CompitoFinale_CiviliInformatici_2011.nb 1

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1 CompitoFinale_CiviliInformatici_0.nb COMPITO FINALE CIVILI-INFORMATICI ) Due fili conduttori rettilinei indefiniti sono disposti lungo gli assi x e z e percorsi da correnti elettriche rispettivamente i =0A ed i =0A in verso positivo (vedi figura). Se nello spazio è presente un campo induzione B uniforme B Æ = B 0 iè, con B 0 = 0-6 T, determinare nel punto P di coordinate (0m,m,0m): a) il modulo la direzione ed il verso del campo induzione B; b) la densità di energia. (si ricordi che m0=4π 0-7 Tm/A) a) si applica il Principio di sovrapposizione. Dal teorema della circuitazione d'ampere (crosscheck con la regola della mano destra), si sa che B HPL = m 0 i p P y kêê, B HPL = - m 0 i p P y iê. Con P y il modulo della componente lungo l'asse Y del punto P = m uindi in numeri: À B À = À B À = 0-6 T = B 0. uindi B tot = -B 0 iê + B 0 kêê b) Densità di energia magnetica: m 0 B tot = m 0 B tot ÿ B tot = ÅÅÅÅ 5 m 0 B 0 ) Una spira quadrata di lato L è costituita da un cavo metallico di resistività r e sezione S. La spira si muove nel piano xy con velocità costante V = V 0 iê con i lati paralleli ai due assi in una regione di spazio in cui è presente il campo induzione magnetica dato dall espressione B Æ = C H + tl iè + C H - tl kèè, dove C è una costante nota e t il tempo. Al tempo t=0 la spira si trova con uno spigolo coincidente con l origine O del sistema di assi (vedi figura). Determinare al tempo t=0: a) il verso della corrente che circola nella spira; b) l intensità della corrente elettrica; c) la forza totale agente sulla spira.

2 CompitoFinale_CiviliInformatici_0.nb a) Il flusso del campo magnetico B attraverso la spira si scrive in generale come F(t) = B ÿ S, dove scegliamo la convenzione di assumere ds = ds kêê. S uindi F(t) = Ÿ S H C H + tl iê + C H - tl kêêl ÿ ds kêê = Ÿ S C H - tl ds = C H - tl Ÿ S ds = C S H - tl. In sostanza: il campo magnetico è variabile nel tempo, ma è omogeneo spazialmente e quindi il flusso di B attraverso la superficie della spira non dipende dalla posizione della stessa. Per il flusso conta soltanto il campo magnetico nella sua componente lungo z. Ora, quello che succede quindi è che con il passare del tempo, fintanto che t < il flusso diminuisce ma resta F (t) >0. Per t =, il F(0)=0 ; poi per t>, F(t)<0. In sostanza il flusso diminuisce sempre. Ora, per la legge di Faraday Neumann e Lens, che asserisce che la corrente indotta deve instaurarsi in modo da compensare la variazione di flusso, si può dire che la corrente circola sempre in senso antiorario. Infatti, la f.e.m. indotta è costante: e ind = - ÅÅÅÅÅ d FHtL = C S. d t b) Essendo sia la resistività che la sezione della spira delle costanti, R spira = 4 Å. Di conseguenza, per la legge di Ohm, il modulo della corrente indotta I ind = C S S Å = ÅÅÅ C L3 4 r 4 r. r S c) Per la legge di Biot-Savart, la forza che si applica sulla spira vale F mag = I dl äb. Siccome il campo è omogeneo, le forze indotte sui lati opposti si compensano e la risultante delle forze è circ nulla. 3) Siano date tre cariche puntiformi poste come in figura ai vertici di un quadrato di lato L. Le cariche in A e C valgono, quella in B. Determinare: a) l espressione del campo elettrico generato nel punto O; b) il lavoro necessario per portare una carica positiva dall infinito al punto O. Soluzione a) Principio di sovrapposizione E tot = E i. Innanzi tutto sono tutte cariche puntiformi, e quindi tutte hanno il i campo esprimibile nella semplice forma E i = ÅÅÅÅÅ i R r`i, con R i la distanza i-esima della carica da O, e r`iil versore i direzione di R i. Sia il versore uêê il vettore unitario diretto secondo la bisettrice del I quadrante, in verso positivo uêê = Å Hi ê + ê jl. Nell'origine degli assi O, il campo generato dalla somma dei campi delle cariche positive vale in modulo E + = H + ÅÅÅÅ L L 4 L 4 ÅÅÅÅÅ L = ÅÅÅÅÅ Å, e ha la scrittura vettoriale come E += - E + uêê.

3 CompitoFinale_CiviliInformatici_0.nb 3 La carica negativa origina in O un campo con la stessa direzione ma con il verso opposto. In modulo vale E - = ÅÅÅÅÅ ÅÅ dove L rappresenta la diagonale che congiunge - a O. L In sintesi E - = E - uêê Di conseguenza E tot = E + + E - = -E + uêê + E - uêê = H-E + + E - L uêê = = ÅÅÅÅÅ I- Å + Å M L L uêê = ÅÅÅÅÅ I- + ÅÅÅÅÅ L M êê u = = - ÅÅÅÅÅ C L uêê con C? 0.94 In sostanza, il vettore del campo elettrico risultante, con punto d'applicazione in O, ha il verso diretto secondo il senso negativo della bisettrice del primo quadrante. Si confronti questo risultato con il risultato del punto successivo. b) Il lavoro compiuto dalle forze esterne per portare in O una carica positiva equivale all'energia potenziale sentita da in O per la presenza delle tre cariche. Le due cariche positive danno una U + = V(, L) = Å p e 0. La carica L negativa dà una U - = ÿ VI-, LM - ÅÅ Å, quindi, L U tot = p e 0 L - ÅÅ Å = ÅÅÅÅÅ L p e 0 L I - Å con K? M = Å I - M = Å L L K, Di conseguenza il lavoro fatto dalle forze esterne è positivo. uesto trova riscontro con il risultato del punto precedente. Infatti, si supponga di portare la carica dall'infinito ad O muovendola lungo la bisettrice del III quadrante. La forza elettrostatica risultante in ogni punto della bisettrice ha il verso opposto al moto imposto alla carica. Di conseguenza, il lavoro non può che essere positivo (leggete: si deve far fatica per portare la carica in O). 4) Il circuito mostrato in figura è composto da quattro resistenze rispettivamente del valore R = R =60W ed R 3 = R 4 =80W, da tre condensatori di capacità C = C = C 3 =0mF, da due generatori di forza elettromotrice rispettivamente ε = 60 V ed ε = 90 V e resistenza interna trascurabile e da un interruttore T inizialmente aperto. Determinare a) la corrente elettrica che circola nelle quattro resistenze in funzione del tempo; Determinare in regime stazionario (t Æ ): b) il valore del potenziale nel punto A; c) l energia totale immagazzinata nel sistema. d) la potenza dissipata nel sistema. Soluzione In virtù della f.e.m. e, che mantiene la d.d.p costante tra i suoi capi, il circuito si splitta in due circuiti indipendenti. Circuito A: si identifica con la maglia di sinistra, e pertanto è un banale circuito RL, con W

4 CompitoFinale_CiviliInformatici_0.nb 4 = R 3 R 4 R 3 +R 4 = 40 W, L A = L + L = mh; la f.e.m. vale e A = e, e solo per questo circuito ha senso fare il conto delle correnti nel tansitorio. Circuito B: si identifica con la maglia di destra, ed è un circuito RC, ma in esso non circola corrente, a causa di C o C 3, che tengono sempre aperto il circuito. La f.e.m. da considerare è e B = e + e = 50 V. Siccome non circola corrente, per la legge di Ohm ai capi delle resistenze R e R non ci sono cadute ohmiche; questo implica in particolare che il condensatore C è scarico, non avendo nessuna d.d.p. ai suoi capi. uindi in pratica si può schematizzare ulteriormente il circuito come un circuito con soli i condensatori C e C 3 disposti in serie, cui corrisponde una capacità complessiva C B = C C 3 C +C 3 = 5 m F, che presenta una d.d.p. ai suoi capi pari a e B. --- Detto questo: a) Il transitorio si ha soltanto nel circuito A, ed è immediato risolvere l'equazione differenziale lineare di primo grado non omogenea e A = I A + L A d ÅÅÅÅÅ d t I A, che ha come soluzione I A HtL = e A J - e - ÅÅ RA L t A N; quindi in R 3 circola I A HtL R 4 ; in R 4 circola I A HtL R 3 ; e come già detto, in R e R non circola mai corrente. b) A regime stazionario, il potenziale nel punto A vale 0, dato che è direttamente collegato alla massa (le induttanze non rappresentano nessuna caduta di tensione quando ÅÅÅÅÅ d d t I = 0). c) A regime stazionario, si immagazzina energia nell'induttanza L A e nella capacità C B, pari a U tot = ÅÅÅÅ L A I A H L + ÅÅÅÅ V B C B = ÅÅÅÅ AL A I e A M + e B C B E = J = J. d) A regime, si dissipa potenza solo in, con potenza W = I A H L = e A Å = 0.5 W 5) Siano dati una sfera conduttrice di raggio R ed un guscio sferico conduttore di raggio interno R = R raggio esterno R = 3R concentrici. Sulla sfera è distribuita uniformemente una carica negativa - così come sul guscio sferico. Determinare: a) l espressione della densità di carica sulla superficie interna Hs L ed esterna Hs L del guscio. b) il lavoro necessario per portare una carica positiva dall infinito al centro della sfera. Supponendo che ad un certo istante i due conduttori vengano messi in contatto elettrico attraverso un filo sottile, determinare all equilibrio: a) Per le proprietà dei conduttori, secondo cui nel conduttore il campo elettrico è nullo all'equilibrio, la carica sulla

5 CompitoFinale_CiviliInformatici_0.nb 5 sfera non è condizionata minimamente dalla carica depositata esternamente sul guscio sferico. Di conseguenza la densità sulla sfera vale s = - ÅÅÅÅÅ. 4 p R A causa del fenomeno di induzione elettrica, una carica + si induce sulla superficie interna al guscio, generando quindi una s = Å 4 p R = Å. A causa di questa induzione sulla superficie esterna del guscio si induce una carica 6 p R - che si somma alla carica - depositata. Di conseguenza, s = - Å 4 p R = - Å 8 p R b) Basta calcolarsi il potenziale totale nel centro della sfera, dato da tre contributi: quello della sfera, del guscio interno e del guscio esterno. ui si sfrutta il fatto che il campo elettrico all'interno di una distribuzione di carica sferica è nullo, e quindi il potenziale è costante. uindi V tot = - Å R + ÅÅÅÅÅ R - ÅÅÅÅÅ 3 R = Å R H- + ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ 3 L = Å R K con K =.; c) uando si collega la sfera interna con il filo conduttore al guscio esterno si connettono due conduttori. All'equilibrio quindi si deve avere che ciascun punto del conduttore complessivo sia equipotenziale. L'unica configurazione di cariche che permette questa situazione è una carica tutta disposta sulla superficie esterna del guscio. Ovviamente, per la conservazione della carica, questo implica che la carica originariamente disposta sulla sfera migri tutta sulla superficie esterna del guscio, portando la carica complessiva su tale superficie a -. Di conseguenza, dopo il collegamento tra sfera e guscio, alla situazione di equilibrio abbiamo: s = 0 s = Å - Å, ovvero rimane immutata rispetto al caso precedente. 8 p R 4 p R = -