Fluidi II. Applicazioni della legge di Bernoulli Viscosità Legge di Poiseuille Regime stazionario Tensione superficiale Capillarità

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1 Fluidi II Applicazioni della legge di Bernoulli Viscosità Legge di Poiseuille Regime stazionario Tensione superficiale Capillarità

2 Applicazioni della legge di Bernoulli Dilatazione (aneurisma) e restringimento (stenosi) di un vaso sanguigno sono le patologie vascolari più comuni.

3 Aneurisma Teorema di Bernoulli per un condotto orizzontale: p 1 +½ ρ v 12 =p 2 +½ ρ v 2 2 p 1 - p 2 = ½ ρ (v 2 2 v 12 ) S 1 v 1 =v 2 S 2 da cui v 1 = v 2 S 2 / S 1 p 1 - p 2 = ½ ρ v 22 (1 - S 22 /S 12 ) Nel caso di dilatazione S 2 >S 1 da cui p 1 - p 2 < 0 (p 2 >p 1 ) Vi è una tendenza ad un ulteriore dilatazione.

4 Stenosi Teorema di Bernoulli per un condotto orizzontale: p 1 +½ ρ v 12 =p 2 +½ ρ v 2 2 p 1 - p 2 = ½ ρ (v 2 2 v 12 ) S 1 v 1 =v 2 S 2 da cui v 1 = v 2 S 2 / S 1 p 1 - p 2 = ½ ρ v 22 (1 - S 22 /S 12 ) Nel caso di restringimento S 2 <S 1, p 1 - p 2 > 0 (p 2 >p 1 ) Vi è una tendenza ad un ulteriore restringimento.

5 Fluidi reali: moto viscoso Per un fluido ideale la pressione è la stessa in entrata e in uscita. Per i fluidi reali la pressione diminuisce nel verso del moto a causa dell attrito interno, o viscosità. Questa in genere è debole nei gas ma rilevante nei liquidi. Il condotto esercita una forza resistente sul fluido a contatto, a loro volta gli strati di fluido esercitano delle forze di attrito che si oppongono allo scorrimento. La velocità è massima al centro e nulla sul bordo. v = v(r) ( R 2 r 2 ) parabola

6 Fluidi reali: moto viscoso In un fluido reale il Teorema di Bernoulli deve tener conto dell energia persa per attrito: p 1 +½ ρ v ρ g h 1 = p 2 +½ ρ v ρ g h 2 + E attrito Nel caso h 1 =h 2, v 1 =v 2 si ha quindi: ΔP=E a%rito à occorre una differenza di pressione per far muovere un fluido a velocità costante in un condo%o re:lineo ove vi siano degli a%ri<

7 Coefficiente di viscosità Consideriamo un fluido suddiviso in strati infinitesimi paralleli tra loro, di area A e a distanza Δx l uno dall altro che scorrono l'uno sull'altro, ciascuno con velocità caratteristiche (moto laminare). La forza di attrito viscoso fra uno strato e l altro è data dalla relazione: F = η A Δv/Δx Δv/Δx gradiente di velocità η coefficiente di viscosità; nel SI si misura in Pa s, nel CGS in barie s = Poise (P). 1 Pa s = 10 P

8 Dipendenza dalla temperatura Il coefficiente di viscosità η dipende dalla natura del liquido. Per uno stesso liquido dipende in maniera molto marcata dalla temperatura: al crescere di questa diminuisce molto rapidamente (esempio dell olio in una padella). Liquido Temperatura ( C) η (Pa s) Acqua Mercurio Sangue intero Plasma sanguigno

9 Legge di Poiseuille Per fluidi reali l esperienza mostra che la pressione diminuisce nel verso del moto a causa della viscosità. Per mantenere un liquido in moto in un condotto è necessaria quindi una differenza di pressione Δp fra l ingresso e l uscita. La portata Q attraverso il condotto dipende da Δp oltre che dalla lunghezza, dalla sezione del condotto e dalla viscosità η. Se il condotto è un cilindro orizzontale di raggio R e lunghezza L, la portata Q è espressa da: Q = (π Δp R 4 )/(8ηL) legge di Poiseuille (usata nei viscosimetri)

10 Regime laminare e turbolento Finora abbiamo considerato un fluido suddiviso in strati paralleli tra loro che scorrono l'uno sull'altro, ciascuno con una certa velocità (moto laminare). Se invece ci sono dei vortici che portano a un rimescolamento del fluido con distribuzioni irregolari e continuamente variabili di velocità, il moto è turbolento.

11 Numero di Reynolds Per stabilire se il moto di un fluido viscoso è laminare o turbolento si definisce una grandezza adimensionale chiamata numero di Reynolds: N R = ρ v l / η. Questo parametro dipende dalla velocità media v del fluido (rispetto al solido con cui viene a contatto), dalla densità ρ, dalla viscosità η, e da una grandezza lineare l caratteristica del condotto (per una forma cilindrica, ad esempio, l coincide col diametro). Si dimostra sperimentalmente che, per tubature rettilinee di sezione circolare, il flusso della corrente fluida è laminare per valori di N R inferiori a 1000, e turbolento per valori superiori a 3000.

12 Il sistema circolatorio Una delle funzioni del sistema circolatorio è quella di trasportare ossigeno dai polmoni ai tessuti e di trasportare in senso inverso l anidride carbonica prodotta dalla respirazione cellulare. Ciò si realizza mediante un circuito chiuso che costringe il sangue a passare successivamente attraverso i polmoni e tutti gli altri tessuti.

13 Il cuore Per spingere il sangue attraverso i capillari polmonari e quelli tissutali è necessaria una pompa, il cuore, da cui si dipartono piccola e grande circolazione. Parti attive sono ventricoli, che contraendosi spingono il sangue.

14 Piccolo e grande circolo Il circolo polmonare origina dal ventricolo destro con l arteria polmonare e termina nell atrio sinistro con la vena polmonare. Il grande circolo (o circolo sistemico) parte dal ventricolo sinistro con l aorta ed entra nell atrio destro mediante la vena cava.

15 Piccolo e grande circolo Il cuore si può considerare come l insieme di due pompe che lavorano in serie su tratti diversi del circuito, sebbene siano unite a formare un unico organo. Le contrazioni e successive dilatazioni dei ventricoli sono dette sistole e diastole rispettivamente.

16 Piccolo e grande circolo Poiché il circuito sistemico è molto più esteso di quello polmonare (e quindi offre maggiore resistenza), il ventricolo sinistro deve produrre una differenza maggiore rispetto al destro. Non a caso la muscolatura del vs è maggiore di quella del destro, che lavora di meno.

17 Diramazione dei condotti Ciascuna delle due circolazioni inizia con vasi di grosso calibro (arterie) che si suddividono in rami più piccoli (arteriole) che a loro volta si sfioccano in numerosi capillari, attraverso le cui pareti avvengono i processi di scambio con i tessuti circostanti. Successivamente il processo di ramificazione si inverte: i capillari confluiscono in vasi di maggiori dimensioni (venule) e si raccolgono in vasi sempre più grandi (vene) che riportano il sangue al cuore.

18 Il sangue come fluido Il sangue è un liquido viscoso che, in generale, scorre nel sistema circolatorio con moto laminare. Il moto turbolento, essendo rumoroso, può essere rilevato mediante auscultazione con un fonendoscopio. Il passaggio da moto laminare a moto turbolento nel sangue sta alla base del principio di funzionamento dello strumento usato per misurare la pressione arteriosa (sfigmomanometro).

19 Misura della pressione arteriosa Immettendo l aria nel manicotto si comprime l arteria brachiale. Ad una riduzione di sezione corrisponde un aumento della velocità del sangue: si passa da moto laminare a turbolento, rivelabile con il fonendoscopio.

20 Misura della pressione arteriosa Aumentando la pressione il rumore scompare. Questo perché la arteria si è chiusa, e tale chiusura avviene ad una pressione del manicotto che deve essere poco superiore a quella massima nell arteria. Si lascia allora diminuire la pressione facendo sfiatare l aria. La p a cui riprende la circolazione e ricompare il rumore, è la pressione massima arteriosa (sistolica). La p a cui scompare successivamente il rumore, perché il sangue è tornato al moto laminare, si assume come pressione minima arteriosa.

21 Lo sfigmomanometro

22 Tensione superficiale Nella materia allo stato liquido ogni molecola è circondata da altre molecole: le forze attrattive tra molecole, poiché ognuna di esse è completamente circondata da altre, si bilanciano permettendo che ognuna si sposti liberamente (non vi è prevalenza di forze in una qualche direzione). Consideriamo, appena sotto la superficie, uno strato spesso quanto il diametro delle molecole; questo strato (detto strato limite) è quello in cui avviene il passaggio dallo stato liquido a quello di gas. Una molecola che si trovi in questa zona non ne ha altre dello stesso tipo al di sopra.

23 Tensione superficiale Se una molecola che si trova nello strato limite viene sollevata, i legami tra essa e le molecole adiacenti vengono tesi, generando una forza che tende a richiamarla verso la superficie, proprio come una membrana tesa. Allo stesso modo, un corpo minuscolo (pond skaters, insetti pattinatori) che si appoggi sulla superficie di un liquido in modo da non perforarla, fa si che le molecole superficiali del liquido vengono spinte verso il basso generando una forza di richiamo diretta verso l'alto. Oltre agli insetti c è il caso curioso di un rettile, il basilisco.

24 Coefficiente di tensione superficiale La tensione superficiale di un liquido rappresenta il lavoro richiesto per aumentarne la superficie libera. Si dimostra che tale lavoro può essere espresso in termini della forza di contrazione esercitata su una linea ipotetica di lunghezza L posta sulla superficie: τ = F/2L (dove il fattore 2 deriva dal fatto che i lati della linea sono due). Nel SI τ si misura in N/m o J/m 2, nel CGS in dine/cm o erg/cm 2

25 Liquido Acqua Temperatura ( C) Tensione superficiale (N/m) Olio d oliva Mercurio Sangue intero Plasma sanguigno In generale τ diminuisce al crescere della temperatura: nei liquidi più caldi, infatti, è indebolita dal moto di agitazione termica delle molecole. L'acqua calda ha quindi migliori proprietà detergenti giacché la sua minor tensione superficiale permette di raggiungere più facilmente porosità e fessure. Per ridurla ulteriormente si fa uso di tensioattivi (come i detersivi) che si frammentano più facilmente e si disperdono con maggiore facilità sul materiale che si vuole pulire.

26 Capillarità Tubi di sezione molto piccola (diametro di qualche decimo di mm) sono detti tubi capillari, in cui la superficie si dispone secondo una sezione concava o convessa. Il fenomeno, detto capillarità, si spiega col fatto che in un liquido esistono delle forze di coesione, di natura elettrica e attrattive, fra molecole simili. Invece, la forza tra la molecola di un liquido e un'altra sostanza (es. vetro della parete di un recipiente che contenga il liquido) è detta forza di adesione. Si dice che un liquido bagna la superficie di un'altra sostanza quando le forze di adesione prevalgono su quelle di coesione (acqua): in questo caso, si ha risalita del fluido lungo un tubo capillare e la sua superficie è concava verso l'alto. Viceversa, quando dominano le forze di coesione (mercurio) il livello del fluido tende a decrescere e la sua superficie è convessa.

27 Bolle di sapone e embolia Si dimostra che una bolla di sapone (o altro materiale/ interfaccia) sferica di raggio R e coefficiente di tensione superficiale τ è in equilibrio se la tensione (Δp tra interno ed esterno vale): Δp=2τ/R

28 Bolle di sapone e embolia Quando si crea un embolo in un vaso sanguigno, il menisco che viene spinto dal flusso ha un raggio di curvatura maggiore di quello che si trova a valle, e quindi Δp 2 >Δp 1 Δp 2 -Δp 1 > 0 R 1 R 2 Flusso sanguigno Il verso di questa pressione è rivolto in senso opposto al flusso sanguigno. Se abbastanza grande, la differenza può equilibrare la pressione del sangue e provocare arresto circolatorio. Per questo motivo bisogna sempre fare uscire l aria dalle siringhe prima di iniettare un qualunque fluido all interno del corpo!!!