Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI. Esempi di soluzione per sistemi dinamici LTI TC

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1 Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI Esempi di soluzione per sistemi dinamici LTI TC

2 Esempi di soluzione per sistemi LTI TC Scomposizione in fratti semplici (parte I) Esempio di soluzione 1 Scomposizione in fratti semplici (parte II) Esempio di soluzione Scomposizione in fratti semplici (parte III) Esempio di soluzione 3 Considerazioni finali

3 Esempi di soluzione per sistemi LTI TC

4 Scomposizione in fratti semplici: introduzione Sia F (s ) una funzione razionale fratta rappresentata nella forma polinomiale F( s) b s + b s + + bs + b N ( s) = = ( s) m m 1 m m F n n 1 s + an 1s + + a1s + a0 DF Supponiamo che: N F (s ) e D F (s ) siano polinomi in s, di grado m ed n rispettivamente (m < n F (s ) strettamente propria) N F (s ) e D F (s ) non abbiano radici in comune Il denominatore di F (s ) abbia n radici distinte p 1,, p n, (con molteplicità unitaria) 4

5 Scomposizione in fratti semplici: definizione Si può fattorizzare il denominatore di F (s ) mettendo in evidenza le n radici distinte: F( s) = b s b s bs b m m m 1 + m ( s p )( s p ) ( s p ) 1 n La scomposizione i fratti semplici (detta anche sviluppo di Heaviside) di F (s ) è definita da: F( s) n R1 R Rn Ri = = 1 n i = 1 s p s p s p s p i 5

6 Scomposizione in fratti semplici: residui Nella scomposizione in fratti semplici: F( s) n R1 R Rn Ri = = 1 n i = 1 s p s p s p s p i I termini R 1,, R n sono detti residui Nel caso considerato (radici distinte), i residui vengono calcolati come: R = lim( s p ) F( s), i = 1,, n i s p i i 6

7 Esempi di soluzione per sistemi LTI TC

8 Formulazione del problema Si consideri il seguente sistema LTI TC: xt () = + xt () ut () 3 0 Determinare l espressione analitica del movimento dello stato x (t ) nel caso in cui L ingresso sia un gradino di ampiezza (u (t ) = ε (t )) Le condizioni iniziali siano: x (0) =[ ] T 8

9 Procedimento di soluzione I passi da seguire sono: Calcolo della soluzione X (s ) nel dominio della trasformata di Laplace Calcolo della scomposizione in fratti semplici (e dei corrispondenti residui) di X (s ) Calcolo di x (t ) tramite antitrasformazione della scomposizione in fratti semplici di X (s ) 9

10 Impostazione dei calcoli in dom(s ) (1/) Soluzione nel dominio della trasformata di Laplace: Con: 1 1 ( ) ( ) X ( s ) = si A x (0) + si A BU ( s ) X ( s) X ( s) A = = = =, B, x(0), U( s) 3 0 s f 10

11 Impostazione dei calcoli in dom(s ) (/) 1 1 ( ) ( ) X ( s ) = si A x (0) + si A BU ( s ) X ( s) X ( s) Per calcolare X (s ) procediamo con i seguenti passi: Calcolo del termine (s I A ) -1 Calcolo del movimento libero X l (s ) Calcolo del movimento forzato X f (s ) Calcolo di X (s ) come X (s ) = X l (s ) + X f (s ) Scomposizione i fratti semplici di X (s ) f 11

12 Calcolo di (s I A) Ricordiamo che: ( si A) = Adj ( si A) det( si A) ( si A) 1 1 s s 1 0 s 3 s = = = s s ( s + 1)( s + ) ( s + 1)( s + ) = s 3s = + + s s det( si A) Adj ( si A) ( s + 1)( s + ) ( s + 1)( s + ) 1

13 Calcolo di X l (s ) s ( s + 1)( s + ) ( s + 1)( s + ) X ( s) ( si A) x(0) = = s = ( s 1)( s ) ( s 1)( s ) x (0) 1 ( si A) s + 8 ( s + 1)( s + ) = s 4 ( s + 1)( s + ) 13

14 Calcolo di X f (s ) s ( s + 1)( s + ) ( s + 1)( s + ) 1 Xf ( s) = ( si A) BU( s) = s 0 = s ( s 1)( s ) ( s 1)( s ) B Us ( ) 1 ( si A) s + 3 ( s + 3) ( s + 1)( s + ) s( s + 1)( s + ) = = s 4 ( s 1)( s ) + + s( s + 1)( s + ) 14

15 Calcolo di X (s ) X (s ) viene calcolato come somma di X l (s ) e X f (s ) s + 8 ( s + 3) ( s + 1)( s + ) s( s + 1)( s + ) X( s) = X ( s) Xf ( s) + = + = s 4 4 ( s + 1)( s + ) s( s + 1)( s + ) s + 10s + 6 ss ( + 1)( s+ ) = s 4s 4 ss ( + 1)( s+ ) X ( s) X ( s) f 15

16 Scomposizione in fratti semplici di X (s) X( s) s + 10s + 6 (1) (1) (1) R1 R R 3 X1( s) + + ss ( + 1)( s+ ) s s + 1 s + = = = () () () X( s) s 4s 4 R1 R R ss ( + 1)( s+ ) s s + 1 s + 16

17 Calcolo dei residui per X 1 (s ) X ( s) 1 (1) (1) (1) s + 10s + 6 R1 R R3 = = + + ss ( + 1)( s+ ) s s+ 1 s+ R = lim sx ( s) (1) 1 s 0 1 R = lim ( s + 1) X ( s) (1) s 1 1 R = lim ( s + ) X ( s) (1) 3 s X1( s) = + s s + 1 s + s + 10s + 6 = lim s = 3 s 0 ss ( + 1)( s + ) s + 10s + 6 = lim ( s + 1) = s 1 ss ( + 1)( s+ ) s + 10s + 6 = lim ( s + ) = 3 s ss ( + 1)( s+ ) 17

18 Calcolo dei residui per X (s ) X ( s) () () () s 4s 4 R1 R R3 = = + + ss ( + 1)( s+ ) s s+ 1 s+ s s = lim ( ) = lim = ( + 1)( + ) () 4 4 R1 sx s s s 0 s 0 ss s () s 4s 4 R = lim ( s + 1) X( s) = lim ( s + 1) = s 1 s 1 ss ( + 1)( s+ ) () s 4s 4 R3 = lim ( s + ) X( s) = lim ( s + ) = 6 s s ss ( + 1)( s+ ) 6 X( s) = + s s + 1 s + 18

19 Risultato Pertanto: X( s) X + + 1( s) s s 1 s = = X( s) 6 + s s + 1 s + Si può procedere con l antitrasformazione ricordando che: Re at () t R -1 ε = L s a x () t 3+ e 3e t t 1 () = () t t t x() t = ε e + 6e xt 19

20 Esempi di soluzione per sistemi LTI TC

21 Scomposizione in fratti semplici con radici C Quando nel denominatore di F (s ) sono presenti coppie distinte di radici complesse coniugate del tipo: p 1 = σ 0 + jω 0, p = p 1* = σ 0 - j ω 0 m m 1 bms + bm 1s + + bs 1 + b0 F( s) = ( s σ0 jω0)( s σ0 + jω0)( s p3) ( s pn ) ( s p ) ( s p ) 1 Il procedimento della scomposizione in fratti semplici rimane invariato: R1 R R3 Rn F( s) = s σ jω s σ + jω s p s p s p s p 1 n 1

22 Calcolo dei residui con radici C R R R 1 n ( ) = F s s σ j ω s σ + j ω s p n Anche il procedimento di calcolo dei residui rimane invariato: R = lim ( s σ jω ) F( s) s σ + jω 0 0 R = lim ( s σ + jω ) F( s) = R * s σ jω Notiamo che i residui associati ad una coppia di radici complesse coniugate sono numeri complessi coniugati

23 Antitrasformazione in presenza radici C (1/) Occorre però fare attenzione all antitrasformata della coppia di fratti semplici: * R1 R1 + s σ j ω s σ + j ω at -1 R Applicando la proprietà: Re ε() t = L si s a ottiene: * R1 R 1 L + = + s σ0 jω0 s σ0 + jω0 ( ( σ + jω ) t * ( σ jω ) t ) Re R e t ε() 3

24 Antitrasformazione in presenza radici C (/) Utilizzando le formule di Eulero si ha: ( ( + ) * ( ) ) σ0 jω0 t σ0 jω0 t σ0t Re + R e ε t = R e ωt + R ε t () cos( arg( )) ( ) Im( R ) R = Re ( R ) + Im ( R ),arg( R ) = arctan Re( R ) Pertanto, l antitrasformata di una coppia di fratti semplici corrispondenti a radici va sempre considerata nel suo insieme 4

25 Esempi di soluzione per sistemi LTI TC

26 Formulazione del problema Si consideri il seguente sistema LTI TC: 3 1 xt () = xt () ut () yt () = 0 1 xt () Determinare l espressione analitica del movimento dell uscita y (t ) nel caso in cui: L ingresso sia un gradino di ampiezza unitaria (u (t ) = ε (t )) Le condizioni iniziali siano: x (0) =[1 1] T 6

27 Procedimento di soluzione I passi da seguire sono: Calcolo della soluzione Y (s ) nel dominio della trasformata di Laplace Calcolo della scomposizione in fratti semplici (e dei corrispondenti residui) di Y (s ) Calcolo di y (t ) tramite antitrasformazione della scomposizione in fratti semplici di Y (s ) 7

28 Impostazione dei calcoli in dom(s ) Soluzione nel dominio della trasformata di Laplace: ( ) 1 ( ) 1 Y ( s) = C si A x(0) + C si A B + D U( s) Y ( s) Y ( s) Con A =, B, C 0 1, D [0], x(0), U( s) 3 = = = = = 0 1 s f 8

29 Passi della soluzione in dom(s ) ( ) 1 ( ) 1 Y ( s) = C si A x(0) + C si A B + D U( s) Y ( s) Y ( s) Per calcolare Y (s ) procediamo come segue: Calcolo del termine (s I A ) -1 Calcolo della risposta libera Y l (s ) Calcolo della risposta forzata Y f (s ) Calcolo di Y (s ) come Y (s ) = Y l (s ) + Y f (s ) Scomposizione i fratti semplici di Y (s ) f 9

30 Calcolo di (s I A) Si ricordi che: ( si A) = Adj ( si A) det( si A) ( si A) 1 s s + 3 s 3 s 6s s = = = s + 3 s + 6s + 13 s + 6s + 13 = s + 3 s + 6s + 13 s + 6s + 13 det( si A) Adj ( si A) 30

31 Calcolo di Y l (s ) s s + 6s + 13 s + 6s Y ( s) = C( si A) x(0) = 0 1 = s C s + 6s + 13 s + 6s + 13 x (0) s s + 1 = = s + 6s + 13 s + 6s s + 6s + 13 C( si A) 1 x (0) ( si A) 1 31

32 Calcolo di Y f (s ) s s + 6s + 13 s + 6s Yf ( s) = C( si A) B + D U( s) = 0 1 s s C U( s) D = 0 s + 6s + 13 s + 6s + 13 B s = = s + 6s + 13 s + 6s + 13 = 3 0 s s + 6s + 13 s s + 6s + 13s C( si A) 1 B U( s) ( si A) U( s) 1 3

33 Calcolo di Y (s ) Y (s ) si calcola come somma di Y l (s ) e Y f (s ) s + s Y ( s) = Y ( s) + Yf ( s) = = 3 s + 6s + 13s s + s = ss ( + 3 j)( s+ 3+ j) Notiamo che nel denominatore di Y (s ) è presente una coppia di radici C con σ 0 = - 3 e ω 0 = 33

34 Fratti semplici e residui di Y (s ) Scomposizione in fratti semplici di Y (s ): * s + s R1 R1 R Y ( s) = = + + ss ( + 3 j)( s+ 3+ j) s+ 3 j s+ 3+ j s Calcolo dei residui: R = lim ( s + 3 j) Y( s) = 1 s 3+ j s + s = lim ( s + 3 j) = j s 3+ j ss ( + 3 j)( s+ 3+ j) R = lim sy( s) = s 0 s + s = lim s = s 0 ss ( + 3 j )( s + 3+ j ) 174

35 Risultato in dom(s ) Si ottiene quindi: j j Y ( s) = + s + 3 j s + 3+ j s Per l antitrasformazione della coppia di fratti semplici corrispondenti alle radici complesse coniugate si ha: σ = 3, ω = R = j R = + = (0.5769) (0.3846) arg( R1) = arctan = 0.588rad

36 Risultato in dom(t ) L espressione analitica di y (t ) è quindi: σ0 ω0 3 t y ( t) = e cos( t ) ε( t) R arg( R 1 1) 36

37 Esempi di soluzione per sistemi LTI TC

38 Caso di F (s ) con radici multiple F( s) b s + b s + + bs + b N ( s) = = ( s) m m 1 m m F n n 1 s + an 1s + + a1s + a0 DF Supponiamo ora che: N F (s ) e D F (s ) non abbiano radici in comune Il denominatore di F (s ) abbia r (r < n) radici distinte con molteplicità maggiore o uguale a 1 F (s ) sia strettamente propria (m < n ) Indichiamo con p i i - esima radice distinta del denominatore di F (s ), (i =1,, r ) μ i molteplicità della radice 38 p i, (i =1,, r, Σ r i=1 μ i = n)

39 Scomposizione in fratti semplici con radici multiple Si può fattorizzare il denominatore di F (s ) mettendo in evidenza le radici distinte con la rispettiva molteplicità: F( s) = b s + b s + + bs + b m m m 1 m μ1 μ μ 1 r ( s p ) ( s p ) ( s p ) r La scomposizione in fratti semplici di F (s ) è definita da: F( s) R R R R = = μ1 μ μr r μi 1, k, k r, k i, k k k k k k= 1( s p1) k= 1( s p) k= 1( s pr) i= 1 k= 1( s pi) 39

40 Calcolo dei residui con radici multiple (1/) In questo caso, la formula generale per calcolare i residui R i,k (associati alla radice p i di molteplicità μ i ) è: 1 d R s p F s k μi k ( ) μi ( ) i, k = lim, 1,, ( ) i = i s p μi k i μi k! ds Nel caso μ i = 1 si ottiene la formula nota μ Ri,1 = lim( s pi) F( s) s p i 40

41 Calcolo dei residui con radici multiple (/) μi k 1 d lim ( ) μi R = s p F ( s), k = 1,, μ ( μ k ) i, k i i s p μi k i i! ds Nel caso μ i = si ha: d ( ) R ( ) i,1 Ri,1 = lim s pi F s s pi ds s p R s p F s R ( ) ( ) i, i, = lim i s p i ( s p1) 1 Nota: il medesimo procedimento si applica al caso di radici complesse 41

42 Esempi di soluzione per sistemi LTI TC

43 Formulazione del problema Si consideri il seguente sistema LTI TC: xt () = xt () ut () yt () = 0 1 xt () Determinare l espressione analitica del movimento dell uscita y (t ) nel caso in cui L ingresso sia una rampa di ampiezza (u (t ) = t ε (t )) Le condizioni iniziali siano nulle 43

44 Procedimento di soluzione I passi da seguire sono: Calcolo della soluzione Y (s ) nel dominio della trasformata di Laplace Calcolo della scomposizione in fratti semplici (e dei corrispondenti residui) di Y (s ) Calcolo di y (t ) tramite antitrasformazione della scomposizione in fratti semplici di Y (s ) 44

45 Impostazione dei calcoli in dom(s ) Soluzione nel dominio della trasformata di Laplace: ( ) 1 ( ) 1 Y ( s) = C si A x(0) + C si A B + D U( s) Y ( s) Y ( s) Con: f A =, B, C 0 1, D [0], x(0), U( s) 1 8 = = = = = 0 s 45

46 Passi della soluzione in dom(s ) ( ) 1 ( ) 1 Y ( s) = C si A x(0) + C si A B + D U( s) Y ( s) Y ( s) Per calcolare Y (s ) notiamo innanzi tutto che, essendo nulle le condizioni iniziali, è necessario trovare la sola risposta forzata Procediamo quindi nel seguente modo: Calcolo del termine (s I A ) -1 Calcolo della risposta forzata Y f (s ) Y (s ) = Y f (s ) Scomposizione i fratti semplici di Y (s ) f 46

47 Calcolo di (s I A) -1 Si ricordi che: ( si A) = Adj ( si A) det( si A) s 16 1 s s + 8 s + 8s s 1 A = = = ( si ) det( si A) Adj ( si A) s s s 8s 16 s 8s 16 ( s 4) ( s 4) = = 1 s 1 s s + 8s + 16 s + 8s + 16 ( s + 4) ( s + 4) 47

48 Calcolo di Y (s ) =Y f (s ) s ( s + 4) ( s + 4) 1 Y ( s) = Yf ( s) = C( si A) B D U( s) = = 1 s s C ( ) D 0 ( 4) ( 4) B U s = s + s + 1 s 1 (s + 1) (s + 1) = ( s 4) ( s 4) = = + + s ( s + 4) s s ( s + 4) C( si A) 1 B U( s) ( si A) 1 48

49 Scomposizione in fratti semplici Si ha quindi: Y ( s ) = (s + 1) s ( s + 4) Notiamo che nel denominatore di Y (s ) sono presenti le radici p 1 = 0 e p = - 4 entrambe di molteplicità (μ 1 = μ = ) La scomposizione in fratti semplici è pertanto: Y ( s) (s + 1) R R R R = = s ( s + 4) s s s + 4 s + 4 1,1 1,,1, ( ) 49

50 Calcolo dei residui (1/) (s + 1) R R R R Y ( s) = = s ( s + 4) s s s + 4 s + 4 1,1 1,,1, ( ) Calcolo dei residui associati alla radice p 1 = 0: R = R 1,1 = lim s 0 1, = d ds lim s Y( s) s 0 d (s + 1) ds s ( s + 4) = lim s s 0 4( s + 4) (s + 8) (s + 1) lim s Y( s) s 0 ( s + 4) lim 0.15 s 0 (s + 1) = s = s ( s + 4) 4 ( s + 6) = lim = s 0 3 ( s + 4) 50

51 Calcolo dei residui (/) (s + 1) R R R R Y ( s) = = s ( s + 4) s s s + 4 s + 4 1,1 1,,1, ( ) Calcolo dei residui associati alla radice p = 4: d R,1 = lim ( s + 4) Y( s) s 4ds d (s + 1) = lim ( s + 4) s 4ds s ( s + 4) = 4s s (s + 1) = lim s 4 4 s 4 3 s 4( s + 1) = lim = s R, = s + Y s lim ( 4) ( ) s 4 (s + 1) = + = s ( s + 4) lim ( s 4) s 4 51

52 Risultato Si ottiene quindi: R R R R Y ( s) s s s s 1,1 1,,1, = = ( ) = + s s s ( s ) Si può procedere con l antitrasformazione ricordando che: Re ε() t = L, s a at -1 R Rte ε () t = L ( s a) at -1 R ( 4t 4t ) y ( t) = t e te ε( t) 5

53 Esempi di soluzione per sistemi LTI TC

54 Caso di F (s ) non strettamente propria (1/3) F( s) b s + b s + + bs + b N ( s) = = ( s) m m 1 m m F n n 1 s + an 1s + + a1s + a0 DF Nel caso in cui F (s ) non sia strettamente propria (m = n ) prima di procedere alla scomposizione in fratti semplici occorre compiere la divisione (polinomiale) tra il numeratore N F (s )il denominatore D F (s ) 54

55 Caso di F (s ) non strettamente propria (/3) F( s) Indicando con K = b m il quoziente N ( s) ' F il resto della divisione tra N F (s )e D F (s ) si ha: ' = NF ( s) K + D ( s) = F ' F N ( s) g g 1 cgs + cg 1s + + c1s + c0 = bm + = b '( ), n n 1 m + F s g < n s + an 1s + + a1s + a0 F '( s) 55

56 Caso di F (s ) non strettamente propria (3/3) A questo punto, i procedimenti di scomposizione in fratti semplici visti in precedenza si possono applicare alla funzione F (s ) (strettamente propria) L espressione dell antitrasformata di F (s ) sarà quindi la somma di un termine impulsivo del tipo b m δ (t ) e del risultato di antitrasformazione corrispondente a F (s ): L { F( s)} = L { b + F '( s)} = 1 1 m = b δ t +L F s m 1 () { '( )} 56

57 MatLab Il calcolo dei residui della scomposizione in fratti semplici può essere svolto in MatLab mediante l istruzione:[r,p,k]=residue(num,den) num, den: numeratore e denominatore (in formato polinomiale) della funzione da scomporre F (s ) R: vettore dei residui p: radici del denominatore della funzione da scomporre K: quoziente della divisione tra numeratore e denominatore di F (s ) Per maggiori dettagli, digitare help residue al prompt di MatLab 57