Corso di Geometria Lezione II: Spazi vettoriali

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1 .. Corso di Geometria Lezione II: Spazi vettoriali F. Baldassarri 8 ottobre 2013

2 Definizione di spazio vettoriale Uno spazio vettoriale su un campo C (ad es. Q,R,C,{0, 1}) è un insieme V dotato di due operazioni +: V V V, (v, w) v+w e : C V V, (α, v) αv tali che per ogni scelta di u, v, w in V valgano S1) (v + w) + u = v + (w + u) (associatività) S2) v + 0 = v = 0 + v (esiste el. neutro 0) S3) v + ( v) = 0 = ( v) + v (esiste el. opposto) S4) v + w = w + v (commutatività)

3 Definizione di spazio vettoriale e inoltre M1) α(βv) = (αβ)v (associatività) M2) (α + β)v = αv + βv (distributività) M3) α(v + w) = αv + αw (distributività) M4) 1v = v per ogni scelta di α, β in C e di v, w in V. Gli elementi di uno spazio vettoriale vengono detti vettori.

4 Esempi di spazi vettoriali L insieme V dei vettori geometrici dello spazio con le operazioni definite ieri è uno spazio vettoriale su R. L insieme Q[X ] = {a 0 + a 1 X +... a n X n, n N, a i Q} dei polinomi a coefficienti in Q nella variabile X è uno spazio vettoriale su Q (ma non su R). L insieme R[X ] = {a 0 + a 1 X +... a n X n, n N, a i R} dei polinomi a coefficienti in R nella variabile X è uno spazio vettoriale su R (e anche su Q). l insieme delle funzioni {f : R R} ove si pone f + g : x f (x) + g(x) e αf : x αf (x).

5 Spazi vettoriali standard su R: L insieme R con la + e usuali è uno spazio vett. su R. L insieme R 2 con le operazioni ( ) ( ) ( ) x1 y1 x1 + y + = 1 x 2 y 2 x 2 + y 2 e ( x1 α x 2 ) ( αx1 = αx 2 ) L insieme R n (n 1) con le operazioni x 1 y 1 x 1 + y =. e α x n y n x n + y n è uno spazio vettoriale su R. x 1. x n = αx 1. αx n

6 Spazi vettoriali standard su C generico: Sia C un campo qualsiasi. L insieme C n con +, definite componente per componente è uno spazio vettoriale su C.

7 Coordinate di un vettore geometrico Supponiamo fissato un sistema di assi cartesiani O, X, Y, Z nello spazio. Allora ogni vettore geometrico è del tipo OP per un opportuno punto P. Siano (x P, y P, z P ) le coordinate del punto P.

8 z P P O y P x P P

9 Coordinate Spazi vettoriali Esiste una applicazione V R 3, OP x P y P z P che associa ad un vettore le sue coordinate. Essa è biiettiva e rispetta somma e prodotto per lo scalare. Questo fatto permette di lavorare con le coordinate (=oggetto algebrico) anziché con i vettori (=oggetto geometrico). Attenzione: l applicazione sopra dipende dal sistema di assi cartesiani scelto!

10 Vettori geometrici paralleli Dati vettori geometrici OP e OQ, OP 0, OP OQ O, P, Q r r retta OQ = α OP, α R. (Il vettore nullo 0 è considerato parallelo a qualsiasi altro vettore geometrico.)

11 Più in generale, dati vettori OP e OQ, OP OQ α OP + β OQ = 0, (α, β) R 2 {(0, 0)}. ( xy ) Passando alle coordinate v = si ha OP ( xy OQ α z ) ( x ) +β y z z = ( 00 0 di ( x ) OP e w = y di OQ z ), (α, β) R 2 {(0, 0)}.

12 Possiamo quindi indagare la condizione di parallellismo algebricamente: OP ( xy ) ( x ) ( ) 00 OQ α +β y =, (α, β) R 2 {(0, 0)}. z z 0 αx + βx = 0 αy + βy = 0 (α, β) R 2 {(0, 0)}, αz + βz = 0 ossia ci siamo ridotti a risolvere un sistema di tre equazioni nelle due incognite α, β.

13 Vettori complanari Siano dati i vettori OP, OQ, OR, di coordinate risp. v, w, u. Supponiamo OP OQ e che O, P, Q, R siano complanari. w Q R u 0 v P

14 Allora OR si decompone secondo le direzioni parallele a OP e OQ e si ha OR = α OP + β OQ, (α, β) R 2, ossia α OP + β OQ OR = 0 (α, β) R 2. Più in generale OR, OP, OQ sono complanari α OP + β OQ + γ OR = 0, (α, β, γ) R 3 {(0, 0, 0)}. Traduciamo ora questa condizione in termini di coordinate.

15 ( xy ) ( x Siano v =, w = y z I vettori OR, OP, α ( xy z ) +β ( x ) y +γ z z ), u = ( x ) y z OQ sono complanari ( x ) ( 00 y = z 0. ), (α, β, γ) R 3 {(0, 0, 0)} αx + βx + γx = 0 il sistema αy + βy + γy = 0 ammette soluzione αz + βz + γz = 0 (α, β, γ) (0, 0, 0).

16 Combinazioni lineari Abbiamo finora visto due esempi di combinazioni lineari di vettori e loro interpretazioni.. Definizione.. Siano v 1,..., v n vettori di uno spazio vettoriale V su C. Una loro combinazione lineare è un vettore v di V che si scrive come v = α 1 v 1 + α 2 v α n v n con α 1,..., α n in C. Una combinazione lineare si dice banale se tutti i coefficienti α. i sono 0.

17 Esempio in R 3 : ossia il vettore e = , è combinazione lineare dei vettori

18 NB. Caso n = 1. Dato un vettore v e un α R, allora il vettore w = αv è combinazione lineare di v. Il vettore nullo 0 è c.l. (banale) di qualsiasi vettore; infatti 0 = 0w qualunque sia w.

19 Altro esempio in R 3 : = 3 = =

20 La non unicità dei coefficienti nella combinazione lineare è dovuta al fatto che uno dei tre vettori , 1, si può scrivere come c.l. degli altri: =

21 Dipendenza lineare. Definizione.. Sia V uno spazio vettoriale (su C. I vettori v 1,..., v r di V si dicono linearmente indipendenti se α 1 v α r v r = 0. con α i C implica α 1 = = α r = 0. Ovvero i vettori v i sono l.i. se l unico modo di scrivere il vettore nullo come combinazione lineare dei vettori v 1,..., v r è quello di prendere tutti i coefficienti uguali a zero. Dei vettori che non siano linearmente indipendenti si diranno linearmente dipendenti.

22 Ora si ha = pertanto i tre vettori sono linearmente dipendenti in R

23 . Definizione.. Sia V uno spazio vettoriale sul campo C. Un sottoinsieme non vuoto W di V si dice un sottospazio vettoriale di V se u, w W, α C u + w W e αu W ossia, se esso è chiuso rispetto alla somma e al prodotto per uno. scalare. NB1: ogni sottospazio vettoriale di V contiene il vettore nullo 0 di V. NB2: un sottospazio W di V è uno sp. v. con la + e indotte da V.

24 Esempi di sottospazi Sia V un C-spazio vettoriale. (a) Sottospazio nullo. 0 := {0} (b) V stesso. (c) Sottospazio generato da v 0: fissato v 0 in V v = {αv α C}. (d) Sottospazio generato da v 1,..., v n : fissati v 1,..., v n in V v 1,..., v n = {α 1 v 1 + α 2 v α n v n α i C, i}.

25 Esempi di sottospazi di R 2 Il sottospazio nullo 0 := sottospazi banali). ( 1 2 ) = {( 0 0 {( α 2α )} ed R 2 stesso (detti ) } α C.

26 r = {(x, y) R 2 tale che 2x = y} (1, 2) (0, 0)

27 Caratterizzazioni equivalenti Un sottoinsieme non vuoto W di V è un sottospazio vettoriale di V se e solo se vale una delle seguenti i) u, w W, α, β C αu + βw W ; ii) u, w W, α C u + w W e αu W ; iii) W è chiuso rispetto alle combinazioni lineari, ossia dati comunque vettori w 1,..., w k di W e scalari α 1,..., α k C si ha α 1 w 1 + α k w k W.

28 Spazi vettoriali Si definisce prodotto scalare di R 3 l applicazione : R 3 R 3 R che associa a x 1 v = x 2 x 3, y 1 w = y 2 y 3 lo scalare v w = x 1 y 1 +x 2 y 2 +x 3 y 3. Due vettori v, w si dicono ortogonali se v w = 0. Analoga definizione in R n.

29 Proprietà del prodotto scalare in R n v (w + z) = (v w) + (v z), v (λw) = λ(v w), v w = w v, v v 0 per ogni v R n e v v = 0 v = 0, qualunque siano v, w, z R n e λ R.

30 Norma di un vettore di R n La norma di v R n è il numero reale Ad esempio se v = x y z v := v v corrisponde alle coordinate di un vettore OP in un fissato sistema di riferimento O, X, Y, Z allora v := v v = x 2 + y 2 + z 2. corrisponde alla lunghezza del segmento OP.

31 Versori Un versore di R n è un vettore di norma 1. Dato un vettore v R n, v 0, il vettore è un versore. Esempio. Sia v = v v, Allora v v = 1 v = 14 1/ 14 2/ 14 3/ 14.

32 Proprietà della norma v 0 per ogni v R n e v = 0 v = 0, λv = λ v, v + w v + w (disuguaglianza triangolare), qualunque siano v, w R n e λ R.

33 Interpretazione geometrica della dis. triangolare Siano OP, OQ di coordinate v, w in R 3. Allora v + w sono le coordinate del vettore OR = OP + OQ = OP + PR. Si ha v + w v + w OR OP + PR Q R w v + w O v P

34 Disuguaglianza di Schwarz Per ogni coppia di vettori v, w di R n, si ha v w v w, ove vale l uguaglianza se, e solo se, uno dei vettori è nullo oppure v = αw esiste α R. La disuguaglianza di Schwarz implica la disuguaglianza triangolare.

35 di R n Siano v, w due vettori non nulli di R n. Allora e si pone v w v w 1 v w v w 1 cos ϑ := v w v w Si considera 0 ϑ π e si osservi che v, w sono ortogonali se e solo se ϑ = π/2.

36 Int. geometrica del coseno dell angolo tra vettori Dati vettori OP, OQ di coordinate rispettivamente v, w in R 3, allora cos ϑ := v w v w = v v w w è proprio il coseno dell angolo tra OP e OQ. Q w r ϑ v O Q P

37 Interpretazione geometrica del prodotto scalare Sian OP, OQ vettori non nulli di coordinate risp. v, w. Allora v w v è la lunghezza del segmento OQ. = w cosϑ Q w r ϑ v O Q P

38 Prodotto vettoriale Siano v = x 1 x 2 x 3, w = y 1 y 2 y 3 vettori di R 3. Il loro prodotto vettoriale è il vettore x 2 y 3 x 3 y 2 v w = x 3 y 1 x 1 y 3 x 1 y 2 x 2 y 1

39 Proprietà del prodotto vettoriale v w = (w v), (v + w) u = v u + w u (λv) w = λ(v w) = v (λw), v w = 0 se, e solo se, v e w sono proporzionali, (v w) v = 0 = (v w) w, v w 2 = v 2 w 2 (v w) 2 qualunque siano v, w, u R 3 e λ R. NB: v w è ortogonale sia a v, sia a w. (identità di Lagrange),

40 Interpretazione geometrica del prodotto vettoriale Siano OP, OQ vettori di coordinate v, w. Allora v w rappresenta l area del parallelogramma individuato da OP e OQ. Infatti v w 2 = v 2 w 2 (v w) 2 = v 2 w 2 (1 cos 2 ϑ) = v 2 w 2 sin 2 ϑ = OP 2 QQ 2. Q R w r ϑ O v Q P

41 Prodotto misto Spazi vettoriali Il prodotto misto di tre vettori v = ( z1 ) u = z 2 è il numero reale z 3 ( x1 ) ( y1 x 2, w = y 2 x 3 y 3 ), v (w u) = x 1 (y 2 z 3 y 3 z 2 )+x 2 (y 3 z 1 y 1 z 3 )+x 3 (y 1 z 2 y 2 z 1 ).

42 Interpretazione geometrica del prodotto misto Siano OP, OQ, OR tre vettori di coordinate v, w, u. Allora v (w u) è il volume del parallelepipedo individuato da OP, OQ, OR: v (w u ) = v w u cosα = w u v cosα = base altezza P α O v u R w Q.. (slides. by. A. Bertapelle)..

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