Variabili Casuali Continue

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1 Distribuzione Normale Concentrazione di cloro nel sudore Variabili Casuali Continue media = 98.8 meq/l mediana =. meq/l moda =. meq/l < me/l La distribuzione empirica (diagramma a barre) può essere approssimata con una distribuzione teorica (distribuzione normale) Distribuzione Normale Distribuzione Normale Detta anche gaussiana dal nome di Karl Friedrich Gauss ( ). La distribuzione Normale riveste un ruolo fondamentale nella statistica perchè Occupa un ruolo centrale nella statistica descrive bene il manifestarsi di molti fenomeni: - errori di misura (genesi della Normale) - caratteristiche morfologiche e variabili biologiche gode di importanti proprietà teoriche 993: marchi tedeschi

2 Distribuzione Normale errori di misura Distribuzione Normale var. biologiche f(x),9,6,3 glucosio 9 mg/dl x x x 5 _ µ x = concentrazione di glucosio (mg/dl) Gli errori casuali di misura (ε=x-9), considerati nel loro complesso, mostrano un comportamento tipico:. gli errori piccoli sono più frequenti di quelli grandi;. gli errori di segno negativo tendono a manifestarsi con la stessa frequenza di quelli con segno positivo; 3. le misurazioni tendono a concentrarsi intorno a 9mg/dl Gene (X ) + Gene (X ) Abitudini alimentari (X 3 ).. Ambiente (X n ) = Cloro nel sudore (Y) Concentrazione di cloro nel sudore 9 media = 98.8 meq/l 8 mediana =. meq/l 7 moda =. meq/l < me/l Distribuzione Normale var. biologiche Distribuzione Normale proprietà La variabile Y=X +X +...X n, somma di N variabili casuali indipendenti con densità di probabilità qualsiasi, tende ad una distribuzione normale per n sufficientemente grande (teorema del limite centrale). La maggior parte delle variabili biologiche (peso, statura,...) dipendono dalla somma di svariati fattori genetici e ambientali fra loro indipendenti. La densità di probabilità associata a queste variabili biologiche segue la distribuzione normale, qualsiasi sia la distribuzione dei singoli fattori. La maggior parte delle altre distribuzioni teoriche di probabilità (binomiale, poisson, t di Student, ) tendono alla distribuzione normale, per n sufficientemente grande (n>3). Trasformazioni matematiche (log,,...) possono normalizzare" una variabile che naturalmente non è caratterizzata da una distribuzione gaussiana.

3 Variabili da trasformare Variabili da trasformare Trigliceridi nel siero Scala naturale Trigliceridi nel siero Scala logaritmica,6,5,4 f(x).3 f(x),3.,., x ln x Distribuzione normale: proprietà Funzione di densità: f ( x ) = e σ π X N(µ,σ ) x µ σ Concetrazione di cloro nel sudore < me/l Distribuzione normale: proprietà X N(µ,σ ) - Ha una forma a campana con simmetria rispetto alla media µ µ=mediana=moda - Pr( X + )= - Pr(µ σ X µ+σ)=.68 - Pr(µ σ X µ+σ)=.95 Concetrazione di cloro nel sudore < me/l µ-σ µ-σ µ µ+σ µ+σ 68% 95% 3

4 Distribuzione normale: parametri Distribuzione normale: parametri Influenza dei parametri C Influenza dei parametri X N(µ=3,σ =) C X N(µ=5,σ =) X N(µ=8,σ =) X N(µ=5,σ =5) X N(µ=5,σ =) X N(µ=5,σ =4) C x - 5 x Distribuzione normale PAD in uomini tra 35 e 44 anni Distribuzione normale PAD in uomini tra 35 e 44 anni Come calcolare la probabilità che la PAD sia compresa fra 9 e? µ = 8 mmhg σ = mmhg Come calcolare la probabilità che la PAD sia compresa fra 9 e? µ = 8 mmhg σ = mmhg Pr(9 x < ) = e π 9 x 8 dx 4

5 Distribuzione Normale Standardizzata Esiste un numero infinito di distribuzioni normali diverse fra loro, ma è possibile ricondurle tutte ad un'unica distribuzione standard attraverso una trasformazione. Definizione: Sia X una variabile casuale normale tale che X~N(µ,σ), allora la nuova variabile Z sarà pari a: Z = ( X µ ) e avrà una distribuzione normale con µ= e σ= σ X Z Z ~ N(,) Distribuzione Normale Standardizzata Distribuzione Normale Standardizzata Quali sono i vantaggi di una distribuzione Z N(,)? f ( z) = e π z f ( x ) = e σ π x µ σ con µ= e σ= Vi sono aree sotto la curva che giacciono attorno al valore µ= che sono rilevanti per le applicazioni E più semplice e si possono memorizzare aree standard. I suoi valori sono tabulati. 5

6 Distribuzione Normale Standardizzata Esistono inoltre tabelle già calcolate di Pr(Z>z) Distribuzione Normale Standardizzata Calcolare Pr(Z>.75) =.66 z,,,,3,4,5,6,7,8,9,,5,496,49,488,484,48,476,47,468,464,,46,456,45,4483,4443,444,4364,435,486,447,,47,468,49,49,45,43,3974,3936,3897,3859,3,38,3783,3745,377,3669,363,3594,3557,35,3483,4,3446,349,337,3336,33,364,38,39,356,3,5,385,35,35,98,946,9,877,843,8,776,6,743,79,676,643,6,578,546,54,483,45,7,4,389,358,37,96,66,36,6,77,48,8,9,9,6,33,5,977,949,9,894,867,9,84,84,788,76,736,7,685,66,635,6 z,,,,3,4,5,6,7,8,9,,5,496,49,488,484,48,476,47,468,464,,46,456,45,4483,4443,444,4364,435,486,447,,47,468,49,49,45,43,3974,3936,3897,3859,3,38,3783,3745,377,3669,363,3594,3557,35,3483,4,3446,349,337,3336,33,364,38,39,356,3,5,385,35,35,98,946,9,877,843,8,776,6,743,79,676,643,6,578,546,54,483,45,7,4,389,358,37,96,66,36,6,77,48,8,9,9,6,33,5,977,949,9,894,867,9,84,84,788,76,736,7,685,66,635,6 Uso della tabella della deviata gaussiana standard f(z) p p Detto p (<p<) il valore dell'area a destra di +z *, l'area a sinistra di +z * vale (-p) z* 3 deviata gaussiana standard z L'area a sinistra di z * è uguale all'area a destra di +z *. Detto p (<p<) il valore di tale area, l'area esterna a z * vale p, e l'area interna vale (-p). f(z).4.3 -p. p p. -z* +z* deviata gaussiana standard z f(z).4.3 -p -p.. p p z- z -3-3 deviata gaussiana standard z L'area compresa tra due valori z * < z * si ricava per differenza ( - p - p), dove p è il valore dell'area a sinistra di z *, e p quello dell'area a destra di z *. 6

7 Esercizio 3: Malattie cardiovascolari e colesterolo plasmatico In generale nella popolazione il livello di colesterolo plasmatico è distribuito normalmente con media 9 mg/dl e deviazione standard 5 mg/dl. ) Il livello desiderabile di colesterolo è < mg/dl. Quale proporzione di persone ha un livello di colesterolo ottimale? ) Un livello di colesterolo > 5 mg/dl sembra correlato ad un rischio sufficiente da consigliare il trattamento. Quale proporzione di persone ha bisogno di trattamento? 7

8 Malattie cardiovascolari e colesterolo plasmatico Standardizziamo Per x= ottengo x µ 9 z = = =,38 σ 5 Dalla tabella della z standardizzata: Pr(z<-,38)=,35o Il 35,% della popolazione ha un livello di colesterolo desiderabile Malattie cardiovascolari e colesterolo plasmatico Per x=5 ottengo x µ 5 9 z = = =,6 σ 5 - Dalla tabella della normale standardizzata: Pr(z>,6)=,676 Il 6,8% della popolazione potrebbe aver bisogno di un trattamento per l ipercolesterolemia Malattie cardiovascolari: ipertensione arteriosa Media e deviazione standard della pressione arteriosa sistolica per gruppi di età (valori espressi in mmhg) Malattie cardiovascolari: ipertensione arteriosa Ammettiamo che le persone con valori di PAS superiori al limite dichiarato per gruppo di età siano definite ipertese. Gruppo di età Media Deviazione standard Livello limite ) Qual è la proporzione degli ipertesi nel gruppo di età tra e 4 anni? -4 anni 5, 5, 5, ) Quale nel gruppo di età tra 5 e 44 anni? ,, 4, 8

9 Malattie cardiovascolari: ipertensione arteriosa Standardizziamo Per x=5 ottengo x µ 5, 5, z = = =, σ 5, Per x=4 ottengo x µ 4, 5, z = = =,5 σ, Malattie cardiovascolari: ipertensione arteriosa Dalla tabella : Pr(z>,)=,8 Il,3% dei bambini tra e 4 anni è iperteso Dalla tabella : Pr(z>,5)=,668 Il 6,7% dei soggetti tra 5 e 44 anni è iperteso Esempio di applicazione della deviata gaussiana standard In una popolazione di ragazze di età inclusa tra i 8 e i 5 anni, la concentrazione di emoglobina nel sangue (x) approssima una distribuzione gaussiana con media = 3. g/dl e deviazione standard =.7 g/dl. In base a queste sole informazioni possiamo calcolare, ad esempio, quante ragazze hanno emoglobinemia inclusa tra.6 e 3.5 g/dl. Distribuzione dell'emoglobina in una popolazione di ragazze di età compresa tra i 8 e i 5 anni. f(x) emoglobinemia (g/dl) µ=3. σ=.7 continua Infatti: z = (.6-3.) /.7 = -. z = (3.5-3.) /.7 = +.6 f(z).4.3 6%.. % deviata gaussiana standard z Nell'% delle ragazze i valori di Hb sono minori di.6 g/dl, e nel 7% sono maggiori di 3.5 g/dl. Quindi il 6% delle ragazze ha valori di Hb compresi tra.6 e 3.5 g/dl. 9

10 Esercizio In una popolazione di ragazze di età inclusa tra i 8 e i 5 anni, la concentrazione di emoglobina nel sangue (x) approssima una distribuzione gaussiana con media = 3. g/dl e deviazione standard =.7 g/dl. Quali sono i valori che racchiudono il 95% delle osservazioni, che considero come i valori entro cui è compreso il range di normalità. x µ z = x = z σ + µ σ x = µ ± z σ, x = =.78.5 con z x = = = σ =.7.5%.5%