Geometria. Lezione del 07/03/2012. Stage di Trieste Progetto Olimpiadi

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1 Geometria Lezione del 07/03/2012 Stage di Trieste Progetto Olimpiadi

2 Assiomi Sono 5, i primi 4 sono: 1. Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta. 2. Si può prolungare un segmento oltre i due punti indefinitamente. 3. Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio. 4. Tutti gli angoli retti sono uguali.

3 Postulato delle parallele 3 Modi equivalenti di enunciarlo sono: 1. Data una retta r e un punto p non appartenente ad essa, esiste ed è unica la retta parallela ad r passante per p 2. Due rette parallele tagliate da una trasversale formano angoli alterni interni uguali 3. La somma degli angoli interni di un triangolo è 180 CURIOSITA : Esistono geometrie non euclidee che violano questo postulato

4 Teorema angolo esterno L angolo esterno è pari alla somma degli angoli interni non adiacenti DIMOSTRAZIONE: R=180-r; per il 5 postulato r+b+v=180 e quindi b+v=180-r=r

5 Teorema di Talete Un fascio di rette parallele determinano su 2 trasversali 2 classi di segmenti direttamente proporzionali DIMOSTRAZIONE: traccio CD e BE, i triangoli CDE e BCE hanno base in comune e stessa altezza, quindi hanno la stessa area, di conseguenza Area(ADE):Area(BDE)=Area(ADE):Area(CD E). Ma ADE e CDE hanno stessa altezza, quindi Area(ADE):Area(CDE)=AE/CE, per lo stesso motivo Area(ADE):Area(BDE)=AD/BD, da cui si ottiene la tesi AD/BD=AE/CE COROLLARIO: inoltre si può dimostrare che anche i segmenti determinati sulle parallele sono direttamente proporzionali a

6 Applicazione di Talete Prendiamo AL=LB, BN=NC e CM=MA, allora per talete LN è parallelo ad AC, e per il corollario precedente è vale anche 2LN=AC; ancora per talete BK=KM. Infine, sempre per talete, GLN e GAC sono simili e dato che le basi stanno in rapporto 2:1 AG=2GN, CG=2GL e MG=2GK, e quindi GB=GK+KB=GK+MK=GK+GK +MG=2MG e 3MG=MB

7 Disuguaglianze Triangolari Le enuncio senza dimostrazione: AB+BC>=AC AB>= AC-BC

8 Applicazione disuguaglianze triangolari Tesi: la somma delle lunghezze delle mediane è minore del perimetro Dimostrazione: 2CL=CC <=BC+CA 2AN=AA <=CA+AB 2BM=BB <=AB+BC Sommando 2*S_med<=2*Perimetro

9 Bisettrice di un angolo Retta formata dai punti equidistanti dalle due semirette che formano l angolo Nel triangolo si incontrano nell Incentro

10 Raggio circonferenza inscritta a un triangolo S_ABC=S_ABI+S_BCI+S_ CAI=cr/2+ar/2+br/2=(a+ b+c)r/2 Quindi r=2s/(a+b+c)=s/p dove p indica il semiperimetro

11 Formula di Erone Come trovo S se so solo i lati? S=SQRT[p(p-a)(p-b)(p-c)] DIMOSTRAZIONE: c è quella data da Erone, la ometto. Una dimostrazione moderna è la seguente (uso di trigonometria) Cos(C)=(a^2+b^2-c^2)/2ab Sin(C)=SQRT[4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)]/2ab S=abSin(C)/2= SQRT[4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)]/4=SQRT[p(p-a)(pb)(p-c)]

12 Teorema della bisettrice ABC trinagolo qualsiasi, traccio AD la bisettrice, quindi gli angoli BAD=DAC=BAC/2 Traccio la parallela ad AD passante per C e prolungo BA fino ad incontrare tale parallela chiamo E l intersezione Per Talete DAC=ACE=BAC/2 Sempre per Talete possiamo scrivere BD/BC=AB/AE Per il teorema dell angolo esterno, CAE=180-BAC e quindi AEC=180-(180-BAC)- BAC/2=BAC/2 Quindi ACE è isoscele e AE=AC Ottengo la tesi BD/BC=AB/AC

13 Circocentro Punto di incontro degli assi Centro della circonferenza circoscritta R=abc/4S DIMOSTRAZIONE: fa uso del teorema della corda (trigonometria c=2rsin(c), R=c/2sin(C) =abc/(2ab*sin(c)=abc/4s

14 Ortocentro Luogo di incontro delle altezze A,B,C,H costituiscono un sistema ortocentrico, ovvero formato un triangolo con 3 di questi 4 punti, il 4 rappresenta il suo ortocentro H,G ed O sono allineati e giacciono sulla retta di Eulero, inoltre HO=2HG

15 Circonferenze L angolo al centro è il doppio dell angolo alla circonferenza, che ha lo stesso valore qualsiasi sia il vertice che scelgo sulla circonferenza DIMOSTRAZIONE: dato l arco AB e un punto C sulla circonferenza ma esterno ad esso, traccio il diametro che ha per C uno dei due estremi. OCB è isoscele su base BC, perché OC e OB sono raggi, DOB=2DCB per il teorema dell angolo esterno. Analogamente si dimostra che AOD=2ACD, e sommando si ottiene che AOB=2ACB COROLLARIO: un triangolo rettangolo è inscrivibile in una semicirconferenza, e ogni triangolo iscritto in una semicirconferenza è rettangolo COROLLARIO 2: un rettangolo è sempre inscrivibile in una circonferenza

16 Inscrivibilità Un quadrilatero è iscrivibile se e solo se la somma degli angoli opposti è 180 gradi DIMOSTRAZIONE: ABC e CDA insistono su archi complementari, quindi la somma dei loro relativi angoli al centro è 360, e la loro somma è quindi 180

17 Applicazione criterio Inscrivibilità Sia H l ortocentro di un triangolo ABC, costruiamo H simmetrico di H rispetto alla base BC, dimostra che ABH C è ciclico DIMOSTRAZIONE: vedi figura H ortocentro, M punto medio AB, sia H l intersezione del prolungamento di HM con la circonferenza, dimostra che AHBH è un parallelogramma HINT per la dimostrazione: basta guardare gli angoli

18 Potenza di un punto rispetto a una circonferenza Pow(P)=PB*PA se P è esterno Pow(P)=0 se è sulla circonferenza Pow(P)=-PB*PA se è interno alla circonferenza La potenza non dipende dalla scelta di A DIMOSTRAZIONE: Caso esterno: BPA e APB sono simili in quanto BPB è in comune, e BAB e BA B insistono sullo stesso arco e quindi sono uguali; quindi PB /PA=PB/PA => PA*PB=PA *PB =Pow(P) Caso interno: PAB e PA B sono simili perché APB=A PB essendo opposti al vertice e gli altri sono uguali a due a due perché insistono sullo stesso arco, quindi PA/PA =PB /PB => PA*PB=PA *PB =-Pow(P)

19 Regola di Pick Dato un poligono i cui vertici stanno su una griglia di punti a coordinate intere, detti i il numero di punti della griglia interni, e b il numero dei punti della griglia sui lati, l area della figura è A=i+b/2-1 Se i lati non stanno su punti a coordinate intere, a volte è possibile effettuare una dilatazione lungo ciascuno degli assi in modo da ottenere ciò. Se dilato lungo l asse x di un rapporto X e lungo l asse y di un rapporto Y, e dopo ciò i vertici stanno sulla griglia, allora l area vale A=X*Y*(i+b/2-1)