Elementi di Fisica 2CFU
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- Aurora Sole
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1 Elementi di Fisica 2CFU II parte - Elettrostatica Andrea Susa ELETTRICITÀ E FENOMENI ELETTRICI 1
2 Carica elettrica Materiali come vetro o ambra, sottoposti a sfregamento con della lana, acquistano la proprietà di attirare corpi leggeri. Questo fenomeno è detto elettrizzazione. Lo stato di elettrizzazione di un corpo è dipendente dalla carica elettrica. La carica elettrica è definita a partire dalla carica elettrica fondamentale e dell elettrone (-e) oppure da quella del protone (+e).tutte le cariche elettriche si presentano come multipli interi di queste. Cariche dello stesso segno si respingono, mentre cariche opposte si attraggono. =[ ] =-coulumb Principio di conservazione della carica elettrica Durante un qualsiasi fenomeno, la carica elettrica totale posseduta da un sistema isolato è costate. Conduttori, isolanti e semiconduttori L elettrizzazione prodotta in un corpo si può comunicare ad un altro corpo per contatto. Le sostanze in cui l elettrizzazione risulta confinata sulla superficie si dice isolante (o dielettrico) Le cariche elettriche sono vincolate Le sostanze in cui le cariche si possono muovere liberamente all interno del corpo, si dicono conduttori Nei conduttori metallici si muovono gli elettroni In un fluido si possono muovere sia gli ioni positivi che negativi Le sostanze che cambiano comportamento in base alla temperatura si dicono semiconduttori A basse temperature sono isolanti A temperatura ambiente sono conduttori 2
3 Induzione elettrostatica Quando si avvicina un corpo elettrizzato ad un conduttore scarico avviene il fenomeno dell induzione elettrostatica. Se avviciniamo un corpo elettrizzato positivamente ad un conduttore scarico, gli elettroni del conduttore risentono dell attrazione della carica positiva e, liberi di muoversi, si ridistribuiscono vicini al corpo elettrizzato. Fintanto che i due corpi non vengono a contatto, il conduttore rimane neutro, ma al suo interno le cariche rimangono distribuite Legge di Coulomb La forza di interazione tra due cariche elettriche e poste a distanza r nel vuoto, ha modulo pari a = =8,99 10 = = La direttrice della forza è lungo la congiungente e ed il verso dipende dalle cariche elettriche: se sono opposte è attrattiva, altrimenti è repulsiva. Se le cariche elettriche e sono in un mezzo e non nel vuoto = + + =8,86 10 costante dielettrica del vuoto 1 4 costante dielettrica del mezzo + - 3
4 Esercizio 1 Consideriamo due cariche, un elettrone ed un protone posti a distanza, con masse e e cariche e. Determinare la forza gravitazionale tra l elettrone ed il protone Determinare la forza elettrostatica tra l elettrone ed il protone Calcolare il rapporto tra le due forze e stabilire quale sia più forte. =9,1 10, == 1,6 10 =1,67 10, = =1,6 10 =6,67 10 / = =8,99 10 Esercizio 1 soluzione 1/2 Consideriamo due cariche, un elettrone ed un protone posti a distanza, con masse e e cariche e. Determinare il modulo della forza gravitazionale tra l elettrone ed il protone = =6, , ,1 10 = 101,36 10 Determinare il modulo della forza elettrostatica tra l elettrone ed il protone = =8, ,6 10 = 23,
5 Esercizio 1 soluzione 2/2 Consideriamo due cariche, un elettrone ed un protone posti a distanza, con masse e e cariche e. Calcolare il rapporto tra le due forze = 23, ,36 10 =22,7 10 Quindi la Forza di attrazione elettrostatica è di molti ordini di grandezza superiore alla Forza di attrazione gravitazionale. Esercizio 2 Consideriamo due cariche puntiformi uguali e ( = =)poste a distanza e tenute ferme da forze non elettrostatiche. Supponiamo di porre tra e una terza carica, opposta a a distanza da. /3 2/3 Determinare il modulo della forza elettrostatica che agisce su A quale distanza dovrebbe essere posta da in modo tale che il modulo della forza sia nullo. 5
6 Esercizio 2 soluzione 1/2 /3 2/3 Determinare il modulo della forza elettrostatica che agisce su Allora: = =9 3 = 2 =9 4 3 = 1 = Esercizio 2 soluzione 2/2 A quale distanza dovrebbe essere posta da in modo tale che il modulo della forza sia nullo. = 1 1 =0 1 1 =0= = 2 =0 2 =0 ovvero =2/. 6
7 Esercizio 3 Due sferette di massa = =e carica =e =2 rispettivamente sono appese a due fili uguali di lunghezza =120, che formano all equilibrio gli angoli e rispettivamente (supposti molto piccoli). a) Calcolare il rapporto / ; b) Se la distanza tra le sferette è =10, calcolare il valore di 2,, Esercizio 3 soluzione 1/3 a) Calcolare il rapporto / ; All equilibrio, la risultante R della forza peso e della forza elettrostatica agenti su ciascuna sfera è diretta lungo il filo, uguale ed opposta alla tensione del filo. 2,, = / 7
8 Esercizio 3 soluzione 2/3 a) Calcolare il rapporto / ; = = 2 1 = = 2 1 Allora = quindi = Esercizio 3 soluzione 3/3 b) Se la distanza tra le sferette è =10, calcolare il valore di 2 =sin 2 =sin 2, /2 /2, Usando che e sono piccoli, allora possiamo supporre che sin,, quindi =/2 quindi = allora = =4,53 10 =2,
9 Esercizio 4 Due sferette di massa =e =2hanno entrambe carica = = 5 10 e sono appese a due fili uguali di lunghezza =120, che formano all equilibrio gli angoli e rispettivamente (supposti molto piccoli). a) Calcolare il rapporto / ; b) Se la distanza tra le sferette è =10, calcolare la massa,,2 Campo elettrico Una carica elettrica posta in un punto dello spazio, genera un campo elettrico. Per poter rilevare tale campo, è necessario utilizzare una carica di prova q, avente per convenzione segno positivo. Il vettore campo elettrico è definito come il rapporto tra la forza elettrostatica a cui è soggetta la carica di prova e la carica stessa. = = = =/ Linee di forza del campo elettrico 9
10 Energia potenziale elettrica Il campo elettrico generato da cariche in quiete non varia ne tempo e si dice campo elettrostatico. Il campo elettrostatico è un campo conservativo, ovvero il lavoro compiuto dalle forze dipende solo dalla posizione. Per questo motivo possiamo definire l energia potenziale elettrica. L energia potenziale elettrica di una carica all interno di un campo elettrico è una funzione della posizione della carica tale che la differenza del valore nel punto Adal punto Bcoincide con il lavoro compiuto dal campo per spostare la carica da A ab: E E =L(A,B) = = L energia potenziale di una carica di prova qposta a distanza rdalla carica generatrice Qè pari a = Potenziale elettrico Il potenziale elettrico in un punto Adel campo elettrico è definito come il rapporto tra l energia potenziale elettrica di una carica qpresente nel punto Ae la carica stessa = Nel caso di un campo elettrico generato da una carica Q,il potenziale elettrico di un punto Aadistanza rè pari a = = = == Chiamiamo differenza di potenziale(ddp) tra due punti Ae Bil lavoro (cambiato di segno) compiuto dal campo elettrico da una carica elettrica unitaria e positiva qda punto Aal punto B Δ= = = (,) 10
11 Campo elettrico e potenziale Vi è una relazione tra campo elettrico e differenza di potenziale. Nel caso semplificato di forza e spostamento con la stessa direzione e verso, otteniamo = Δ Δ Chiamiamo elletronvoltl energia potenziale di una carica elementare (1,6 10 ) sottoposta ad una differenza di potenziale paria a 1. Chiamiamo superficie equipotenziale di un campo elettrico, tutti i punti che si trovano allo stesso potenziale. Esercizio 5 Consideriamo un triangolo equilatero di lato costituito da cariche uguali poste ai vertici. Verificare che il campo elettrico è nullo al centro del triangolo. Consideriamo un quadrato di lato costituito da cariche uguali poste ai vertici. Verificare che il campo elettrico è nullo al centro del quadrato. Cosa accade se ai vertici del quadrato si pongono cariche a due a due opposte (ovvero due vertici vicini hanno cariche opposte)? Quanto vale il campo elettrico al centro del quadrato? 11
12 Flusso del campo elettrico Per un campo uniforme ed una superficie piana di area A, che forma un angolo tra la normale alla superficie ed il campo elettrico, si definisci flusso del vettore del campo elettrico attraverso la superficie A, il prodotto Φ = cos Per =0, il campo elettrico è perpendicolare alla superficie, e quindi il flusso è massimo Per =/2, il campo elettrico è parallelo alla superficie, e quindi il flusso è nullo Teorema di Gauss Il flusso di un campo elettrico, nel vuoto, attraverso una superficie chiusa S è dato dal rapporto tra la somma algebrica delle cariche Qcontenute all interno della superficie Se la costante dielettrica del vuoto : Φ =/ Se all interno di S non ci sono cariche,φ =0, per cui il campo elettrico all interno di un conduttore carico e quindi nullo Si può definire il potenziale di un conduttore, in quanto in tutti punti di un conduttore, che si trova in equilibrio elettrostatico, il potenziale elettrico ha lo stesso valore In un conduttore la carica elettrica si distribuisce sulla superficie Nei conduttori non sferici, la carica elettrica s concentra maggiormente dove la curvatura è maggiore 12
13 Capacità elettrica Definiamo capacità elettrica di un conduttore come il rapporto tra la carica elettrica del conduttore ed il potenziale in cui si trova: = = = = Se ad un conduttore si fornisce una carica Q, questa porta ad un potenziale V che è dipende dalla carica fornita. La capacità di un conduttore dipende solamente dalle caratteristiche geometriche del conduttore e dalle caratteristiche del mezzo in cui si trova. CONDENSATORI 13
14 Condensatore Un condensatoreè un sistema costituito da due conduttori paralleli posti a distanza d ed isolati fra loro, detti armature o piatti del condensatore. In condizioni di induzione elettrostatica completa, se Qè la carica accumulata su un conduttore, sul secondo conduttore si accumulerà un carica pari a Q. Si genera un campo elettrico tra le due armature Definiamo capacità elettrica di un condensatore il rapporto tra il valore assoluto della carica accumulata Q sulle armature e la differenza di potenziale Δ tra i due conduttori = Δ Condensatore Se consideriamo un condensatore a facce piane, allora possiamo determinare = = Nel caso in cui le armature abbiano una superficie molto più grande della distanza d, abbiamo = Δ 14
15 Condensatori in serie In un collegamento in serie tra due condensatori di capacità elettrica e, le armature di ciascun condensatore sono caricate con la medesima quantità di carica elettrica Q La differenza di potenziale Δ ai capi del sistema si ripartisce tra i due condensatori secondo la legge ΔV= ΔV ΔV Δ =/ ΔV= ΔV ΔV = 1 1 Definiamo capacità equivalente di due (o più) condensatori in serie 1 = 1 1 Osservazione: è sempre minore della capacità di ogni singolo condensatore componente la serie Condensatori in parallelo In un collegamento in parallelo tra due condensatori di capacità elettrica e, tra le armature di ciascun condensatore vi è la stessa differenza di potenziale Δ=, mentre la carica elettrica totale è data dalla somma delle due cariche elettriche su ciascun condensatore. = = Δ = Δ = Osservazione: è sempre maggiore della capacità di ogni singolo condensatore componente il sistema in parallelo 15
16 Lavoro per caricare un condensatore Il lavoro compiuto per portare una singola carica qda un armatura all altra del condensatore, che già si trovano alla ddpδv, è pari a = Δ Questo lavoro è l opposto del lavoro eseguito dalle forze elettriche, pari a = Δ. Il lavoro totale necessario per caricare le armature di un condensatore, inizialmente scarico, con carica elettrica Q, è pari a = 1 2 ΔV=1 2 =1 2 Δ Dove Δè la ddptra le due armature e C è la capacità elettrica del condensatore. Questo lavoro rimane immagazzinato nel condensatore, sotto forma di energia elettrostatica accumulata. Corrente elettrica Applicare una ddpagli estremi di un conduttore produce un campo elettrico lungo il conduttore che genera un flusso di cariche. Verso convenzionale i + - Δ In un conduttore di metallo gli elettroni sono le uniche cariche libere di muoversi e gli elettroni migrano dalla regione a potenziale elettrico minore a quella a potenziale elettrico maggiore Questo flusso ordinato di elettroni è detto corrente elettrica. Per convenzione, il verso della corrente elettrica scelto opposto al movimento di elettroni, ovvero dalla zona a potenziale maggiore a quella a potenziale minore. Definiamo intensità di corrente = Δ = Δt 16
17 Leggi di Ohm I legge di Ohm Consideriamo un conduttore metallico filiforme, ai cui estremi è applicata una ddpcostante, percorso da una corrente continua. Allora l intensità di corrente elettrica i, purché non intervengano variazioni fisiche del conduttore, è pari a ΔV=i = ]=[/]= dove R è la resistenza elettrica e dipende esclusivamente dal conduttore (forma geometrica, sostanza, condizioni fisiche) Leggi di Ohm II legge di Ohm In un filo conduttore metallico la resistenza elettrica Rè direttamente proporzionale alla lunghezza del filo l ed inversamente proporzionale alla sua sezione S: = =[ ]= dove è detta resistività elettrica e dipende dal materiale e dalla temperatura a cui si trova. L inverso della resistività elettrica è detta conducibilità elettrica =1/ 17
18 Effetto Joule L effetto Joule è l effetto di riscaldamento di un conduttore metallico a seguito del passaggio di corrente elettrica. Gli elettroni in moto attraverso il conduttore perdono energia nella collisione con atri elettroni e l energia persa è acquisita dal conduttore sotto forma di calore. L energia termica sviluppata è pari al lavoro elettrico = Δ La potenza dissipata per effetto Joule è pari a = Δ = Δ Δt =Δ =Δ = CIRCUITI ELETTRICI 18
19 Generatore elettrico In un conduttore metallico ai cui estremi è applicata una ddpfluisce una corrente elettrica, ma affinché tale correnti continui a fluire, è necessario che tale ddp sia mantenuta. Un generatore elettrico è un dispositivo in grado di creare e mantenere una ddp tra due elettrodi metallici, ovvero di generare una forza elettromotrice (f.e.m.) (Attenzione, anche se detta forza, essa non ha valenza vettoriale né le dimensioni tipiche della forza) La forza elettromotrice è la differenza di potenziale ai capi del generatore a circuito aperto ed è definita come il rapporto tra l energia erogata dal generatore e la carica posta in movimento. La resistenza internaè la resistenza che la corrente incontra passando all interno del generatore stesso, e si misura in ohm. Circuito elettrico In generale un circuito elettrico è un insieme costituito da un generatore elettrico e da elementi passivi (resistenze e condensatori). Si definisce magliadi un circuito ogni percorso chiuso all interno di un circuito elettrico. Un nodoè un punto del circuito elettrico in cui confluiscono due o più conduttori del circuito. Un ramodi un circuito è un qualunque conduttore che collega due nodi distinti Generatori G ~ Corr. alternata Misuratori V vol0tmetro A amperometro Elementi passivi condensatore resistenza 19
20 Circuito elettrico Esempio di circuito elettrico costituito da una resistenza R, da un condensatore C e da un interruttore T Collegamento in serie tra resistenze In un collegamento in serie tra resistenze ciascuna resistenza è attraversata dalla stessa corrente i mentre la ddpδtra gli estremi è data dalla somma delle ddpδ Δ ai capi di ciascuna resistenza, per cui la resistenza equivalente è pari alla somma delle resistenze in serie. A R i R Δ=Δ Δ = Δ = ΔΔ = 20
21 Collegamento in parallelo tra resistenze In un collegamento in parallelo tra due resistenze, la ddpai capi di ciascuna resistenza è identica, Δ=, mentre a corrente che etra nel sistema è la somma delle correnti nelle singole resistenze R A = = Δ Δ =Δ 1 1 R = La resistenza equivalente di due o più resistenze in parallelo è sempre minore di ciascuna delle resistenze costituenti il sistema. Leggi di Kirchhoff I legge di Kirchhoff In ogni nodo di un circuito elettrico, la somma delle correnti entranti è uguale allo somma delle correnti uscenti. Equivalentemente, assegnando segno opposto alle correnti nei due sensi, la somma algebrica delle correnti che fluiscono in un nodo è nulla. La legge è conseguenza del principio di conservazione della carica elettrica 21
22 Leggi di Kirchhoff II Legge di Kirchhoff In ogni maglia di un circuito, la somma algebrica delle variazioni di potenziale nelle resistenze è nulla, oppure uguale a quella di un generatore f.e.m. se presente nella maglia. ESEMPI DI SOLUZIONE DEI CIRCUITI 22
23 Esempio 1 Calcolare la resistenza equivalente vista dai morsetti AB. Le resistenze e sono in serie e possiamo considerare la resistenza equivalente,, =. Le resistenze,, e sono in parallelo e possiamo considerare la resistenza equivalente,,, tale che =,,,,, Esempio 2 Calcolare la resistenza equivalente vista dai morsetti AB. A R R R Notiamo che i resistori R 2 ed R 3 sono collegati in parallelo, in quanto tutti e due hanno i rispettivi terminali l'uno collegato al punto A e l'altro al punto B del circuito, = 1 1 = A R Le resistenze e, sono in serie, quindi la resistenza equivalente R,,, =, = 23
24 Esempio 3 Determinare il valore della resistenza R in maniera tale che la resistenza equivalente, vista dai morsetti AB, valga R0. A R A R 1 = R = 1 1 () 2 = 2 =2 = 3 3 Esempio 4 Due resistori in parallelo, da 20 W ciascuno, vengono collegati ad un unico generatore di tensione avente la tensione E = 12 V. Calcolare tutte le tensioni e tutte le correnti. A R = 1 1 =10 Ω R G Con la legge di Ohm ci calcoliamo la corrente totale del circuito: Δ= = Essendo tutti i componenti collegati parallelo avranno tutti la stessa tensione; quindi: 1 = 2 = =12. Non resta ora che calcolare le due correnti dei due resistori: = =0,6 = =0,6 2 24
25 ESERCIZI Esercizi 1. Descrivere il processo di induzione elettrostatica 2. Descrivere il campo elettrico generato da una carica puntiforme Q nel vuoto e in un mezzo; 3. Se si collegano in parallelo tre resistenze,, determinare la resistenza equivalente 4. Se si collegano tre resistenze in serie,, determinare la resistenza equivalente 5. Descrivere come varia la resistenza R di un filo conduttore di lunghezza l e sezione S al variare di le S 6. Descrivere le principali proprietà di un conduttore e definire la capacità elettrica 7. Enunciare il Teorema del flusso di Gauss ed applicarlo al caso di una sfera chiusa che contiene una carica Q. 25
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