniamo la seguente equazione differenziale: Problema 5.2 V 1 =12 V, C= 0.5 F, R 1 = 0.68 kω, R 2 = 1.8 kω L equazione differenziale per t>0 (tasto chiuso) del circuito di figura Applichiamo la LKC al nodo superiore (analisi nodale) per scrivere l equazione circuitale. Notate che la tensione al nodo superiore è la tensione sul condensatore, v C. Ora, utilizziamo la definizione di corrente nel condensatore per eliminare la variabile i C dall equazione al nodo:

2 Sostituendo i valori numerici, otteniamo la seguente equazione differenziale: Problema 5.3 V 1 =12 V, R 1 = 0.68 kω, R 2 = 2.2 kω, R 3 = 1.8 kω, C= 0.47 F L equazione differenziale per t>0 (interruttore chiuso) del circuito di figura Applichiamo la LKC al secondo nodo (analisi nodale) per scrivere l equazione circuitale. Notate che la tensione al nodo n. 1 è la tensione sul condensatore, v C. Per il nodo n.1: Per il nodo n.2: Risolvendo il sistema: Ora, utilizziamo la definizione di corrente nel condensatore per eliminare la variabile i C dall equazione al nodo:

3 Sostituendo i valori numerici, otteniamo la seguente equazione differenziale: Problema 5.4 V S2 =13 V, L= 170 mh, R 2 = 4.3 kω, R 3 = 29 kω L equazione differenziale per t>0 (interruttore aperto) del circuito di figura Applicando la LKT otteniamo: Ora, utilizziamo la definizione di tensione sull induttore per eliminare la variabile v L dall equazione al nodo Sostituendo i valori numerici, otteniamo la seguente equazione differenziale: Problema 5.5 I o =17 ma, C= 0.55 F, R 1 = 7 kω, R 2 = 3.3 kω, L equazione differenziale per t>0 del circuito di figura Applicando la definizione di corrente nel condensatore:

4 Sostituendo i valori numerici, otteniamo la seguente equazione differenziale: Problema 5.6 V S2 =11 V, C= 0.5 nf, R 1 = 14 kω, R 2 = 13 kω, R 3 = 14 kω, L equazione differenziale per t>0 (interruttore chiuso) del circuito di figura Applichiamo la LKC al nodo superiore (analisi nodale) per scrivere l equazione circuitale. Notiamo che la tensione nodale v 1 è uguale a: Sostituendo la tensione nodale v 1 nella prima equazione: Ora, utilizziamo la definizione di corrente nel condensatore per eliminare la variabile i C dall equazione al nodo: Sostituendo i valori numerici, otteniamo la seguente equazione differenziale:

5 Problema 5.7 V S = 20 V, R 1 = 5 Ω, R 2 = 4 Ω, R 3 = 3 Ω, R 4 = 6 Ω, C 1 = 4 F, C 2 = 4 F, I S = 4 A. L equazione differenziale per t>0 (interruttore chiuso) del circuito di figura 5.41 Applichiamo la LKC a due nodi (analisi nodale) per scrivere l equazione circuitale. Notiamo che la tensione del nodo n.1 è uguale a quelle ai capi dei due condensatori, v C1 = v C2 = v C. Per il nodo n.1: Per il nodo n.2: Risolvendo il sistema: Ora, utilizziamo la definizione di corrente nel condensatore per eliminare le variabili i Ci dall equazione nodale: Sostituendo i valori numerici, otteniamo la seguente equazione differenziale: Problema 5.8 C 1 = 1 F, R S = 15 kω, R 3 = 30 kω. L equazione differenziale per t>0 (interruttore chiuso) del circuito di figura 5.47.

6 Assumiamo che V S = 9 V, R 1 = 10 kω, R 2 = 20 kω. Applichiamo la LKC al nodo superiore (analisi nodale) per scrivere l equazione circuitale. 1. Prima dell apertura dell interruttore. Applichiamo la LKC al nodo superiore (analisi nodale) per scrivere l equazione circuitale. Ora, utilizziamo la definizione di corrente nel condensatore per eliminare la variabile i C dall equazione nodale: Sostituendo i valori numerici, otteniamo la seguente equazione differenziale: 2. Dopo l apertura dell interruttore. Applichiamo la LKC al nodo superiore (analisi nodale) per scrivere l equazione circuitale. Ora, utilizziamo la definizione di corrente nel condensatore per eliminare la variabile i C dall equazione nodale: Sostituendo i valori numerici, otteniamo la seguente equazione differenziale: Problema 5.9 I valori della tensione del generatore di tensione, delle induttanze e delle resistenze L equazione differenziale per t>0 (interruttore aperto) del circuito di figura Applichiamo la LKC al nodo superiore (analisi nodale) per scrivere l equazione circuitale.

7 Osserviamo che la tensione del nodo v 1 è uguale a: Sostituendo il valore della tensione nodale v 1 nella prima equazione: Ora, adoperando la definizione di tensione sull induttore per eliminare la variabile v L dall equazione nodale: Problema 5.10 I S = 4 A, L 1 = 1 H, L 2 = 5 H, R = 10 kω, L equazione differenziale per t>0 (interruttore aperto) del circuito di figura Applichiamo la LKC al nodo superiore (analisi nodale) per scrivere l equazione circuitale. Osserviamo che la tensione del nodo v 1 è uguale a: Sostituendo il valore della tensione nodale v 1 nella prima equazione: Ora, adoperando la definizione di tensione sull induttore per eliminare la variabile v L dall equazione nodale: Sostituendo i valori numerici, otteniamo la seguente equazione differenziale:

8 Paragrafo 5.3: Soluzione stazionaria in DC di circuiti contenenti induttori e condensatori. Condizioni iniziali e finali Problema 5.11 L = 0.9 mh, V S = 12V, R 1 = 6 kω, R 2 = 6 kω, R 3 = 3 kω. Le condizioni iniziali e finali del circuito di figura Prima di essere aperto, l interruttore è rimasto chiuso per un lungo intervallo di tempo. Abbiamo, quindi, una condizione stazionaria, e trattiamo l induttore come un corto circuito. La tensione ai capi dei resistori R 1 e R 3 è uguale a zero, poiché essi sono in parallelo al corto circuito, sicché tutta la corrente attraversa il resistore R 2 : Dopo che l interruttore è rimasto aperto per un lungo intervallo di tempo, abbiamo una condizione stazionaria e trattiamo l induttore come un corto circuito. Quando l interruttore è aperto, la sorgente di tensione non è connessa al circuito. Quindi: Problema 5.12 V 1 = 12V, C = 0.5 F, R 1 = 0.68 kω, R 2 = 1.8 kω Le condizioni iniziali e finali del circuito di figura Prima di essere chiuso, l interruttore è rimasto aperto per un lungo intervallo di tempo. Abbiamo, quindi, una condizione stazionaria, e trattiamo il condensatore come un circuito aperto. Quando l interruttore è aperto, la sorgente di tensione non è connessa al circuito. Quindi: Dopo che l interruttore è rimasto chiuso per un lungo intervallo di tempo, abbiamo una condizione stazionaria, e trattiamo il condensatore come un circuito aperto. La tensione ai capi del condensatore è uguale e quella ai capi del resistore R 2 :

9 Problema 5.13 V 1 = 12V, R 1 = 0.68 kω, R 2 = 2.2 kω, R 3 = 1.8 kω, C = 0.47 F Le condizioni iniziali e finali del circuito di figura Prima di essere chiuso, l interruttore è rimasto aperto per un lungo intervallo di tempo. Abbiamo, quindi, una condizione stazionaria, e trattiamo il condensatore come un circuito aperto. Quando l interruttore è aperto, la sorgente di tensione non è connessa al circuito. Quindi: Dopo che l interruttore è rimasto chiuso per un lungo intervallo di tempo, abbiamo una condizione stazionaria, e trattiamo il condensatore come un circuito aperto. Poiché la corrente che attraversa il resistore R 2 è nulla, la tensione ai caoi del condensatore è uguale a quella ai capi del resistore R 3 : Problema 5.14 V s2 = 13V, L = 170 mh, R 2 = 4.3 kω, R 3 = 29kΩ. Le condizioni iniziali e finali del circuito di figura In condizioni stazionarie possiamo trattare l induttore come un corto circuito. Prima della commutazione dell interruttore, applicando la LKT otteniamo: Dopo un lungo intervallo di tempo dalla commutazione dell interruttore, abbiamo una condizione stazionaria, e trattiamo l induttore come un corto circuito. Quindi, applicando la LKT abbiamo:

10 Problema 5.15 I 0 = 17 ma, C = 0.55 F, R 1 = 7 kω, R 2 = 3.3 kω. Le condizioni iniziali e finali del circuito di figura Prima della commutazione dell interruttore, il condensatore è sconnesso dal circuito, per cui non abbiamo alcuna informazione sulla sua condizione iniziale. Dopo la commutazione dell interruttore, la sorgente di corrente e il condensatore saranno in serie così che la coreente attraverso il condensatore risulterà costante. Pertanto, la velocità di accumulo della carica sulle armature del condensatore sarà anch essa costante e, di conseguenza, la tensione ai capi del condensatore crescerà ad un tasso costanre, senza mia raggiunfere un punto di equilibrio. Problema 5.16 Vs 2 = 11V, C = 0.5 nf, R 1 = 14 kω, R 2 = 13 kω, R 3 = 14kΩ. Le condizioni iniziali e finali del circuito di figura In condizioni stazionarie possiamo trattare il condensatore come un circuito aperto. Prima della commutazione dell interruttore, applicando la LKT abbiamo che la tensione ai capi del condensatore è uguale alla tensione della sorgente Vs 1 : Dopo un lungo intervallo di tempo dalla commutazione, abbiamo una condizione stazionaria, e trattiamo il condensatore come un circuito aperto. Poiché la corrente attraverso il resistore R 2 è uguale a zero, la tensione ai capi del condensatore è uguale a quella ai capi del resistore R 3 : Problema 5.17 Vs= 20V, R 1 = 5Ω, R 2 = 4Ω, R 3 = 3Ω, R 4 = 6Ω, C 1 = 4F, C 2 = 4F, I S = 4A. Le condizioni iniziali e finali del circuito di figura 5.41.

11 L interruttore S 1 è sempre aperto e quello S 2 si chiude nell istante t=0. Prima di chiudersi, l interruttore S 2 è rimasto aperto per un lungo intervallo di tempo. Quindi abbiamo una condizione stazionaria, e trattiamo i condensatori come circuiti aperti. Quando l interruttore S 2 è aperto, la sorgente di corrente non è connessa al circuito. Allora, Dopo che l interruttore S 2 è rimasto chiuso per un lungo periodo di tempo, abbiamo una condizione stazionaria, e trattiamo i condensatori come circuiti aperti. Entrambe le tensioni ai capi dei condensatori sono uguali alla tensione ai capi del resistore R 3 : Problema 5.18 C = 1 F, R S = 15 kω, R 2 = 30 kω. Le condizioni iniziali e finali del circuito di figura Assumiamo che V S = 9 V, R 1 = 10 kω, R 2 = 20 kω. Prima della chiusura, l interruttore è rimasto aperto per un lungo intervallo di tempo. Abbiamo, quindi, una condizione stazionaria, e trattiamo il condensatore come un circuito aperto. La tensione ai capi del condensatore è uguale a quella ai capi del resistore R 1. Allora, Dopo che l interruttore è stato chiuso per un lungo periodo di tempo, abbiamo una condizione stazionaria, e trattiamo il condensatore come un circuito aperto. La tensione ai capi del condensatore è uguale a quella ai capi del resistore R 1. Allora: Problema 5.19 Tensione della sorgente, induttanze e resistenze del circuito. Le condizioni iniziali e finali del circuito di figura 5.49.

12 Prima della commutazione dell interruttore, applichiamo la LKC al nodo superiore (analisi nodale) per scrivere l equazione del circuito. Dopo la commutazione, applichiamo la LKC al nodo superiore (analisi nodale) per scrivere l equazione del circuito. Problema 5.20 I S = 5 A, L 1 = 1H, L 2 = 5H, R = 10 kω. Le condizioni iniziali e finali del circuito di figura Prima della chiusura, l interruttore è rimasto aperto per un lungo periodo di tempo. Qiundi, abbiamo una condizione stazionaria, e trattiamo gli induttori come corto circuiti. I valori delle due resistenze sono uguali così che la corrente che attraversa gli induttori è: Dopo che l interruttore è rimasto chiuso per un lungo intervallo di tempo, abbiamo una condizione stazionaria, e trattiamo gli induttori come corto circuiti. In questo caso i resistori sono cortocircuitati sicchè tutta la corrente attraversa gli induttori Paragrafo 5.4: Risposta transitoria nei circuiti del primo ordine Problema 5.21 L = 0.9 mh, V S = 12 V, R 1 = 6 kω, R 2 = 6 kω, R 3 = 3 kω. Se esistono, le condizioni stazionarie immediatamente prima dell apertura dell interruttore.

13 i L = 1.70 ma appena prima dell apertura dell interruttore in t=0 Determiniamo le corrente stazionaria nell induttore per t<0. Se questa corrente è uguale alla corrente ipotizzato, si è in condizioni stazionarie; viceversa, l apertura dell interruttore interrompe un transitorio in atto. Per determinare il valore della corrente stazionaria nell induttore immediatamente prima dell apertura dell interruttore, sostituiamo all induttore il suo equivalente stazionario, un corto circuito, e calcoliamo la corrente che lo attraversa. In condizioni stazionarie, l induttore è rappresentato da un corto circuito: Allora, la corrente di corto circuito nell induttore è semplicemente quella che attraversa R 2 il cui valore può essere determinato applicando le Leggi di Kirchhoff e la Legge di Ohm. Applichiamo la LKT : Applichiamo la LKC: La corrente stazionaria reale che attraversa l induttore è maggiore di quella ipotizzata. Pertanto, appena prima dell apertura dell interruttore, il circuito non è in condizioni stazionarie. Problema 5.22 V S1 = 35V, V S2 = 130V, C= 11 μf R 1 = 17 kω, R 2 = 7 kω, R 3 = 23kΩ. In t=0 la corrente iniziale che attraversa il resistore R 3 subito dopo che l interruttore ha cambiato stato. Nessuna Per risolvare questo problema, determiniano la tensione di regime stazionario ai capi del condensatore prima della comutazione. Poichè la tensione sul condensatore non può cambiare istantaneamente, questa tensione sarà quela sul condensatore immediatamente dopo la commutazione dell interruttore. In quell istante, il condensatore è rappresentato da un circuito aperto: Applichiamo la LKT: Nell istante t=0 :

14 Applichiamo la LKT: Problema 5.23 V 1 = 12V, C= 0.5 μf, R 1 = 0.68 kω, R 2 = 1.8 kω. La corrente attraverso il condensatore subito prima e subito dopo che l interruttore venga chiuso Il circuito è in regime stazionario per t<0. Per t=0 - ipotizziamo che sia verificata la condizione di regime stazionario. Se la carica elettrica è accumulata sulle armature del condensatore, allora ci sarà energia immagazzinata nel campo elettrico all interno del condensatore e una d.d.p. ai suoi morsetti. Questo originerà una corrente attraverso R 2 che dissiperà energia fino a quanto ne sarà presente nel condensatore, esaurita la quale la corrente e la tensione ai morsetti del condensatore saranno nulli. Queste sono le condizioni stazionarie: Per t=0, l interruttore si chiude e inizia il transitorio. La continuità richiede: In quest istante, trattiamo il condensatore come una sorgente di tensione DC di valore nullo cioè come un cortocircuito. Pertanto, tutta la tensione V 1 è ai morsetti del resistore R 1 e la corrente risultante attraverso R 1 è la corrente nel condensatore. Applichiamo la LKC: (Somma delle correnti in uscita dal nodo superiore) La CORRENTE attraverso il condensatore NON è continua ma cambia da 0 a ma quando l interruttore si chiude. La tensione ai capi del condensatore è continua perché l energia accumulata NON PUO VARIARE ISTANTANEAMENTE.

15 Problema V 1 = 12V, C= 150 μf, R 1 = 400 mω, R 2 = 2.2 kω. La corrente attraverso il condensatore subito prima e subito dopo che l interruttore venga chiuso. Il circuito è in regime stazionario per t<0. Per t=0 - ipotizziamo che sia verificata la condizione di regime stazionario. Se la carica elettrica è accumulata sulle armature del condensatore, allora ci sarà energia immagazzinata nel campo elettrico all interno del condensatore e una d.d.p. ai suoi morsetti. Questo originerà una corrente attraverso R 2 che dissiperà energia fino a quanto ne sarà presente nel condensatore, esaurita la quale la corrente e la tensione ai morsetti del condensatore saranno nulli. Queste sono le condizioni stazionarie: Per t=0, l interruttore si chiude e inizia il transitorio. La continuità richiede: In quest istante, trattiamo il condensatore come una sorgente di tensione DC di valore nullo cioè come un cortocircuito. Pertanto, tutta la tensione V 1 è ai morsetti del resistore R 1 e la corrente risultante attraverso R 1 è la corrente nel condensatore. Applichiamo la LKC: (Somma delle correnti in uscita dal nodo superiore) La CORRENTE attraverso il condensatore NON è continua ma cambia da 0 a 30 A quando l interruttore è chiuso. La tensione ai capi del condensatore è continua perché l energia accumulata NON PUO CAMBIARE ISTANTANEAMENTE. Problema V 1 = 12V, L= 0.9 mh, R 1 = 6 kω, R 2 = 6 kω, R 3 = 3 kω. La tensione ai capi di R 3 subito dopo che l interruttore è aperto. i L = 1.70 ma prima dell apertura dell interruttore a t=0.

16 Quando l interruttore è aperto la sorgente di tensione è sconnessa dal circuito e non gioca alcun ruolo. Poichè la corrente attraverso l induttore non può cambiare istantaneamente la corrente nell induttore per t=0 è ancora 1.70 ma. In quest istante, trattiamo l induttore come una sorgente DC di corrente e determiniamo la tensione su R 3 con il partitore di corrente o la LKC e la Legge di Ohm. Assumiamo la polarità della tensione ai capi di R 3 Applichiamo la LKC: (Somma delle correnti in uscita dal nodo superiore) Problema V 1 = 12V, L= 100 mh, R 1 = 22 kω, R s = 0.7 kω. La tensione ai capi dell induttore subito prima e subito dopo che l interruttore cambi stato. Il circuito è in condizioni stazionarie per t<0. In condizioni stazionarie l induttore agisce come un cortocircuito e non presenta tensione ai suoi capi per t<0. Comunque, la sua corrente non è nulla e coincide con quella erogata dalla sorgente V s e che attraversa R s. Quando l interruttore cambia stato la corrente attraverso l induttore non muta poiché essa non può cambiare istantaneamente. Osserviano, inoltre, che dopo la commutazione dell interruttore la corrente in R 1 coincide sempre con quella nell induttore e che la d.d.p. su R 1 è sempre uguale a quella ai capi dell induttore. Allora, per t=0 la tensione sull induttore deve essere non nulla. Questo è possibile poiché la tensione ai capi di un induttore può mutare istantaneamente. Assumiamo una polarità per la tensione ai capi dell induttore. t=0 - : esistono le condizioni stazionarie. L induttore può essere modellato come un cortocircuito con: Applichiamo la LKT: Per t=0, inizia il transitorio. La continuità richiede: Applichiamo la LKT:

17 Problema V 1 = 12V, R 1 = 0.68 kω, R 2 = 2.2 kω, R 3 = 1.8 kω, C= 0.47 μf. La corrente attraverso il condensatore a t=0, subito dopo la chiusura dell interruttore. Il circuito è in condizioni stazionarie per t<0. Per t<0, l interruttore è aperto e nessuna sorgente di potenza è connessa alla parte sinistra del circuito. In condizioni stazionare, per definizione, tensione e corrente nel condensatore devono essere costanti. In assenza di una sorgente di potenza che compensi l energia dissipata dai resistori, quei valori costanti devono essere zero. D altra parte, se il condensatore erogasse corrente, la sua tensione decrescerebbe al diminuire della carica immagazzinata, e l energia associata verrebbe dissipata dai resistori. Il processo continuerebbe fino alla scomparsa della carica sulle armature corrispondente ad un livello di tensione pari a zero. In condizioni stazionarie, allora, la tensione sul condensatore è nulla Per t=0, la tensione ai capi del condensatore è ancora nulla in quanto essa non può cambiare istantaneamente. In quell istante, il condensatore può essere considerato come un generatore di tensione di valore nullo (cortocircuito). Comunque, la corrente attraverso il condensatore può mutare istantaneamente da zero ad un nuovo valore. In questo problema essa cambierà quando l interruttore si chiude perché il generatore di tensione V 1 erogherà corrente attraverso R 1 e il parallelo di R 2 e R 3. La corrente in R 2 coincide con quella nel condensatore. Applichiamo la LKT: Ricordiamo che le tensione sul condensatore (Volts = Jouls/Coulombs) rappresenta l energia immagazzinata nel campo elettrico compreso fra le armature del condensatore. Il campo elettrico è determinato dalla quantità di carica immagazzinata nel condensatore e non è possibile rimuovere istantaneamente carica elettrica dalle armature del condensatore. Pertanto, la tensione sul condensatore non può cambiare istantaneamente quando l interruttore si chiude. Comunque, la velocità con la quale la carica elettrica è rimossa dalle armature del condensatore (cioè la corrente nel condensatore) può cambiare istantaneamente quando il circuito è sede di commutazione.

18 Notiano anche che queste condizioni sono valide solo per t=0. Per t>0, durante la carica del condensatore, tutte le tensioni e le correnti tendono esponenzialmente al loro valore finale o valore stazionario. Applichiamo la LKT: Problema V S1 = 35V, V S2 = 130V, R 1 = 17 kω, R 2 = 7 kω, R 3 = 23 kω, C= 11 μf. La costante di tempo del circuito per t>0. Il circuito è in condizioni stazionarie per t<0. Per t>0, il transitorio è in corso. La costante di tempo è una misura relativa dellla velocità alla quale le tensioni e le correnti stanno variando durante la fase transitoria. La costante di tempo di un sistema con una sola capacità è R eq C dove R eq è la resistenza equivalente di Thevenin vista dal condensatore, cioè rispetto alla porta o ai morsetti del condensatore. Per calcolare R eq si spegne (si pone a zero) il generatore ideale indipendente di tensione e si risponde alla domanda Qual è la resistanza complessiva equivalente incontrata procedendo all interno del circuito da un morsetto del condensatore all altro?. Allora: Problema V S1 = 13V, V S2 = 13V, L= 170 mh, R 1 = 2.7 kω, R 2 = 4.3 kω, R 3 = 29 kω.. La costante di tempo del circuito per t>0. Il circuito è in condizioni stazionarie per t<0. Per t>0, il transitorio è in corso. La costante di tempo è una misura relativa dellla velocità alla quale le tensioni e le correnti stanno variando durante la fase transitoria. La costante di tempo di un sistema con una sola capacità è R eq C dove R eq è la resistenza equivalente di Thevenin vista dal

19 condensatore, cioè rispetto alla porta o ai morsetti del condensatore. Per calcolare R eq si spegne (si pone a zero) il generatore ideale indipendente di tensione e si risponde alla domanda Qual è la resistanza complessiva equivalente incontrata procedendo all interno del circuito da un morsetto del condensatore all altro?. Allora: Problema V 1 = 12V, C= 0.47 μf, R 1 = 680 Ω, R 2 = 2.2 kω, R 3 = 1.8 kω.. La costante di tempo del circuito per t>0. Il circuito è in condizioni stazionarie per t<0. Per t>0, il transitorio è in corso. La costante di tempo è una misura relativa dellla velocità alla quale le tensioni e le correnti stanno variando durante la fase transitoria. La costante di tempo di un sistema con una sola capacità è R eq C dove R eq è la resistenza equivalente di Thevenin vista dal condensatore, cioè rispetto alla porta o ai morsetti del condensatore. Per calcolare R eq si spegne (si pone a zero) il generatore ideale indipendente di tensione e si risponde alla domanda Qual è la resistanza complessiva equivalente incontrata procedendo all interno del circuito da un morsetto del condensatore all altro?. Allora: Problema V S = 12V, L= 0.9 mh, R 1 = 6 kω, R 2 = 6 kω, R 3 = 3 kω.. La costante di tempo del circuito per t>0. La corrente nell induttore è i L = 1.70 ma prima dell apertura dell interruttore per t=0. Per t>0, il transitorio è in corso. La costante di tempo è una misura relativa dellla velocità alla quale le tensioni e le correnti stanno variando durante la fase transitoria. La costante di tempo di un sistema con una sola capacità è R eq C dove R eq è la resistenza equivalente di Thevenin vista dal condensatore, cioè rispetto alla porta o ai morsetti del condensatore. Per calcolare R eq si spegne (si

20 pone a zero) il generatore ideale indipendente di tensione e si risponde alla domanda Qual è la resistanza complessiva equivalente incontrata procedendo all interno del circuito da un morsetto del condensatore all altro?. Allora: Problema V c (0 ) = - 7 V, I o =17 ma, C= 0.55 μf, R 1 = 7 kω, R 2 = 3.3 kω, La tensione V c (t) ai capi del condensatore per t>0. Appena prima che l interruttore cambi stato la tensione sul condensatore è - 7 V. Il generatore di corrente ed il condensatore saranno in serie in modo che la corrente nel condensatore sarà costante e pari a I o. Pertanto, la velocità di accumulo della carica sul condensatore sarà anch essa costante e, di consequenza, la tensione ai capi del condensatore crescerà a velocità costante. La forma integrale del legame i-v sul condensatore esprime al meglio la dinamica di questo processo di accumulo della carica. La continuità della tensione ai capi del condensatore richiede: Problema V S1 = 23V, V S2 = 20V, L= 23 mh, R 1 = 0.7 kω, R 2 = 13 kω, R 3 = 330 kω.. La corrente i R3 (t) attraverso il resistore R 3 per t>0. Il circuito è in condizioni stazionarie per t<0. Esso è di natura resistiva con un solo componente conservativo (l induttore) per cui una soluzione possibile è della forma

21 L approccio alla risoluzione richiede d apprima di determinare la condizione iniziale dell induttore in t=0 + al fine di adoperarla per calcolare la corrente iniziale attraverso il resistore R 3. In seguito, di determinare la condizione stazionaria di regime del circuito per t>0. Per fare questo, si fa uso semplicemente dell analisi circuitale in regime DC per determinare la corrente in R 3 sostituendo l induttore con un cortocircuito. Infine, determinare la costante di tempo del circuito per t>0. Ciascuno di questi tre risultati è necessario per ricavare la soluzione completa del transitorio. Per t = 0 - : Ipotizziamo che esista la condizione stazionaria. In tal caso, l induttore è modellato da un cortocircuito. Applichiamo la LKT: Questa corrente fluisce nella direzione che va dall induttore all interruttore. Determiniamo I o per t = 0 + : La continuità della corrente attraverso l induttore richiede: Determiniamo I SS per t : Ipotizziamo che sia passato un tempo sufficiente per il raggiungimeto delle condizioni di regime stazionario. In tal caso l induttore è modellato da un cortocircuito; pertanto la tensione ai suoi morsetti è zero. Ne risulta una semplice connessione serie fra i resistori R 2 ed R 3. La corrente che scorre in R 3 si determina utilizzando direttamente la Legge di Ohm. Determiniamo per t > 0: Per determinare la costante di tempo è dapprima necessario determinare la resistenza equivalente di Thevenin vista dai morsetti dell induttore. Per fare questo, si pongono a zero tutte le sorgenti ideali indipendenti e si determina la resistenza equivalente vista dall induttore, cioè valutata rispetto ai morsetti dell induttore: Ora la risposta completa può essere scritta facendo uso della soluzione per i transistori di tensione e corrente nei circuiti del primo ordine.

22 Problema V S1 = 17V, V S2 = 11V, R 1 = 14 kω, R 2 = 13 kω, R 3 = 14 kω., C= 70 nf. a. V(t) per t>0. b. Il tempo necessario affinchè la tensione V(t) raggiunga il 98% del suo valore di regime Il circuito è in condizioni stazionarie per t<0. Esso è di natura resistiva con un solo componente conservativo (il condensatore) per cui una soluzione possibile è della forma In generale, l approccio a problemi di questo tipo richiede d apprima la determinazione della condizione iniziale del condensatore in t=0 + al fine di adoperarla per calcolare la tensione iniziale ai capi del resistore R 3. In seguito, è necessario ricavare la condizione stazionaria di regime del circuito per t>0. Per fare questo, si fa uso semplicemente dell analisi circuitale in regime DC per determinare la tensione sul resistore R 3 (sostituendo il condensatore con un circuito aperto). Infine, determinare la costante di tempo del circuito per t>0 trovando la resistenza equivalente di Thevenin R TH vista ai morsetti del condensatore. Ciascuno di questi tre risultati è necessario per ricavare la soluzione completa del transitorio. a. Per t = 0 : La condizioni di regime stazionario sono specificate. A regime, il condensatore si può schematizzare come un circuito aperto: Applichiamo la LKT: Per t = 0 + : La tensione ai capi del condensatore rimane la stessa:

23 Applichiamo la LKC: Per t > 0: Determiniamo le resistenza equivalente vista dal condensatore, cioè rispetto ai morsetti el condensatore. Sopprimendo le sorgenti ideali indipendenti di tensione: Per t : Il circuito ha raggiunto il regime. In tale condizione il condensatore è schematizzabile con un circuito aperto: Poiché le corrente che attraversa il lato capacitivo è nulla, a regime la tensione ai capi di R 3 può essere immediatamente ricavata facendo uso del partitore di tensione La risposta completa per t>0 è allora: b. Il tempo necessario affinché V(t) ragginga il 98% del suo valore fianle si ricava da:

24 Ovvero Problema V G = 12V, R G = 0.37Ω, R = 1.7 kω.. Il valore di L e di R 1. La tensione V R fra gli elettrodi della candela subito dopo lo scatto dell interruttore è 23 kv e tale tensione decresce esponenzialmente con una costante di tempo = 13 ms. Per t = 0 : Ipotizziamo che esista la condizione di regime stazionario. In tale condizione l induttore è schamatizzabile con un cortocircuito: La corrente attraverso l induttore a questo punto è espressa direttamente dalla Legge di Ohm: Per t = 0 + : La continuità della corrente attraverso l induttore richiede che:

25 Notiamo che la tensione fra gli elettrodi V R è stata scritta come -23 kv in quanto la corrente nell induttore ha un verso opposto a quello associato alla polarità assunta per V R ; cioè la polarità reale della tensione ai capi di R è opposta a quella mostrata in figura. Per t > 0: Determiniamo la resistenza equivalente di Thevenin come vista dall induttore, cioé rispetto alla porta o ai morsetti dell induttore: Problema Quando i L + 2 ma, il relè entra in funzione. V S = 12V, L = 10.9 mh, R 1 = 3.1 kω. R 2 tale che il relè funzioni nell istante t = 2.3 s. Il circuito è in condizioni stazionarie per t<0. In questo problema la corrente attraverso l induttore è chiaramente nulla prima della commutazione dell interruttore. Lo scopo del problema è determinare il valore della resistenza R 2 tale che la corrente attraverso l induttore possa raggiungere in 2.3 secondi il valore di 2 ma. Di nuovo, dobbiamo trovare la soluzione transitoria completa, questa volta per la corrente attraverso l induttore. Assumiamo una soluzione della forma: Per t = 0 : La corrente attraverso l induttore è nulla in quanto nessuna sorgente è connessa al circuito.

26 Per t = 0 + : Per t > 0: Determiniamo la resistenza equivalente di Thevenin come vista dall induttore, cioé rispetto alla porta o ai morsetti dell induttore: E quindi, Per t : La condizione di regime stazionaria è stata raggiunta. In tale condizione l induttore è rappresentabile come un cortocircuito. Allora, la corrente attraverso R 2 è zero e la correnteattraverso l induttore è data da Sostituiamo la precedente quantità nella espressione della soluzione completa ed imponiamo che la corrente nell induttore sia pari a 2 ma per un tempo di 2.3 s. O O = 3.16 secondi risolvendo rispetto a R 2 : O

27 Problema V 1 = 12V, C= 150 μf, R 1 = 400 mω, R 2 = 2.2 kω. La corrente attraverso il condensatore subito prima e subito dopo che l interruttore venga chiuso. Il circuito è in regime stazionario per t<0. Per t=0 - ipotizziamo che sia verificata la condizione di regime stazionario. Se la carica elettrica è accumulata sulle armature del condensatore, allora ci sarà energia immagazzinata nel campo elettrico all interno del condensatore e una d.d.p. ai suoi morsetti. Questo originerà una corrente attraverso R 2 che dissiperà energia fino a quanto sarà presente energia nel condensatore, esaurita la quale la corrente e la tensione ai morsetti del condensatore saranno nulli. Pertanto, in questo circuito, e negli altri simili che non presentano sorgenti prima del cambiamento di stato dell interruttore, la condizione stazionaria è rappresentata da correnti e tensioni nulle. Per t=0, l interruttore si chiude e inizia il transitorio. La continuità richiede: Poiché la tensione ai capi del condensatore è nulla in quest istante, la tensione sul resistore R 2 è ancora nulla e questo comporta che nessuna corrente attraversa il resistore in t=0. Pertanto, per t=0, la corrente erogata dalla sorgente coincide con quella nel condensatore. La CORRENTE attraverso il condensatore NON è continua ma cambia da 0 a ma quando l interruttore è chiuso. La tensione ai capi del condensatore è continua perché l energia accumulata NON PUO CAMBIARE ISTANTANEAMENTE. Problema V S = 12V, R S = 0.24Ω, R 1 = 33 kω, L = 100 mh. La tensione ai capi dell induttore subito prima e subito dopo che l interruttore cambi stato. Il circuito è in condizioni stazionarie per t<0. La soluzione di questo problema può essere visualizzata notando che prima della commutazione dell interruttore il circuito si trova presumibilmente in condizioni di regime DC. Pertanto prima della commutazione dell interruttore l induttore può essere rappresentato come un cortocircuito

28 avente una tensione ai morsetti pari a zero. Di conseguenza, la corrente nell induttore prima del cambiamento di stato dell interruttore è data semplicemente dall espressione V S /R S. Immediatamente dopo la commutazione, la corrente attraverso l induttore deve rimanere la stessa in quanto una corrente in un induttore non può cambiare istantaneamente. Comunque, dopo la commutazione dell interruttore questa corrente coincide con quella che attraversa R 1 in quanto l induttore ed il resistore risultano in serie fra loro. Infine, la tensione ai capi dell induttore è sempre uguale a quella ai capi del resistore R 1, che è semplicemente pari al prodotto di i L e R 1. allora, la tensione ai capi dell induttore immediatamente dopo la commutazione dell interruttore deve essere i L (t = 0 + ) per R 1. In termini quantitativi, in t = 0 - : Per t = 0 +, e L elevato valore di questa tensione è riferito al terminale di massa a causa del verso di percorrenza assunto dalla corrente che attraversa R 1. RISPOSTA: 0V, MV Problema V 1 = 12V, C= 150 μf, R 1 = 4 MΩ, R 2 = 80 MΩ, R 3 = 6 MΩ. La costante di tempo del circuito per t > 0. Il circuito è in regime stazionario per t<0. Per t=0 +, immediatamente dopo che l interruttore si è chiuso, inizia il transitorio. Poiché questo è in circuito del primo ordine (esiste una singola capacità indipendente) il transitorio evolverà in maniera esponenziale con una data costante di tempo. Tale costante di tempo è il prodotto della capacità del condensatore e della resistenza equivalente di Thevenin vista ai morsetti del condensatore. Per trovare la resistenza equivalente di Thevenin, sopprimiamo la sorgente ideale indipendente di tensione il che equivale a sostituirla con un cortocircuito. Allora, ai morsetti del condensatore: La costante di tempo è data semplicemente da

29 Notiamo che questo valore è del tutto indipendente dall entità della sorgente di tensione. RISPOSTA: 2.36 ks = min = hr. Problema V S = 12 V, L= 100 mh, R 1 = 400Ω, R 2 = 400Ω, R 3 = 600Ω.. La costante di tempo del circuito per t > 0. i L = 1.70 ma immediatamente prima che l interruttore venga aperto in t = 0. Per t=0 +, immediatamente prima che l interruttore sia aperto, inizia il transitorio. Poiché questo è in circuito del primo ordine (esiste una singola induttanza indipendente) il transitorio evolverà in maniera esponenziale con una data costante di tempo. Tale costante di tempo è il prodotto dell induttanza dell indutttore e della resistenza equivalente di Thevenin vista ai morsetti dell induttore. In questo problema la determinazione della resistenza equivalente di Thevenin è particolarmente facile in quanto non ci sono sorgenti connesse. Rispetto ai morsetti dell induttore: La costante di tempo è data semplicemente da RISPOSTA: ns. Problema V S = 20V, R 1 = 5Ω, R 2 = 4Ω, R 3 = 3Ω., C 1 = 4F, C 2 = 4F, I S = 4A. a. La tensione sul condensatore V C (t) per t=0. b. La costante di tempo per t 0. c. L espressione di v C (t) e disegnare la funzione. d. Trovare v C (t) per ciascuno dei seguenti valori di t: 0,, 2, 5, 10. L interruttore S 1 è sempre aperto e che l interruttore S 2 si chiuda per t = 0.

30 a. Senza generatori applicati, le tensioni stazionarie di regime nel circuito sono nulle indipendentemente dalla dissipazione energetica nei resistori. Quando la condizione iniziale da cui si origina un transitorio è nulla, la soluzione generale del transitorio si semplifica in b. I due condensatori in parallelo possono essere combinati in un condensatore equivalente di 8 F. La resistenza equivalente di Thevenin vista da tale condensatore si trova sopprimendo il generatore di corrente (cioè sostituendolo con un circuito aperto) e calcolando R 2 + R 3 // R 4. c. La tensione di lungo termine di regime ai capi dei condensatori si determina sostituendoli con circuiti aperti e calcolando la tensione ai capi di R 3. Questa tensione si trova immediatamente applicando il partitore di tensione Sostituendo nell espressione generale data precedentemente si ottiene d. ******************************************************************************** Problema V S = 20V, R 1 = 5Ω, R 2 = 4Ω, R 3 = 3Ω., R 4 = 6Ω., C 1 = 4F, C 2 = 4F, I S = 4A. a. La tensione sul condensatore V C (t) per t=0. b. La costante di tempo per t 0.

31 c. L espressione di v C (t) e disegnare la funzione. d. Trovare v C (t) per ciascuno dei seguenti valori di t: 0,, 2, 5, 10. L interruttore S 1 è rimasto aperto per un lungo intervallo di tempo e si chiude in t = 0; invece l interruttore S 2 è rimasto chiuso e si apre per t = 0. a. La tensione sui condensatori immediatamente dopo che S 1 si chiuda e S 2 si apra è uguale a quella esistente sugli stessi quando il primo era aperto ed il secondo chiuso. Poiché il secondo interruttore è rimasto chiuso per un lungo periodo di tempo si può ipotizzare che la tensione sui condensatori abbia raggiunto il valore di regime stazionario. Questo valore si trova sostituendo entrambi i condensatori con circuiti aperti e calcolando la tensione ai capi di R 3. Questa tensione si trova immediatamente applicando il partitore di tensione b. La resistenza equivalente di Thevenin vista dal parallelo dei condensatori è (R 2 + R 3 ) // R 1. c. La soluzione dinamica generale del transitorio è La tensione di regime stazionario ai capi dei condensatori si determina sostituendoli con circuiti aperti e calcolando la tensione ai capi di R 3. Questa tensione si trova immediatamente applicando il partitore di tensione. Allora, Sostituendo nell espressione generale data precedentemente si ottiene d. Problema V S = 20V, R 1 = 5Ω, R 2 = 4Ω, R 3 = 3Ω., R 4 = 6Ω., C 1 = 4F, C 2 = 4F, I S = 4A.

32 a. La tensione sul condensatore V C (t) per t=0. b. L espressione di v C (t) e disegnare la funzione. L interruttore S 2 è rimasto sempre aperto; l interruttore S 1 è rimasto chiuso per un lungo intervallo di tempo e si apre in t = 0. L interruttore S 1 si chiude ancora per t = t 1 = 3 (NOTA mia: 3 s) L approccio al problema consiste quì nel trovare la soluzione transitoria nell intervallo 0 < t <3 secondi e far uso di quella soluzione per determinare le condizioni iniziali (tensione sul condensatore) esistenti all inizio del nuovo transitorio originato dalla richiusura di S 1. a. S 1 è rimasto chiuso per lungo tempo e in regime stazionario i condensatori possono essere sostituiti da circuiti aperti. Allora, per il partitore di tensione b. Come detto in precedenza, per determinare la soluzione transitoria completa per t > 0 è necessario trovare la tensione sui condensatori quando S 1 si chiude a t = 3 s. Per fare questo, è d apprima necessario trovare la soluzione transitoria completa quando l interruttore è aperto. La tensione di regime stazionario sui condensatori quando l interruttore è aperto è zero. La costante di tempo è semplicemente R TH C EQ = 56 s. Allora, la soluzione transitoria completa per i primi 3 secondi è Per t = 3 s, la tensione sul condensatore è Quando t = 3 s l interruttore S 1 si richiude. La continuità della tensione sui condensatori fa si che Con l interruttore chiuso la tensione di regime stazionario sui condensatori è la stessa calcolata al punto a. La nuova costante di tempo si trova sopprimendo la sorgenti indipendenti di tensione (cioè sosstituendole con cortocircuiti) e determinando la resistenza equivalente di Thevenin vista dai condensatori. e secondi Infine, la soluzione transitoria per t > 3 s è

33 Si noti l uso della traslazione nella scala dei tempi (t-3) nell esponenziale. Problema (Questo problema è uguale a quello P5.42. assumiamo che entrambi gli interruttori chiudano a t=0) V S = 20V, R 1 = 5Ω, R 2 = 4Ω, R 3 = 3Ω., R 4 = 6Ω., C 1 = 4F, C 2 = 4F, I S = 4A. a. La tensione sul condensatore V C (t) per t=0. b. La costante di tempo per t 0. c. L espressione di v C (t) e disegnare la funzione. d. Trovare v C (t) per ciascuno dei seguenti valori di t: 0,, 2, 5, 10. Entrambi gli interruttore S 1 e S 2 si chiudono in t = 0. Senza alcuna sorgente di potenza connessa al circuito le tensioni di regime stazionario sono zero a causa della completa dissipazione di tutta l energia del circuito nei resistori. Quando le condizioni iniziali del transitorio sono nulle, la soluzione generale del transitorio si semplifica così b. I due condensatori in parallelo possono essere combinati in un unico condensatore equivalente di 8 F. La resistenza equivalente di Thevenin vista da tale condensatore si trova sopprimendo le sorgenti indipendenti (cioè sostituendo il generatore di corrente con un circuito aperto e quello di tensione con un corto circuito) e calcolando R 1 // ( R 2 + R 3 // R 4 ). c. A questo punto solo la tensione di regime stazionario del condensatore è necessaria per esprimere la soluzione transitoria completa. In regime DC il condensatore si può modellare con un circuito aperto. Inoltre, il parallelo R 3 // R 4 può essere sostituito da un unica resistenza equivalente. Tale resistenza è in parallelo con un generatore di corrente per cui facendo uso del equivalente di Thevenin possiamo sostituire ad essi la serie di un appropriato generatore di tensione con in serie la stessa resistenza. Effetuata la sostituzione è agevole con il partitore di tensione determinare la tensione sul condensatore.

34 La trasformazione equivalente della sorgente assegna un valore di 8 V al generatore di tensione in serie con questa resistenza. Allora, usando il partitore di tensione Ora sostituendo nell espressione generale della soluzione transitoria si ottiene d. Problema V S = 20V, R 1 = 5Ω, R 2 = 4Ω, R 3 = 3Ω., R 4 = 6Ω., C 1 = 4F, C 2 = 4F, I S = 4A. a. La tensione sul condensatore V C (t) per t=0. b. La costante di tempo per 0 t 48 s. c. L espressione di V C (t) valida per 0 t 48 s. d. La costante di tempo per t > 48 s. e. L espressione di V C (t) valida per t > 48 s. f. Disegnare V C (t) per tutti gli istanti di tempo. L interruttore S 1 apre a t = 0; l interruttore S 2 apre per t = 48 s. L approccio al problema consiste quì nel trovare la soluzione transitoria nell intervallo 0 < t < 48 secondi e far uso di quella soluzione per determinare le condizioni iniziali (tensione sul condensatore) esistenti all inizio del nuovo transitorio originato dalla apertura di S 2. a. S 1 e S 2 sono stati chiusi per lungo tempo e in condizioni di regime stazionario i condensatori possono essere sostituiti con circuiti aperti. Allora, facendo uso dell analisi nodale

35 b. I due condensatori in parallelo possono essere combinati in un unico condensatore equivalente di 8 F. La resistenza equivalente di Thevenin vista da tale condensatore si trova sopprimendo le sorgenti indipendenti (cioè sostituendo il generatore di corrente con un circuito aperto) e calcolando ( R 2 + R 3 // R 4 ). c. Come detto in precedenza, per trovare la soluzione transitoria completa per t > 0 è necessario trovare la tensione sul condensatore quando S 2 apre per t = 48 s. per far ciò occorre prima trovare la soluzione transitoria completa riferita alla sistuazione in cui solo S 1 è aperto (cioè come se l interruttore S 2 non si aprisse mai). La soluzione generalizzata per il transitorio è La tensione di regime stazionario ai capi dei condensatori si trova sostituendo ad essi circuiti aperti e calcolando la tensiona ai capi di R 3. questa tensione si trova per mezzo del partitore di corrente. Allora, Ora sostituendo nella soluzione generalizzata data in precedenza si trova Per t = 48 s, la tensione sul condensatore è La continuità della tensione sul condensatore fa si che d. I due condensatori in parallelo possono essere combinati in un unico condensatore equivalente di 8 F. Quando entrambi gli interruttori sono aperti, non ci sono sorgenti indipendenti connesse al circuito. Allora, la resistenza equivalente di Thevenin vista da tale condensatore si trova calcolando (R 2 + R 3 ). e. La soluzione generalizzata del transitorio è La tensione di regime stazionario sul condensatore dopo l apertura dell interruttore è zero poiché non ci sono sorgenti indipendenti connesse al circuito e tutta l energia iniziale nel circuito è stata eventualmente dissipata dia resistori. Allora, Sostituendo nella soluzione generalizzata data in precedenza si trova

36 f. L andamento della V C (t) per tutti gli istanti è mostrato nella figura seguente. Problema V S = 20V, R 1 = 5Ω, R 2 = 4Ω, R 3 = 3Ω., R 4 = 6Ω., C 1 = 4F, C 2 = 4F, I S = 4A. a. La tensione del condensatore b. La costante di tempo c. per L espressione per valida per d. La costante di tempo e. per L espressione per valida per f. Disegna per ogni istante di tempo. Switch S 1 apre at t = 0; switch S 2 apre a t =48s. L approccio è trovare la soluzione transitoria nell intervallo 0 < t < 48 secondi e usare quella soluzione per determinare la condizione iniziale (tensione sul condensatore) per il nuovo transitorio dopo che lo switch S2 apre.

37 a. S 1 e S 2 sono stati chiusi per un lungo tempo e in DC il condensatore può essere sostituito con un circuito aperto. Quindi, dall analisi nodale b. I due condensatori in parallelo possono essere combinati in un condensatore equivalente da 8 F. la resistenza equivalente di Thevenin vista dalla capacità di 8F può essere trovata eliminando le sorgenti indipendenti e calcolando (R2 + R3 R4). c. Come menzionato sopra, per trovare la risposta completa per for t > 0 è necessario trovare la tensione del condensatore quando lo switch S2 apre a t = 48 s. A tal fine è necessario trovare la soluzione transitoria completa quando il solo switch S1è aperto. La soluzione generalizzata per il transitorio è: La tensione a regime sui condensatori è trovata sostituendoli con Circuiti aperti e determinando la tensione su R3. Questa tensione può essere determinate col partitore. Utilizzando tale espressione per quella precedente A t=48sec, la tensione sul condensatore è: Dalla continuità per la tensione: d. I due condensatori in parallelo possono essere combinati in uno equivalente da 8F. Quando entrambi gli switch sono aperti, non ci sono sorgenti indipendenti connesse al circuito. Quindi, la resistenza equivalente di Thevenin vista dal condensatore equivalente può essere determinata come (R2 + R3). e. La soluzione generalizzata è: f. La tensione sul condensatore a regime dopo l apertura dello switch è zero poichè non ci sono sorgenti indipendenti connesse e tutta l energia inziale nel circuito è eventualmente dissipata dai resistori. Quindi Mettendo nella soluzione generale : g. Il diagramma di VC(t) è riportato nella figura seguente

38 Problema Il valore dei resistori R1 e R2 Prima che lo switch apra: Dopo che lo switch ha aperto: Risolvendo il sistema si ottiene: Problema Il valore della tensione sul condensatore dopo t = ms.

39 Prima di aprire, lo switch è stato chiuso per un lungo period. Quindi si ha una condizione di regime, e il condensatore può essere considerato come un circuito aperto. La tensione sul condensatore è uguale alla tensione su resistore R1. Quindi: Dopo che lo switch ha aperto, la costante di tempo del circuito è: La soluzione generale per il transitorio è: La tensione a regime sui condensatori è trovata sostituendoli con circuiti aperti e determinando la tensione su R1. Questa tensione può essere determinata col partitore di tensione. Quindi Mettendo nella soluzione generale : Infine: Problema come descritto in Fig. P5.49 L istante in cui la corrente di induttore è uguale a 5, e l espressione il (t) per t 0. A t < 0: Usando il partitore di corrente: A t > 0: Usando il partitore di corrente: Per trovare la costante di tempo del circuito dobbiamo trovare la resistenza di Thevenin vista dall induttore:

40 La soluzione è: Risolvendo l equazione: Il diagramma di il(t) è riportato nella figura seguente Problema come descritto in Fig. P5.49 L espressione di i L (t) per La massima tensione tra i morsetti durante i 5 ms. L azione meccanica dello switch richiede 5 ms. a. A t < 0: Usando il partitore di corrente: Per :

41 La corrente di induttore a regime dopo che lo switch è stato aperto è zero poichè nessuna sorgente indipendente è connessa al circuito e tutta l energia iniziale nel circuito è eventualmente dissipata dal resistore. Quindi, Per trovare la costante di tempo del circuito dobbiamo trovare la resistenza di Thevenin vista dall induttore: La soluzione è: b. La tensione tra i morsetti durante i 5 ms è uguale a: Dove, Quindi, La massima tensione tra i morsetti durante i 5 ms è: Problema Come descritto in P lo switch chiude quando la tensione sul condensatore raggiunge. Lo switch apre quando la tensione sul condensatore raggiunge. Il periodo della forma d nda della tensione è 200 ms. La tensione La tensione iniziale sul condensatore è V 1 e lo switch ha appena aperto. Con lo switch aperto: Ora dobbiamo determinare l istante in cui Usando l espressione per la tensione sul condensatore: