METODO DEGLI ELEMENTI FINITI

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1 Tale metodo richiede la valutazione della funzione G(r,s) in un certo numero, n, di "punti di integrazione" nel dominio di definizione. Il numero di tali punti condiziona la precisione della approssimazione Caso monodirezionale Si desidera valutare numericamente l integrale (fig. 3.24): I F(r)dr con - r L integrazione può essere eseguita numericamente col metodo di Gauss utilizzando l espressione: F n I wif(r i) i Dove: n n.ro dei punti di integrazione di ascisse r i ; w i funzioni peso. Fig r

2 Per eseguire l integrazione numerica occorre valutare:.. il numero di punti di integrazione;.. le ascisse dei punti di integrazione;.. i valori delle funzioni peso affinché, per dato grado del polinomio integrando, l integrazione numerica fornisca il valore esatto, sotto le condizioni che:.. i punti di integrazione siano simmetricamente disposti rispetto all origine r=0;.. le funzioni peso siano uguali per r = r i

3 Funzione integranda lineare: F ( r ) = A + Br con - r L integrale esatto vale: 2 r I (A Br)dr Ar B 2A 2 L integrazione numerica fornisce il risultato esatto se:.. la funzione integranda è calcolata ad r = 0,.. la funzione peso vale 2.

4 Funzione integranda cubica: F ( r ) = A + Br + Cr 2 + Dr 3 con - r L integrale esatto vale: r r r 2 I Ar B C D 2A C Il calcolo dell integrale numericamente può essere eseguito considerando due punti di integrazione, ad r=p, ed impiegando un valore comune, w, delle funzioni peso. Si ha: I wf(p) + wf(-p) = w(a + Bp + Cp 2 + Dp 3 ) + w(a - Bp + Cp 2 - Dp 3 ) = = 2w(A + Cp 2 ) L integrazione numerica fornisce il valore esatto se:.. la funzione integranda è calcolata a r = p = /3,.. la funzione peso vale.

5 Tabella 3.5 Dall esame dei due casi si può concludere che il valore dell integrale calcolato numericamente utilizzando n punti di integrazione risulta esatto se il grado della funzione integranda F ( r ) è minore o uguale a (2n-). Nella tabella 3.5 sono riportati il grado del polinomio che è possibile integrare esattamente quando il numero di punti di integrazione è, rispettivamente,, 2 o 3, col metodo di quadratura di Gauss, i valori delle ascisse naturali dei punti di integrazione e dei relativi pesi. N.ro punti di integrazione, n Grado del polinomio, 2n- Posizione dei punti di integrazione, r i Fattore peso, w i /3= /3= (3/5)= (3/5)= /9= /9= /9=

6 Caso piano Se nell'intervallo standard -(r,s), (r i,s j ) sono le coordinate dei punti di integrazione e sono funzioni peso per le quali moltiplicare i valori della funzione integranda corrispondenti ai punti di integrazione, la formula di quadratura di Gauss diventa: La (3.5) diventa allora: n m I w w G(r,s ) i j i j i j n m k w w G(r,s ) i j i j i j I valori delle ascisse naturali dei punti di integrazione lungo r e lungo s e le relative funzioni peso coincidono con quelli dati nella tabella 3.5.

7 Il numero di punti di integrazione necessario per l integrazione esatta dipende dal grado dell integrando G ( r, s ), cioè dal grado del polinomio che si ottiene dal prodotto matriciale presente nella (3.5) e quindi dal grado del polinomio che si ottiene dalla (3.4) quando una delle variabili naturali si mantiene costante. In particolare nel caso dell'elemento isoparametrico a 4 nodi in [B] sono presenti termini lineari in r ed s, nell'integrando termini quadratici in r ed s: 2x2 punti di integrazione assicurano l'integrazione esatta. Nel caso dell'elemento isoparametrico a 8 nodi in [B] sono presenti termini quadratici e nell'integrando termini quartici in r ed s: 3x3 punti di integrazione assicurano l'integrazione esatta. A volte, al fine di contenere i tempi di calcolo, viene utilizzato un numero di punti di integrazione minore di quello necessario per la valutazione esatta.

8 Posizione dei punti di Gauss per elementi quadrilateri lineari, quadratici e cubici.

9 3.2.2 Osservazioni sulla matrice jacobiana L operatore jacobiano è caratteristico della operazione di trasformazione dal sistema di coordinate reali a quelle naturali; La matrice [J] deve essere invertibile perché la trasformazione possa avvenire anche in senso inverso. L invertibilità della matrice [J] presuppone che il suo determinante sia non nullo, in particolare positivo; ciò comporta che l elemento sia convesso, cioè occorre che gli angoli interni tra due lati consecutivi non debbano superare 80, e che non debba ripiegarsi su se stesso (v. fig. 3.25). Elemento ripiegato su stesso Elemento non convesso Elemento convesso Figura 3.25

10 Elementi con angoli di vertice non accettabili

11 Elemento master Esempi di trasformazione dell elemento master. Figura 3.26

12 In figura 3.26 l elemento master è il quadrato di 4 nodi in alto. Gli elementi e 2 hanno una numerazione antioraria consistente con quella dell elemento master, mentre l elemento 3 ha una numerazione oraria opposta a quella dell elemento master. Gli elementi e 3 hanno un dominio convesso, ogni segmento di retta congiungente due punti qualsiasi del dominio convesso giace interamente nell elemento. L elemento 2 non è convesso. Gli elementi della matrice J sono: x x x x x 4 x i i i 4 x x x x x 4 x i i i 4 y y y y y 4 y i i i 4 y y y y y 4 y i i i 4

13 Elemento In questo caso è x = x 4 =0, x 2 = x 3 =2, y = y 2 =0, y 3 =3 e y 4 =5. La trasformazione e il jacobiano valgono: x y detj Il jacobiano à positivo per tutti i valori di ξ con - ξ. Quindi la trasformazione è invertibile.

14 Elemento 2 In questo caso è x = x 4 =2, x 2 =3, x 3 =5, y =0, y 2 =2, y 3 = y 4 =3. La trasformazione e il jacobiano valgono: x 3 y detj Il jacobiano non è non nullo ovunque nell elemento master. E zero lungo la linea ξ =+η mostrata dalla area grigia fuori dall elemento 2. Quindi gli elementi con uno degli angoli interni più grandi di π non dovrebbero essere utilizzati in nessuna mesh.

15 Elemento 3 In questo caso è x =2, x 2 =0, x 3 =x 4 =5, y = y 4 =3, y 2 =y 3 =5. La trasformazione e il jacobiano valgono: x 3 2 y det 2 J Il jacobiano negativo indica che un sistema di coordinate destrogiro è trasformato in un sistema di coordinate levogiro. Questa trasformazione deve essere evitata.

16 In generale ogni angolo interno non dovrebbe essere troppo piccolo o troppo grande perché il determinante delle matrice J, che è uguale al rapporto tra le aree det[j]= ( dr dr 2 sin)/drds, risulterebbe troppo piccolo. Altre restrizioni riguardano il posizionamento dei nodi intermedi dei lati negli elementi triangolari e quadrilateri di secondo grado. Per gli elementi quadrilateri di secondo grado i nodi intermedi devono essere posizionati ad una distanza più grande di un quarto della lunghezza del lato da entrambi i nodi angolari.

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