Modulo 4: Disegno e rappresentazione del territorio e del paesaggio Elementi di fondamentali di topografia

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1 Politecnico di Milano Polo Regionale di Lecco Master in Analisi e gestione del patrimonio paesistico Modulo 4: Disegno e rappresentazione del territorio e del paesaggio Elementi di fondamentali di topografia Ing. Marco Scaioni Politecnico di Milano Polo Regionale di Lecco Lecco, 22 Gennaio 2004

2 Programma del Modulo 22/01 29/01 elementi fondamentali di topografia, geodesia, sistemi di riferimento e strumenti topografici elementi di cartografia e fotogrammetria, dati cartografici attualemte disponibili da definire la progettazione e il collaudo di una cartografia tecnico a mediagrande scala Relatore: Ing. Marco Scaioni Ricercatore di Topografia e Cartografia Politecnico di Milano Polo Regionale di Lecco marco.scaioni@polimi.it

3 I sistemi di riferimento Lo scopo per cui si eseguono misure topografiche è la determinazione delle coordinate di punti incogniti Applicazioni principali: Realizzare o aggiornare cartografie Controllo degli spostamenti nel tempo Misurare i punti appartenenti ad una rete per poi utilizzarli come riferimento per misurazioni successive La determinazione dei punti è possibile se è stato definito un Sistema di Riferimento (SdR), nel quale sia possibile determinare in modo univoco la loro collocazione

4 Esempio: definire la posizione planimetrica degli oggetti in una stanza Funzione di un SdR Definisce in modo univoco la posizione di punti (e quindi degli oggetti da essi costituiti) Nel piano posso definire univocamente la posizione di un oggetto mediante un sistema di assi cartesiani ortogonali Per definire questo SdR nel piano devo fissare: un punto di origine un altro punto per fissare la rotazione e la scala

5 Materializzazione di un SdR Come definire le coordinate di un punto qualsiasi del piano una volta fissato un SdR in esso? Esempio: nel caso della stanza, mi basta conoscere le coordinate di due punti nel SdR dato In generale, io posso determinare le coordinate di qualsiasi punto del piano rispetto ad un dato SdR utilizzando una coppia di punti dei quali sono già note le coordinate nel SdR assegnato.

6 SdR e sistemi di coordinate Fissato un SdR, è possibile determinare la posizione di un punto attraverso diversi sistemi di coordinate Nel piano ad esempio si possono impiegare: Coordinate cartesiane (x-y) Coordinate polari (ρ-θ) Il passaggio da un sistema di coordinate a un altro è una pura trasformazione matematica Il cambio del SdR implica la trasformazione delle coordinate dei punti

7 Esempio: coordinate nel piano Posso determinare univocamente la posizione del punto P fissando un origine e due assi cartesiani Le coordinate di P possono essere espresse sia in coordinate cartesiane che in polari Relazione tra i 2 sistemi di coordinate: x P = ρ sin θ y P = ρ cos θ y P y θ P ρ P P x P x

8 Il problema dell altimetria Nell esempio della stanza, è naturale definire l altimetria mediante un terzo asse z ortogonale al riferimento planimetrico Il SdR altimetrico può essere indipendente da quello planimetrico L altimetria è naturalmente legata al concetto di gravità (i corpi cadono lungo la verticale e i liquidi scorrono dall alto verso il basso) x z y

9 Un SdR per le quote Si definisce quota di un punto la sua distanza da un piano di riferimento misurata lungo la verticale La quota del piano di riferimento può essere arbitraria Analogamente a quanto visto per la planimetria, posso identificare il SdR altimetrico conoscendo la quota di un punto (caposaldo altimetrico) z

10 Le superfici di riferimento I SdR appena visti sono utilizzabili per rilievi di tipo locale (architettonici, controlli di strutture, tracciamenti di piccole opere) In realtà non sono più utilizzabili nelle operazioni di rilevamento che coinvolgono porzioni di territorio più vaste perché occorre tener conto della curvatura terrestre In questo caso è conveniente riferire le misure topografiche ad una superficie di riferimento (come il piano della stanza nei casi già visti) Una volta definita una superficie di riferimento, è possibile posizionare i punti rispetto ad essa attraverso la scelta di opportuni sistemi di coordinate

11 Una superficie di riferimento terrestre La superficie topografica della Terra, osservata da lontano, appare sferica Avvicinandosi sempre più ad essa ci si accorge però che la forma non è esattamente sferica e compaiono irregolarità locali più o meno vistose Queste irregolarità, che visibilmente ci appaiono nella realtà, sono comunque da ritenersi insignificanti se raffrontate con le dimensioni globali della Terra: Le montagne e le fosse oceaniche hanno un escursione altimetrica raramente superiore a ±10 km rispetto al livello medio dei mari e dunque da ritenersi ben poca cosa rispetto al raggio terrestre che è mediamente pari a 6378 km

12 Una superficie di riferimento terrestre Dovendo scegliere una superficie di riferimento è logico pensare che questa sia il più vicino possibile alla forma reale della Terra da un punto di vista globale Due sono gli approcci geodetici per definire una superficie di riferimento: Geodesia classica Geodesia moderna (GPS)

13 L approccio classico E basato sulla completa separazione della planimetria e dell altimetria, perché: Diversi sono i metodi topografici di misura Diversa è la rappresentazione cartografica Diretta per la planimetria Indiretta per l altimetria (punti quotati e curve di livello) Superficie di riferimento per la planimetria: l ellissoide di rotazione terrestre E basato sulla regolarità complessiva della superficie topografica della Terra, assimilabile ad un ellissoide Superficie di riferimento per l altimetria: il geoide È una superficie di riferimento per le quote legata alle superfici equipotenziali del campo di gravità della Terra

14 L ellissoide di rotazione terrestre L ellissoide è una superficie teorica generata dalla rotazione di un ellisse intorno all asse minore Le dimensioni dei semiassi (a e b) hanno circa le dimensioni dei semiassi terrestri. L equazione dell ellissoide è X 2 x + a 2 Y z b 2 a + Z b 2 2 y = 1

15 Parametri geometrici dell ellissoide semiasse maggiore (a) semiasse minore (b) Eccentricità: e 2 =(a 2 -b 2 )/a 2 Schiacciamento: s=(a-b)/a Sono sufficienti due parametri per identificare un particolare ellissoide I valori di questi parametri vengono calcolati sulla base di opportune misure Con l evolversi delle tecniche di osservazione, essi vengono rideterminati da appositi enti di ricerca b a

16 Meridiani e paralleli Meridiani: sezioni normali passanti per l asse Z (ellissi) Paralleli: sezioni con piani paralleli al piano equatoriale (circonferenze)

17 Sistemi di coordinate sull ellissoide Z // asse rotazione terrestre Piano equatoriale λ P P ϕ h normale ellissoidica (n) Superficie topografica Y Coordinate geografiche ellissoidiche: j (latitudine): angolo tra la normale all ellissoide (n) e il piano equatoriale (xy) l (longitudine): angolo diedro tra il piano meridiano per un punto e il piano meridiano di riferimento per Greenwich h (quota ellissoidica) X Per meridiano di riferimento (Greenwich) Ellissoide terrestre Coordinate cartesiane ellissocentriche: X,Y,Z

18 Ellissoidi più importanti Ellissoide Internazionale (o di Hayford ) a = m α =1/297 utilizzo: cartografia ufficiale italiana e internazionale Ellissoide di Bessel (1841) a = m α =1/ utilizzo: cartografia catastale italiana Ellissoide WGS84 (utilizzato dal sistema GPS) a = m α =1/ utilizzo: posizionamento satellitare GPS

19 Ellissoide geocentrico e locale Se devo rappresentare una porzione limitata della Terra, posso impiegare un ellissoide orientato localmente In tale ambito approssima meglio la superficie media della Terra Se devo eseguire una rappresentazione globale (ad esempio per i sistemi satellitari) utilizzerò un ellissoide geocentrico P Ellissoide orientato localmente Ellissoide geocentrico

20 Materializzazione di un ellissoide Dal momento che l ellissoide è una superficie ideale deve essere opportunamente materializzata sul territorio per essere utilizzata praticamente L operazione viene eseguite con la misurazione di una rete di vertici trigonometrici distribuiti sull intero territorio interessato L ellissoide non è più un entità ideale ma ha una specifica realizzazione concreta, legata al modo con cui sono stati misurati i vertici (con l influenza degli errori di misura!) Un ellissoide materializzato definisce un DATUM geodetico La trasformazione tra due diversi DATUM non può più essere risolta mediante pure relazioni analitiche ma occorre impiegare metodi approssimati

21 La rete trigonometrica I.G.M. E una rete di triangolazione costituita e realizzata dall Istituto Geografico Militare per materializzare sul territorio italiano l ellissoide di riferimento della cartografia nazionale (elliss. di Hayford orientato a Roma Monte Mario) Iniziata con l unità d Italia e successivamente integrata Misure utilizzate: angoli azimutali Basi geodetiche (8) Misure astronomiche Misure di distanza di alcuni lati (in epoca successiva)

22 Vertici della rete trigonometrica I.G.M.

23 Vertici della rete trigonometrica I.G.M. Monografie che permettono il ritrovamento del punto e ne riportano le principali informazioni: Coordinate geografiche Coordinate cartografiche Classificazione del punto (ordine e codice)

24 Approssimazioni locali dell ellissoide L impiego dell ellissoide è necessario quando devono essere eseguite misure che coinvolgono vaste porzioni di territorio (effetto della curvatura terrestre) Realizzazione di cartografie regionali o nazionali Opere di tracciamento di grandi infrastrutture Realizzazione di reti geodetiche Quando si opera su porzioni di territorio più limitate si possono usare alcune approssimazioni Sfera locale (campo geodetico) Piano locale (campo topografico)

25 Campo geodetico e topografico Campo sfera validità geodetico locale 100 km Campo piano validità topografico tangente km SFERA LOCALE n PIANO LOCALE GEOIDE ELLISSOIDE

26 La superficie di riferimento per le quote L ellissoide terrestre è una superficie ideale per la planimetria, dove è importante la sola natura geometrica Una superficie di riferimento altimetrica deve anche essere associata al concetto di campo di gravità Le quote, cioè le altezze rispetto alla superficie di riferimento, devono avere un significato fisico (l acqua deve scorrere da un punto a quota maggiore verso uno a quota minore) La direzione della verticale è materializzabili in tutti i punti della superficie terrestre

27 Il campo gravitazionale terrestre Ogni punto sulla superficie terrestre è sottoposto all azione della forza di gravità g = Forza gravitazionale F + Forza centrifuga f F P f g sud

28 La verticale Si definiscono linee di forza del campo di gravità le linee che hanno in ogni loro punto per tangente la direzione della forza di gravità Le linee di forza del campo di gravità sono curve gobbe La tangente alla linea di forza in un punto si chiama verticale e coincide con la direzione del filo a piombo linea di forza la verticale è tangente g g è la forza di gravità

29 Superfici equipotenziali del campo le superfici che in ogni loro punto sono ortogonali alla direzione della forza sono dette equipotenziali Linee di forza Superfici equipotenziali Individuabili in ogni punto grazie ad una livella

30 Definizione del Geoide Tra le infinite superfici equipotenziali ne è stata scelta una come riferimento altimetrico: il geoide GEOIDE mare P verticale P Il geoide è quella superficie equipotenziale che assumerebbe la Terra se fosse costituita solo da acqua omogenea nelle sue condizioni fisiche e chimiche in assenza di moto ondoso, correnti, maree o altre cause di movimento In realtà viene definito convenzionalmente come la superficie equipotenziale che passa per il livello medio dei mari

31 Caratteristiche del geoide E un sistema di riferimento ideale per le quote, che vengono dette: Ortometriche Geoidiche Quote s.l.m. Questa quote hanno un significato fisico, associato al campo di gravità Non ha un espressione matematica esprimibile in forma chiusa, quindi non è una superficie di riferimento ideale per la planimetria (cartografia)

32 Materializzazione del geoide Essendo una superficie convenzionale legata al livello medio del mare: la quota 0 è fissata convenzionalmente pari livello medio del mare in un determinato luogo (in Italia dal mareografo di Genova) ad una determinata data. La materializzazione del geoide è fatta mediante una rete generale di punti (capisaldi altimetrici) aventi quota rispetto al geoide (ortometrica) nota. Se voglio calcolare la quota ortometrica di un punto, parto dalla quota del caposaldo più vicino della rete generale e tramite livellazione geometrica mi collego al punto incognito.

33 Quota ortometrica ed ellissoidica ELLISSOIDE (campo normale) Quote ellissoidiche (h): vengono calcolate tramite GPS (oppure con la livellazione trigonometrica) Quote ortometriche (H) rispetto al geoide: vengono calcolate mediante livellazione geometrica N = ondulazione del geoide GEOIDE (campo vero) SUPERFICIE TOPOGRAFICA h=h+n

34 L approccio moderno (GPS) Il sistema GPS consente oggi di determinare la posizione di punti rispetto ad un sistema di riferimento geocentrico Utilizza una costellazione di satelliti (24) in orbita attorno alla Terra e ricevitori a Terra impiegati dagli utenti Navigazione (1 solo ricevitore precisioni metriche) Rilevamento (almeno 2 ricevitori precisioni fino all ordine del mm anche su basi di decine di km)

35 L ellissoide di riferimento per il GPS Le misure determinate con il GPS sono inquadrate in un SdR associato all ellissoide WGS84 Ellissoide geocentrico Asse z lungo l asse di rotazione convenzionale Asse x per Greenwich Asse y a completare la terna destrorsa Coordinate cartesiane o geografiche

36 Il problema delle quote Nella geodesia moderna le misure che coinvolgono ampie porzioni di territorio vengono eseguite mediante il GPS Esso permette di determinare le tre coordinate 2 planimetriche (latitudine e longitudine su WGS84) 1 altimetrica (quota ellissoidica) La quota ellissoidica così determinata non ha tuttavia il significato fisico della quota ortometrica, necessaria per molte applicazioni ingegneristiche (è quella usata nelle carte tecniche) Occorre conoscere per ciascun punto rilevato il valore dell ondulazione del geoide

37 Calcolo dell ondulazione (1) L ondulazione è legata al campo di gravità e quindi non è esprimibile in forma matematica chiusa Due possibilità: Utilizzare un modello dell ondulazione del geoide (per l Italia ITALGEO99) Disporre di punti dei quali si conosca sia la quota ortometrica che quella ellissoidica e derivare l ondulazione per interpolazione

38 Le grandezze misurate in topografia Si considerano per ora solo quelle considerate nella topografia classica Tre categorie di grandezze misurate: Angoli Azimutali (in un piano orizzontale) Zenitali (in un piano verticale) Distanze Dislivelli Queste grandezze si combinano poi tra loro in schemi geometrici che permettono di determinare le coordinate di punti

39 Elementi: Gli angoli azimutali v: verticale per A π B : piano contenente v e B π C : piano contenente v e C Definizione: angolo diedro definito dai due piani π B e π C

40 Gli angoli zenitali Elementi: v: verticale per A π: piano contenente v e B B π v Definizione: angolo formato dalla verticale v per il punto A e dalla congiungente AB A Si indica con Z o con ζ

41 Le distanze Distanza reale rispetto alla retta congiungente due punti A e B (d*) Distanza topografica (d) ridotta su una superficie di riferimento (ellissoide, sfera o piano locale)

42 I dislivelli geometrici Il dislivello tra due punti è definito come differenza delle loro quote rispetto al geoide I dislivelli che si misurano con operazioni di livellazione geometrica, rappresentano semplicemente la variazione delle quote relative dei punti Se uno dei due punti ha quota ortometrica nota attraverso la misura di dislivello si misura anche la quota ortometrica dell altro

43 I dislivelli celerimetrici Per punti distanti tra loro meno di 100 m, le verticali si possono considerare parallele e il geoide approssimato da un piano tangente

44 Le livelle Nella misura delle grandezze topografiche è fondamentale poter materializzare punto per punto la verticale Per questo gli strumenti topografici sono dotati di livelle Due tipologie, di differente precisione: Livelle toriche Livelle sferiche

45 Le livelle toriche Serve per verificare l orizzontalità di una direzione Struttura: Fiala di vetro graduata contenente liquidi volatile (permette la formazione di una bolla) Graduazione ogni 2 mm Custodia Viti di regolazione Sensibilità: 10 /2 mm 20 /2 mm

46 Le livelle sferiche E costituita da un piccolo tronco di cilindro di vetro, con la faccia superiore a forma di calottina sferica E riempito di un liquido volatile, che permette la formazione di una bolla Sulla calottina è inciso un cerchietto avente il raggio di poco superiore alla bolla Sensibilità: 4 /2 mm 8 /2 mm

47 Il teodolite Strumento per la misura diretta degli angoli Azimutali Zenitali E composto da: Organi che permettono la materializzazione degli angoli concretizzando le rette che li definiscono Dispositivi per la misura degli angoli stessi

48 Il teodolite: schematizzazione Il teodolite è schematizzabile mediante 3 assi: Asse primario r (che viene reso verticale) Asse secondario m (reso orizzontale) r Asse terziario (o di collimazione) che ruota in un piano (reso) verticale

49 Il distanziometro ad onde In passato le distanze venivano misurate grazie a metodi indiretti (stadia verticale), oppure mediante nastri o fili graduati Oggi la grande diffusione dei distanziometri ad onde elettromagnetiche ha completamente soppiantato tali metodi I distanziometri ad onde vengono ormai integrati nei teodoliti costituendo le stazioni totali Due principi di funzionamento: con misure di sfasamento (con prisma riflettente) Ad impulsi (senza prisma ma meno precisi e con portate minori)

50 Il livello e la livellazione geometrica E un metodo di misura che consente di determinare dislivelli rispetto al geoide Principio semplicissimo: leggendo la graduazione alla stessa quota su due stadie graduate uguali, calcolo il dislivello tra i punti in cui sono poste Lo strumento utilizzato è il livello + 2 stadie graduate La livellazione viene condotta con il livello in mezzo alle stadie per eliminare gli errori che si manifestano in modo simmetrico (sfericità, rifrazione ) l A l B l A + q A = l B + q B q AB = q B - q A = l B - l A (d AB < 100 m)

51 La livellazione composta Nel caso (raro) che si debba determinare solo il dislivello tra due punti si esegue una livellazione semplice (una sola battuta) Nel caso debbano essere collegati a distanze maggiori 100 m o non collegabili da una singola battuta si realizzerà una livellazione composta

52 Descrizione del livello Piastra di base da avvitare al treppiede topografico 3 viti calanti Collare Alidada Cannocchiale fissato all alidada mediante una cerniera ed una vite di elevazione Livella torica sul cannocchiale

53 Le stadie graduate Aste di legno o di acciaio invar riportanti una graduazione: dm: lettura cm: si contano mm: si stimano Dimensioni delle stadie: Lunghezza: 2-3 m Larghezza: circa 10 cm Dotate di una livella sferica per disporre lungo la verticale