CONOSCENZE e COMPETENZE per MATEMATICA

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1 e COMPETENZE per MATEMATICA LA MISURA DELLE GRANDEZZE GEOMETRICHE E LE GRANDEZZE PROPORZIONALI definizione di classe di grandezze geometriche; conoscere le classi geometriche: lunghezze, ampiezze, aree; definizione di grandezza omogenea conoscere le proprietà di una grandezza omogenea (confronto e composizione); definizione di multiplo di una grandezza (con esempio); definizione di sottomultiplo di una grandezza (con esempio); conoscere il postulato di divisibilità; conoscere il postulato di Eudosso-Archimede; definizione di grandezze commensurabili; definizione di grandezze incommensurabili (con esempio: diagonale del quadrato rispetto al lato); conoscere il postulato di continuità e saperlo spiegare utilizzando come esempio la diagonale del quadrato e la classe contigua di segmenti; conoscere le proprietà di una classe contigua di elementi; conoscere la differenza tra una grandezza e la sua misura; definizione di rapporto tra grandezze omogenee (con esempio tra due grandezze generiche A e B); definizione di proporzione tra grandezze omogenee; conoscere la denominazione dei termini presenti in una proporzione; conoscere le proprietà delle proporzioni (6 proprietà + teorema della quarta proporzionale); definizione di insieme di grandezze proporzionali (IGP); definizione di proporzionalità diretta tra grandezze (con esempio: proporzionalità tra le lunghezze dei segmenti che corrispondono ai lati di un quadrato e il suo perimetro); conoscere i criteri della proporzionalità diretta (PD); conoscere il teorema di Talete; conoscere il teorema della bisettrice di un angolo interno di un triangolo (con dimostrazione); Classe 3L 1 di 6

2 conoscere il modo per ricavare la formula dell'area del rettangolo grazie alle proporzioni e ai criteri di PD saper applicare il teorema di Pitagora; saper applicare i due teoremi di Euclide; saper risolvere problemi sui triangoli a un'incognita conoscendo i tre teoremi; saper svolgere problemi sui triangoli che hanno angoli particolari di 30,45,60 e 90 ; saper esplicitare la misura di una grandezza rispetto ad un'altra quando queste sono commensurabili; saper esplicitare la misura di una grandezza rispetto ad un'altra quando queste sono incommensurabili; saper porre due grandezze in proporzionalità diretta tra loro; saper risolvere problemi sui triangoli grazie ai teoremi di Talete e della bisettrice dell'angolo. LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE definizione di trasformazione geometrica; definizione di punto trasformato (o immagine); definizione di punto unito e figura unita; definizione di trasformazione involutoria, con esempi di applicazione; definizione di composizione tra trasformazioni; definizione di trasformazione identica (o identità); definizione di trasformazione inversa; definizione degli invarianti di una trasformazione; classificazione e proprietà delle trasformazioni (partendo da quelle con pochi invarianti fino a quelle con tanti): omeomorfismi, trasformazioni proiettive (o proiettività), trasformazioni affini (o affinità), similitudini e isometrie; definizione di isometrie e suddivisione tra traslazione, rotazione e simmetria; definizione di traslazione (con esempio dei fogli sovrapposti); definizione di rotazione (con esempio dei fogli); definizione di simmetria e distinzione tra simmetria centrale e simmetria assiale; definizione e proprietà dell'omotetia; sapere come cambia il vettore al variare del parametro k che indica il rapporto di omotetia (k>0:diretta e k<0:indiretta); conoscere i casi di ingrandimento ( k >1) e rimpicciolimento ( k <1); conoscere i casi particolari per k=0, k=1 e k=-1; conoscere le caratteristiche di una trasformazione indiretta, con l'inversione del senso di percorrenza dei vertici. saper effettuare la composizione di due trasformazioni della stessa caratteristica; saper individuare punti e figure trasformate nelle isometrie e nella omotetia; saper individuare punti e figure unite nelle isometrie e nella omotetia. Classe 3L 2 di 6

3 LA SIMILITUDINE definizione di similitudine; definizione di un caso particolare di similitudine: congruenza; definizione e dimostrazione dei tre criteri di similitudine dei triangoli; conoscere le applicazioni dei criteri di similitudine nei triangoli: in particolare conoscere la proporzione tra le basi e le altezze nei triangoli simili e saper riformulare i due teoremi di Euclide grazie alla proporzione tra segmenti (con dimostrazione); conoscere le applicazioni dei criteri di similitudine nella circonferenza e i tre teoremi (con dimostrazione) su corde e tangenti; definizione di sezione aurea di un segmento; conoscere le proprietà di un dodecagono regolare e saper dimostrare la sezione aurea tra il suo lato e il raggio della circonferenza nella quale è inscritto; conoscere il criterio per cui due poligoni sono simili; conoscere il rapporto c'è tra i perimetri, gli apotemi di due poligoni simili e tra i raggi delle circonferenze inscritte e circoscritte; conoscere il rapporto c'è tra le aree di due poligoni simili; conoscere l'espressione del lato rispetto al raggio delle circonferenze inscritte e circoscritte nei casi del quadrato, dell'esagono e del triangolo equilatero; conoscere il significato di rettificazione della circonferenza e quadratura del cerchio; conoscere la formula dell'area del cerchio e il modo per determinarla attraverso il triangolo curvilineo; conoscere la formula del raggio di una circonferenza inscritta in un triangolo; conoscere la formula del raggio di una circonferenza circoscritta ad un triangolo; conoscere l'esistenza della formula di Erone sull'area di un triangolo; definizione il significato del processo di esaustione anche applicato all'area del cerchio; conoscere il significato della lunghezza della circonferenza e dell'area di un cerchio quale elemento separatore di due classi contigue di grandezze omogenee ottenute grazie ai perimetri e alle aree dei poligoni regolari inscritti e circoscritti. saper collocare con adeguato calcolo algebrico la sezione aurea; saper costruire con riga e compasso la sezione aurea; saper calcolare la lunghezza di un arco di circonferenza; saper calcolare l'area di un settore circolare. Classe 3L 3 di 6

4 DISEQUAZIONI definizione di disequazioni equivalenti; definizione di disequazione intera, fratta e irrazionale; conoscere cosa significa risolvere una disequazione di secondo grado; conoscere come si calcola il discriminante, quindi saperlo calcolare; saper cosa significa risolvere una disequazione; saper cosa significa risolvere una disequazione di secondo grado; saper utilizzare il discriminante della equazione di secondo grado associata alla disequazione ai fini della risoluzione di quest'ultima; saper studiare il segno della funzione f(x)= ax^2 + bx + c; saper risolvere disequazioni si grado superiore al secondo; saper risolvere disequazioni razionali; saper risolvere sistemi di disequazioni; saper risolvere disequazioni irrazionali ( n pari, n dispari); saper risolvere equazioni e disequazioni con valori assoluti; saper risolvere sistemi di disequazioni con valori assoluti. PUNTI E RETTE NEL PIANO CARTESIANO definizione di coppia ordinata (a;b); definizione di ascissa e ordinata di un punto; definizione di piano cartesiano e i suoi quattro quadranti; definizione di cardinalità del piano (con dimostrazione); definizione di potenza del continuo: definizione di potenza del numerabile. saper calcolare la distanza tra due punti; saper determinare il punto medio di un segmento (con dimostrazione); saper calcolare il baricentro di un triangolo (con dimostrazione); saper definire e utilizzare l'equazione di rette parallele agli assi; saper definire e utilizzare l'equazione delle rette passanti per l'origine; saper definire e utilizzare la forma implicita dell'equazione della retta; saper definire e utilizzare la forma esplicita dell'equazione della retta; saper definire e utilizzare la forma segmentaria dell'equazione della retta; saper definire, calcolare ed individuare il coefficiente angolare o pendenza (m); saper definire ed individuare in una equazione l'intercetta(q); saper costruire l'equazione di una retta passante per due punti noti; saper gestire attraverso il corrispondente sistema algebrico l'eventuale intersezione tra due rette; saper definire e utilizzare la condizione di parallelismo tra rette; saper definire e utilizzare la condizione di perpendicolarità tra rette(con dimostrazione); Classe 3L 4 di 6

5 saper costruire, definire e utilizzare la distanza di un punto da una retta (con dimostrazione), anche passando attraverso la traslazione del sistema degli assi; saper gestire la presenza di incognite all'interno di problemi di geometria analitica, assegnando eventuali condizioni di esistenza; saper definire e costruire una combinazione lineare dell'equazione di due rette; saper riconoscere la tipologia di fascio generato dalla combinazione lineare di due rette; saper ricavare il centro del fascio e, nel caso di un solo parametro coinvolto, la retta non descritta; saper descrivere l'espressione generica del coefficiente angolare della retta del fascio; saper descrivere l'espressione generica dell'ordinata del punto di intersezione con l'asse delle y della retta del fascio; saper estrapolare dall'equazione del fascio le equazioni delle due rette generatrici; saper costruire l'equazione del fascio da due rette generatrici; saper costruire l'equazione del fascio proprio partendo dal suo centro; saper ricostruire il comportamento della retta generica del fascio al variare del parametro; saper imporre condizioni sul fascio di rette al fine di individuare rette particolari ( passaggio per un punto, parallelismo o perpendicolarità a rette date, aree di triangoli, distanze individuate); saper definire la traslazione, la simmetria centrale ed assiale rispetto ad assi paralleli agli assi coordinati sul piano cartesiano; saper utilizzare le formule per determinare le coordinate del punto traslato, simmetrico rispetto ad un centro o ad un asse parallelo agli assi coordinati (leggi di trasformazione per la traslazione, simmetria centrale e assiale rispetto ad assi paralleli agli assi coordinati); saper definire la traslazione inversa (legge di trasformazione per la traslazione inversa) nei casi di traslazione, simmetria centrale e assiale; saper ricostruire l'equazione di una retta traslata e simmetrizzata; saper risolvere per via grafica sistemi di disequazioni lineari in due variabili; saper ricostruire grafici corrispondenti a equazioni lineari nelle due variabili contenenti valori assoluti, anche in presenza di eventuali condizioni presenti sulle variabili; saper ricostruire l'equazione delle due rette bisettrici dell'angolo tra due rette; saper ricostruire l'equazione di un luogo geometrico sulla base della definizione della proprietà dei punti che lo definiscono; saper riconoscere equazioni parametriche delle coordinate ed assemblare nella equazione del luogo geometrico. Classe 3L 5 di 6

6 CIRCONFERENZE E LORO FASCI SUL PIANO CARTESIANO Saper definire la circonferenza come luogo geometrico; saper porre l'equazione della circonferenza nella forma canonica; saper dedurre se, assegnata la forma canonica, questa corrisponde ad una circonferenza; saper definire il centro e il raggio della circonferenza assegnata la forma canonica dell'equazione; saper rappresentare la circonferenza dato il centro e il raggio; saper caratterizzare graficamente le posizioni reciproche retta-circonferenza; saper riconoscere le condizioni di retta esterna, tangente e secante ad una circonferenza sulla base del segno del discriminante della equazione di secondo grado individuabile grazie alle loro equazioni; saper riconoscere le possibili situazioni di tangenza di rette condotte da un punto del piano ad una circonferenza; saper determinare la condizione di tangenza di una retta rispetto ad una circonferenza: discriminante nullo, distanza tangente-centro pari al raggio; saper ricostruire l'equazione della retta tangente note le coordinate del punto di tangenza e l'equazione della circonferenza. Classe 3L 6 di 6