Legge di gravitazione universale

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Federigo Palmisano
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1 Legge di gravitazione universale Famosissima è la legge che fu ispirata, come i libri sono soliti raccontare, dalla caduta di una mela sulla testa di Isaac Newton ( ). Questa nota relazione, che collega una forza FF a due sorgenti gravitazionali che si attraggono, è stata pubblicata dal poliedrico scienziato inglese nel 1687 e prende il nome di Legge di attrazione gravitazionale. Egli, infatti, si chiese come fosse possibile che la Luna nel suo moto intorno alla Terra non vi ricadesse sopra, così come gli cadde una mela sulla testa mentre sedeva nella sua tenuta. In un primo momento, Newton fu scontento dei risultati ottenuti e decise (almeno momentaneamente) di accantonare questo studio. Qualche anno più tardi, la sua curiosità fu nuovamente accesa grazie anche a scienziati come Robert Hooke ed Edmund Halley, a cui per primo mostrò i suoi manoscritti in merito alla risoluzione di un problema meccanico. Fu, poi, proprio Halley ad esortare Newton alla pubblicazione del manoscritto De motu corporum che costituì la base della mirabile opera in tre volumi Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (o Principia). La legge ipotizzata da Newton ebbe come base teorica le leggi di Keplero ( ) ed è facile ripercorrere i passi che ne determinarono la nascita. Considerando circolare (per semplicità di calcolo) il moto di rivoluzione della Terra intorno al Sole, piuttosto che ellittico (l eccentricità dell ellisse è piccola), si ottengono i medesimi risultati conseguiti da Newton. Immaginiamo, dunque, un sistema costituito da un corpo di massa mm che orbita intorno ad un corpo di massa MM > mm. Il raggio dell orbita circolare è detto rr. Il moto, allora, è circolare ed uniforme. La forza centrale che consente il moto è la forza centripeta FF CC, ovvero la forza di attrazione gravitazionale stessa. Possiamo allora scrivere, riferendoci prima al corpo di massa minore (1): FF CC = mm vv2 rr dove vv è il modulo della velocità lineare del corpo in orbita. Ricordando di descrivere un moto circolare uniforme, scriviamo, inoltre: vv = rrrr = ππ TT vv2 = 4ππ2 TT 2 rr2

2 Riscrivendo la terza legge di Keplero ( adattata ad un moto circolare), ovvero TT 2 = kkrr 3, e sostituendo nella precedente espressione, si ricava: che, sostituita nella (1), da: vv 2 = 4ππ2 kkrr 3 rr2 = 4ππ2 kkkk FF CC = mm 4ππ2 kk Posto LL = 4ππ2, otteniamo la relazione che descrive l andamento della forza kk attrattiva FF SSSS che agisce sul corpo in orbita al variare del raggio orbitale (2): FF SSSS = FF CC = LL mm Ripetendo un ragionamento del tutto analogo, scriviamo anche la relazione che lega la forza FF PPPP di attrazione agente sul corpo di massa MM in funzione del medesimo raggio orbitale (3): FF PPPP = FF CC = LL MM Per il terzo principio della dinamica, deve essere FF SSSS = FF PPPP, quindi: LL mm = LL MM LLLL = LL MM Da cui, introducendo una nuova costante, GG, si ha: Da cui è immediato ricavare che: LL MM = LL mm = GG LL = GGGG LL = GGGG Sostituendo quanto appena trovato nella (2) e nella (3), si ha, infine: FF SSSS = GG MMMM = FF PPPP = GG mmmm

3 Riscrivendo in forma vettoriale, troviamo la formulazione generale della legge di gravitazione universale: FF (rr ) = GG mmmm Essa è sostanzialmente una relazione di diretta proporzionalità tra la forza di gravità FF (in funzione del raggio vettore rr ) e le due masse coinvolte. Tale interazione si esplica sempre in modo attrattivo tra le due masse ed è inversamente proporzionale al quadrato della distanza congiungente i centri di massa dei due corpi. Solamente oltre un secolo dopo il lavoro di Newton si determinò il valore della costante GG: vi riuscì sperimentalmente Cavendish nel 1798, utilizzando una 11 NNmm 2 bilancia a torsione; tale valore è approssimabile a 6, Per kkkk 2 eliminare il concetto di azione a distanza, molto ostico allo stesso Newton, si introduce il campo gravitazionale, così definito: rr HH (rr ) = FF (rr ) mm = GGGG rr ottenuto normalizzando FF (rr ) alla massa mm. La forza gravitazionale FF (rr ) compie, inoltre, un lavoro pari a: LL = GG mmmm drr = GGGGGG drr = GG mmmm rr = GG mmmm rr GG mmmm rr (tenuto conto che rr dss = drr) Si definisce, dunque, energia potenziale gravitazionale la funzione: UU(rr) = GG mmmm rr Tale espressione (che trova fondamento nella conservatività del campo) si ottiene assumendo infinita, per convenienza, la distanza rr del corpo da un punto di riferimento arbitrario. Essa, pertanto, rappresenta proprio il lavoro compiuto dalle forze del campo gravitazionale sulla massa mm per portarla dal punto fino a distanza infinita.

4 Vale dunque: LL = FF GG dss = UU(rr ) UU(rr ) Ma, d altra parte, è anche vero che: LL = FF GG dss = 0 Pertanto, la forza gravitazionale si dice essere conservativa, poiché il lavoro da essa compiuto su un generico percorso chiuso è pari a 0. In altre parole, possiamo dire che è una forza è conservativa se il lavoro da essa compiuto dipende solo dai punti e. A partire dal carattere conservativo della forza gravitazionale è semplice verificare che anche il campo gravitazionale è conservativo (presenta circuitazione nulla). Infatti, ricordando la definizione del campo gravitazionale e considerando costante la massa sonda mm, scriviamo: FF GG dss = 0 1 mm FF GG dss = 0 FF GG mm dss = HH dss = 0 Inoltre, a partire dalla definizione di energia potenziale gravitazionale è possibile introdurre ancora un altra utile funzione dello spazio (così come il campo vettoriale HH ). Essa è detta potenziale gravitazionale ed è definita al seguente modo: VV(rr) = UU mm = GG MM rr Anche il potenziale gravitazionale (così come il campo), poiché ottenuto normalizzando l energia potenziale gravitazionale alla massa mm, è una funzione che risulta indipendente dalla massa sonda, ma dipendente dalla massa MM, che è la sorgente del campo gravitazionale. Il potenziale è, perciò, una caratteristica di ogni punto del campo ed è legato all energia potenziale tramite la relazione: UU(rr) = mmmm(rr)

Noto il potenziale, infatti, quest ultima permette di conoscere l energia potenziale di un qualsiasi corpo di massa mm. Modello (non in scala) del Sistema solare N.B.

5 Noto il potenziale, infatti, quest ultima permette di conoscere l energia potenziale di un qualsiasi corpo di massa mm. Modello (non in scala) del Sistema solare N.B. Si noti che nella formulazione dell energia potenziale e del potenziale gravitazionale è stata azzerata una costante (arbitraria), derivante dal calcolo integrale e dipendente dalle condizioni iniziali del moto, per cui queste funzioni saranno sempre negative. Poiché tali funzioni sono definite a meno di una costante, esse rappresentano grandezze matematiche. La loro differenza è una grandezza fisica, poiché essa non dipende da tale costante, che si semplifica. Vincenzo Ventriglia

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