LA FORMAZIONE DELLE IMMAGINI

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1 LA FORMAZIONE DELLE IMMAGINI I nostri occhi, i microscopi, i telescopi, le macchine fotografiche etc. utilizzano la riflessione e la rifrazione per formare le immagini che forniscono una rappresentazione visiva della realtà. Saturno fotografato dal Telescopio Spaziale Hubble nel 1994 (HST)

2 Perché vediamo gli oggetti? Noi vediamo gli oggetti perché da essi partono radiazioni luminose che giungono al nostro occhio Una SORGENTE LUMINOSA emette luce propria, mentre gli OGGETTI ILLUMINATI diffondono in tutte le direzioni la luce da cui vengono investiti.

3 Formazione della visione: vediamo perché i raggi formano immagini sulla retina sorgente luminosa immagine sulla retina: S S

4 Dal punto di vista ottico cosa sono gli oggetti? Un oggetto è una sorgente di luce indiretta Ogni punto dell oggetto si comporta come una sorgente di luce puntiforme in cui i raggi emergono in tutte le direzioni

5 Sistemi ottici Si chiama sistema ottico un sistema di lenti e specchi, cioè dispositivi riflettenti e rifrangenti Un sistema ottico è quindi una successione di superfici riflettenti e di superfici rifrangenti che separano mezzi con indici di rifrazione diversi. V 1 V 2 V 3 V n Asse ottico Sistema ottico centrato: tutti i centri di curvatura delle superfici si trovano sulla stessa retta detta asse ottico L asse ottico è asse di simmetria di rotazione per il sistema; il punto V di incontro tra l'asse ottico e una superficie riflettente o rifrangente viene chiamato vertice. Quando osserviamo un oggetto attraverso un sistema ottico, la luce viene riflessa o rifratta e i raggi luminosi cambiano direzione. Di conseguenza vediamo un immagine diversa per forma, orientazione o posizione apparente rispetto all oggetto reale.

6 Esempi di sistemi ottici macchine fotografiche microscopi e lenti di ingrandimento binocoli e cannocchiali occhiali da vista

7 Un sistema ottico trasforma un punto oggetto in un punto immagine Possiamo descrivere quello che succede in termini di deviazione di raggi o di modifica del fronte d onda

8 Che cosa intendiamo per immagine? L immagine è il centro di curvatura del fronte d onda sferico emergente (punto in cui convergono o da cui divergono i raggi) sistema stigmatico oggetto sistema S ottico S Immagine oggetto S sistema ottico S Immagine

9 Sistemi ottici stigmatici e astigmatici Una sorgente puntiforme emette una onda sferica. Se l' onda investe una superficie riflettente o rifrangente, o più in generale un sistema ottico, si trasforma in una nuova onda. Si possono avere due casi: a) La nuova onda è sferica: allora i raggi emergenti passano per un punto che viene chiamato immagine. Si parla di un fascio stigmatico. oggetto sistema stigmatico b) Il nuovo fronte d onda non è sferico. Allora i raggi corrispondenti non passano per un punto e si parla di un fascio astigmatico. Immagine aberrata sistema astigmatico sistema S ottico S S sistema ottico Immagine Ad un punto oggetto corrisponde un punto immagine oggetto Aberrazione: a un punto oggetto non corrisponde un punto immagine

10 SORGENTI E IMMAGINI Un sistema ottico stigmatico trasforma un punto oggetto, sorgente di luce, in un punto immagine fascio omocentrico incidente S sistema ottico S fascio omocentrico (coniugato) emergente oggetto immagine punti coniugati

11 Immagini reali e virtuali Immagine reale: formata dalla reale intersezione di un sistema di raggi convergenti; I raggi si intersecano effettivamente in ciascun punto immagine. oggetto S sistema ottico S Immagine reale Immagine virtuale: formata da intersezione dei prolungamenti dei raggi divergenti; I raggi non si si intersecano effettivamente nel punto immagine virtuale. oggetto S sistema ottico S Immagine virtuale

12 Immagini reali e virtuali Immagine reale: formata dalla reale intersezione di un sistema di raggi convergenti; I raggi si intersecano effettivamente in ciascun punto immagine. Direzione di propagazione della luce oggetto S sistema ottico S Immagine reale Immagine virtuale: formata da intersezione dei prolungamenti dei raggi divergenti; I raggi non si si intersecano effettivamente nel punto immagine virtuale. oggetto S sistema ottico S Immagine virtuale

13 Immagini reali e virtuali Immagine reale: formata dalla reale intersezione di un sistema di raggi convergenti; I raggi si intersecano effettivamente in ciascun punto immagine. Direzione di propagazione della luce oggetto S specchio N S Immagine virtuale N S C S Immagine reale

14 Qualunque sia il tipo di immagine, il cervello umano interpreta sempre i raggi come propagantisi in linea retta Per osservare l immagine l occhio deve intercettare i raggi che emergono dall immagine oggetto S sistema ottico Immagine reale S S immagine sulla retina: S riflessione speculare specchio S immagine virtuale

15 Sorgenti estese: ogni sorgente estesa è fatta di infinite sorgenti puntiformi Sorgente estesa In un sistema stigmatico a ogni punto sorgente corrisponde un punto immagine

16 Proprietà dei sistemi ottici stigmatici Il sistema ottico cambia il fronte d onda sferico in entrata in un fronte d onda sferico in uscita differente: cambia la vergenza di un fascio di luce, ossia l inclinazione dei raggi (convergenza o divergenza del fascio) Direzione di propagazione della luce sistema stigmatico oggetto sistema S ottico S Immagine oggetto S sistema ottico S Immagine

17 Angolo e superficie di accettanza di un sistema ottico

18 Unità di misura radiante Unità di misura steradiante L angolo giro è circonferenza/r=2 L angolo solido totale superficie della sfera/r 2 = 4

19 tg OH OB OH r l

20 Vergenza della luce L 1 r l si misura in m -1 (il reciproco di una distanza) unità comunemente chiamata diottria D Direzione di propagazione luce r l <0 r l >0 Luce divergente: vergenza negativa Luce convergente: vergenza positiva

21 Quantitativamente la vergenza della luce è data dall inverso del raggio di curvatura r l. Vergenza 1 L r si misura in m -1 (il reciproco di una distanza) unità comunemente chiamata diottria D. l Il raggio di curvatura del fronte d onda sferico è pari alla distanza della sorgente (immagine) puntiforme dal fronte d onda con l opportuno segno immagine r 1 r 2 r r l 1,2,3 <0 3 La vergenza diventa sempre meno negativa r 3 r 2 r 1 r l 1,2,3 >0 La vergenza diventa sempre più positiva

22 Un fascio di raggi convergenti in un punto distante 10 cm (0,1 m) ha una vergenza positiva di: D = 1/0,1 = 10 ( 10 diottrie) Un fascio di raggi divergenti provenienti da una sorgente distante 0,5 m ha una vergenza di: D = 1/-0,5 = -2 ( -2 diottrie) Un fascio di raggi paralleli provenienti dall infinito ha una vergenza di: D = 1/inf. = 0 ( 0 diottrie) 1) La luce che esce da un box ha una vergenza di -10 D. Quale è la vergenza 90 cm più lontano? 2) Quale è la vergenza della luce a una distanza di 32 cm dal un punto immagine (prima di raggiungere l immagine)?

23 Proprietà dei sistemi ottici stigmatici Il sistema ottico cambia il fronte d onda sferico in entrata in un fronte d onda sferico in uscita differente: cambia la vergenza di un fascio di luce Direzione di propagazione della luce sistema stigmatico oggetto sistema S ottico S Immagine r l = l r l' = l Il raggio di curvatura r l del fronte d onda in ingresso coincide con la coordinata del punto oggetto l Il raggio di curvatura r l del fronte d onda in uscita coincide con la coordinata del punto immagine l

24 Che rappresenta la vergenza L della luce? Una sorgente puntiforme che emette un onda sferica in B. L onda sferica arriva all ingresso del sistema ottico che ha una superficie di accettanza della luce di raggio OH (per esempio dimensione di una lente o di uno specchio). La radiazione che cade in OH è quindi la porzione di radiazione utile alla formazione dell immagine. Tale radiazione ha una inclinazione rispetto all asse ottico compresa tra 0 e max dove: max WF OB La vergenza L è quindi una grandezza importante: è una misura dell inclinazione dei raggi emessi da una sorgente a distanza r l che arrivano su una area ben definita (superficie di accettanza) rispetto all asse ottico 1 r l L L in ingresso più grande angolo più grande L in ingresso più piccolo angolo più piccolo Piu la sorgente è lontana dall area di accettanza dello strumento, più i raggi sono paralleli all asse ottico

25 La luce può viaggiare in un mezzo che non è l aria e ha un indice di rifrazione n diverso da 1. La deviazione dei raggi da parte del sistema ottico (dovuta alle leggi di Snell) dipende da tale indice di rifrazione. Pertanto la quantità rilevante in un sistema ottico è la vergenza ridotta L: L n Infatti un sistema ottico cambia la vergenza ridotta della luce r l L L Vergenza (ridotta) di ingresso o oggetto Vergenza (ridotta) di uscita o immagine L -L=F Potere del sistema ottico

26 PUNTI FOCALI I fuoco F Potere del sistema ottico II fuoco La posizione di una sorgente puntiforme per la quale la vergenza di uscita è nulla individua il I fuoco F del sistema ottico La posizione dell immagine che si forma quando la vergenza di ingresso è nulla individua il II fuoco del sistema ottico L' 0 L F L 0 L' F

27 Approssimazione di Gauss I vari elementi dei sistemi ottici (specchi sferici, diottri e lenti) sono stigmatici solo se a formare l immagine contribuiscono solo i raggi per i quali è valida l approssimazione di Gauss. In tale approssimazione i raggi che vanno a formare l immagine soddisfano le seguenti condizioni: 1) L inclinazione rispetto all asse ottico dei raggi che incidono sul sistema ottico deve essere piccola. 2) I raggi devono incidere vicino al vertice. Quantitativamente si deve avere:

28 Raggi marginali, (non valida l approssimazione di Gauss sistema astigmatico) F Raggi parassiali, (valida l approssimazione di Gauss sistema stigmatico)

29 Per costruire l immagine di un oggetto esteso nella direzione ortogonale all asse ottico, dobbiamo trovare i punti coniugati di tutti i suoi punti. In generale l immagine dei vari punti dell oggetto non giace nello stesso piano. In approssimazione di Gauss l immagine è contenuta in un piano ortogonale all asse ottico

30 Al variare della posizione dell oggetto varia la posizione e l ingrandimento dell immagine secondo l equazione: L -L=F Potere del sistema ottico

31 Nello studio dei sistemi ottici vogliamo risolvere vari problemi: 1) Data la posizione della sorgente trovare quella della immagine. 2) Ingrandimento lineare (rapporto tra la grandezza dell immagine e quella della sorgente) 3) Ingrandimento angolare (rapporto tra l angolo con cui viene vista l immagine e quello con cui è vista la sorgente)

32 Per trovare una relazione tra oggetto e immagine è necessario definire un sistema di coordinate In optometria le convenzioni che si utilizzano seguono questi criteri: 1) Disegnare tutte le figure in modo che la luce incidente provenga da sinistra 1) Fissata l origine delle coordinate, le coordinata che identificano la posizione dell oggetto ( l ) e dell immagine ( l ) hanno segno positivo se aumentano in valore assoluto nella direzione di propagazione della luce hanno segno positivo quelle che aumentano in direzione opposta a quella di propagazione della luce hanno segno negativo.

33 GLI SPECCHI

34 LA RIFLESSIONE L immagine formata dagli specchi è conseguenza della legge di Snell della riflessione che ci dice che l angolo di incidenza = angolo di riflessione i i=r Naturalmente tale legge vale per ogni raggio che incide su un qualsiasi punto della superficie riflettente. Perché si formi una immagine nitida la superficie riflettente deve essere liscia e lucida, altrimenti un fascio di luce che incide in una data direzione viene diffuso in diverse direzioni

35 CONVENZIONI PER GLI SPECCHI Gli specchi sono un altro elemento dei sistemi ottici che ha caratteristiche simili a quelle delle lenti: focalizzano la luce e fromano immagini che possono essere reali o virtuali. Coordinate: La differenza principale tra lenti e specchi sta nel fatto che gli specchi invertono il cammino della luce mentre le lenti la lasciano passare. Per continuare ad usare coordinate che misurino le distanze assiali nella direzione di propagazione della luce:. l<0 l l l >0 l<0 se l oggetto è a sinistra del vertice dello specchio: l >0 se l immagine è a sinistra del vertice dello specchio: Con queste convenzioni anche per gli specchi le coordinate di un oggetto reale sono negative e quelle di un immagine reale sono positive, come nelle lenti. Le altre convenzioni restano le stesse delle lenti.

36 l<0 l >0 r l>0 l <0 r 1. Disegnare tutte le figure in modo che la luce incidente sulla superficie rifrangente o riflettente provenga da sinistra 2. Le distanze oggetto (l) misurate alla sinistra del vertice, in direzione opposta alla propagazione della luce sono negative. Le distanze misurate alla destra del vertice sono positive. 3. Le distanze immagine (l ) si considerano positive quando l immagine è alla sinistra del vertice della superficie nella direzione di propragazione della luce riflessa 4. I raggi di curvature (r) sono misurati dalla superficie verso il centro della curvatura. Sono positivi quando il centro di curvatura C giace alla destra del vertice (superficie convessa) e negativi quando C giace alla sinistra del vertice (superfice concava) 5. Gli angoli acuti vengono misurati dal raggio all asse ottico (o alla normale alla superficie). Quelli in senso orario sono negativi mentre quelli in senso antiorario sono positivi. 6. Le dimensioni trasversali sono positive quando sono misurate al disopra dell asse, negative al disotto.

37 IMMAGINE IN UNO SPECCHIO PIANO Una superficie riflettente piana è chiamata specchio piano. I raggi luminosi provenienti dal punto O sono riflessi ma i loro prolungamenti oltre lo specchio si incontrano nel punto I, detto immagine di O. i=r

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39 Equazione dei punti coniugati per lo specchio piano I raggi luminosi provenienti dal punto O sono riflessi ma i loro prolungamenti oltre lo specchio si incontrano nel punto I, detto immagine di O. L immagine è virtuale in quanto i raggi luminosi non passano per I. i i 2 2 i i 1 1 Per trovare il punto immagine basta disegnare 2 raggi: 1) Raggio normale alla superficie: cambia solo il verso 2) Una altro raggio avente angolo di incidenza l<0 l <0 I triangoli rettangoli aob e aib sono uguali Ob=bI l=l Il punto immagine si trova sulla retta passante per il punto oggetto perpendicolare al piano dello specchio e a una distanza da questo pari alla distanza dell oggetto dal piano

40 Specchio piano: ingrandimento trasversale y y l immagine è virtuale, delle stesse dimensioni dell originale, dritta, segmenti paralleli y=y L immagine riflessa da un oggetto esteso ha la stessa altezza e lo stesso orientamento dell oggetto. y' L ingrandimento m 1 y

41 Immagine di oggetti 3D L immagine virtuale di ogni punto dell oggetto giace sulla normale allo specchio ad una distanza pari alla distanza oggetto-specchio ma dietro lo specchio.

42 L immagine è invertita sulla direzione trasversale allo specchio B B L immagine virtuale di ogni punto dell oggetto giace sulla normale allo specchio ad una distanza pari alla distanza oggetto-specchio ma dietro lo specchio. A A z z x

43 Che succede nella direzione parallela allo specchio? z x Il palmo della mano sinistra si trova di fronte allo specchio e così anche la sua immagine. Questo fa sì che l immagine sembri la mano destra L inversione di direzione della luce sulla superficie speculare costringe un osservatore che guardava l oggetto-sorgente a girarsi per guardare l immagine attraverso lo specchio. A seguito di questa rotazione l immagine gli appare rovesciata da sinistra a destra L immagine di uno specchio piano è dritta ma speculare

44 Osservazione dell immagine virtuale L osservazione dell immagine è operata dall occhio umano o da un sistema ottico ausiliario; Poiché la luce non passa fisicamente per l immagine virtuale, tale immagine non può essere acquisita attraverso uno schermo o una pellicola l occhio interpreta i raggi divergenti dai punti immagine virtuale come se provenissero daun oggetto

45 Osservazione dell immagine in specchi di dimensioni finite Perché l osservatore veda un punto oggetto o immagine i raggi divergente da tale punto devono arrivare fisicamente al suo occhio Normale al piano dello specchio P A B P Per vedere l immagine virtuale prodotta da uno specchio di dimensioni finite, l osservatore deve stare nel cono individuato dai raggi riflessi nei punti estremali A e B dello specchio

46 Esempio: Si consideri una persona alta h con gli occhi distanti h 2 dalla sommità della testa e posta alla distanza p dallo specchio. Quanto deve essere alto lo specchio affinchè la persona possa vedersi completamente? Specchio alto L

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48 Raggio proveniente dal punto sorgente più alto e riflesso nell occhio Le linee blu tratteggiate sono le normali allo specchio e le bisettrici degli angoli formati dal raggio incidente e da quello riflesso h 2 L h 1 oggetto = immagine Raggio proveniente dal punto sorgente più basso e riflesso nell occhio = I triangoli evidenziati sono congruenti L h h1 h 2 h h Non dipende dalla distanza specchio persona!

49 Specchio sferico

50 Incurvando uno specchio piano in modo concavo o convesso, si può osservare che il centro di curvatura si sposta da al punto C, e lo specchio ha la capacità di far convergere o divergere i raggi paralleli che vi incidono r<0 r>0 Gli specchi sferici sono sistemi stigmatici in approssimazione di Gauss

51 Data una sorgente puntifome P vogliamo trovare la sua immagine B P Sorgente C P Immagine V

52 Troviamo il punto immagine del raggio di angolo u applicando la legge di Snell per la riflessione P u P Sorgente C P Immagine H V

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54 Triang. PCB u+ i + ( - w)= p u+ i = w (1) Triang. CBP w + r + ( - u )= u = w + r u = w + i (2) visto che si ha, per le leggi della riflessione: i = r sommando 1) e 2) u+ u = 2 w l<0 -r l >0

55 In generale la posizione del punto P dipende dall angolo u del raggio emesso da P. In approssimazione parassiale però tutti i raggi emessi da P (con piccoli angoli u) finiscono nello stesso punto immagine P dopo la riflessione: sistema stigmatico se u è piccolo (Gauss) BH=BV (HV è trascurabile) PH u PV u h Sostituendo tali espressioni nella relazione trovata precedentemente, si ottiene: u u ω h l l<0 h l' -r 2h r l >0 h 1 l' u 1 l CBw CH w h l P' H u' 2 r w h P' V u' Tenendo conto dei segni delle coordinate, ricaviamo: h r h h u' l' u +u = 2w equazione dello specchio sferico Vale sia per specchi concavi (r<0) che convessi (r>0)

56 Distanza focale 1 1 l' l 2 r II distanza focale f =coordinata immagine con l=- 1 2 r f ' f ' r 2 Per la reversibilità dei cammini ottici si vede che primo e secondo fuoco coincidono r Ascissa oggetto con immagine in l = f f ' I distanza focale 2 Specchio concavo: r<0 f >0, f <0 F e F sono alla sinistra di V

57 Fuochi dello specchio convesso r 1 l' 1 l 2 r l f ' r 2 0 V l' f r 2 0 F e F sono alla destra di V

58 ponendo si ricava: ' 1 1 ' 1 f l l f s 2 ' r f Tale equazione è indipendente dall indice di rifrazione n del mezzo in cui è posto lo specchio Equazione dei punti coniugati per lo specchio sferico V C S B F S r l l 2 1 ' 1 che è l equazione dello specchio sferico. l f lf f l l f l l ' ' ' ' ' 1 1 ' 1 Da tale equazione possiamo ricavare la coordinata del punto immagine nota la coordinata del punto oggetto e la distanza focale dello specchio. l<0 l >0 f >0

59 Potere dello specchio sferico Il potere dello specchio è: 1 2 F f ' r Dall equazione dello specchio si ottiene: s S f C S L F B L' V 1 l' 1 l 1 f ' L' L F L' L F Specchio concavo: F>0 Specco convesso: F<0

60 Ingrandimento trasversale: oggetto esteso Per costruire l immagine di un oggetto esteso nella direzione ortogonale all asse ottico, dobbiamo trovare i punti coniugati di tutti i suoi punti In generale l immagine P Q non giace in un piano normale all asse PVC, ma su una superficie concava verso sinistra (Effetto curvatura di campo) Se l angolo sotteso dall oggetto (o dall immagine) sulla superficie rifrangente è piccolo (raggi parassiali) tale deviazione è piccola. Le stesse distanze l e l valgono per tutti i punti dell oggetto e dell immagine: l immagine è in un piano ortogonale all asse ottico a distanza l dal vertice

61 Q y Q y y, y si misurano a partire dall asse ottico, sono >0 se Q e/o Q sono al disopra dell asse ottico, sono <0 se Q e/o Q sono al disotto dell asse ottico r y m= è l ingrandimento trasversale m>0 immagine diritta y m<0 immagine capovolta Interferenza 61

62 Ingrandimento trasversale Per determinare l ingrandimento trasversale prodotto dallo specchio sferico consideriamo i due triangoli OQV e VQ I che sono tra loro simili. Si ha: Q IV IQ' OV OQ l' y' l y y' y l' l y -y Q r l >0 l<0 m l' l

63 Costruzione grafica dell immagine In questo caso (specchio concavo) la luce passa effettivamente per i punti dell immagine: immagine reale Per costruire l immagine di un oggetto esteso si possono considerare 2 dei quattro raggi particolari: 4 raggio 4: Raggio incidente nel vertice dello specchio (è simmetrico rispetto all asse focale)

64 Immagini dello specchio concavo Oggetto reale l<0 1 l' 1 l 1 f ' l' 1 lf ' 1 1 f ' l l f ' f >0 l >f l >0 immagine reale l <f l <0 immagine virtuale

65 Osservazione dell immagine sì no L immagine P Q è una immagine reale: un osservatore in E vede la punta della freccia tramite il piccolo fascio di raggi tratteggiato. E da notare che a differenza di un oggetto reale, l immagine non può vedersi da tutte le direzioni, ma soltanto da un osservatore posto entro il cono limitato dai raggi che colpiscono il contorno esterno dello specchio

66 Immagine di uno specchio convesso La costruzione dell immagine nello specchio convesso si ottiene sfruttando la stessa costruzione geometrica adoperata per gli specchi concavi. f ' r 2 0 l' lf ' f ' l 0 l' Qualunque sia il punto dove l'oggetto viene situato, la sua immagine sarà virtuale, diritta e rimpicciolita f ' l' 0 m 1 l

67 Applicazioni degli specchi convessi

68 RIASSUNTO SPECCHIO SFERICO l<0 l >0 r l>0 l <0 r l ' l r f ' L' L F Le equazioni dello specchio y ' l ' L m y l L ' 1 2 r ; f ' f ' r 2 valgono sia per specchi concavi (r<0) che convessi (r>0). valgono anche per lo specchio piano considerato come limite per r= dello specchio sferico F >0 concavi <0 convessi l=l m=1 l l

69 Riassunto specchio sferico 1 l' 1 l 2 r 1 f ' l' L m l L ' f l l - + l >2f _ f< l <2f _ l <2f + l >2f _ l <f

70 Raggi non parassiali: specchi parabolici In uno specchio sferico, al di fuori dell ottica di Gauss si ha il fenomeno dell aberrazione sferica anche per i punti oggetto ad infinito. I raggi che giungono parallele all asse principale ma lontani dall asse ottico, non convergono in un unico punto Questa aberrazione sferica è assente in specchi a profilo parabolico: il fuoco è un punto Questa caratteristica è conseguenza del fatto che la parabola ha la seguente proprietà: in un qualsiasi punto P di una parabola la normale per esso biseca l'angolo tra la retta parallela all'asse per P e la congiungente il suo fuoco sempre con P. Indipendentemente dalla distanza dall asse Proprio per questa caratteristica, per molte applicazioni vengono utilizzati specchi parabolici

71 APPLICAZIONI SPECCHI PARABOLICI radiotelescopio