CORSO DI TECNOLOGIE E TECNICHE DI RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE

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1 CORSO DI TECNOLOGIE E TECNICHE DI RARESENTAZIONI GRAFICHE ER L ISTITUTO TECNICO SETTORE TECNOLOGICO Agraria, Agroalimentare e Agroindustria classe seconda ARTE RIMA Disegno del rilievo Unità Didattica: Trigonometria parte 01 aggiornamento a.s a cura di LABTOOMOREA

2 Circonferenza Goniometrica Si consideri una circonferenza con centro O l origine di un sistema di assi cartesiani e raggio r= 1. Si assume il semiasse positivo delle ordinate come direzione origine e il senso orario come verso di rotazione positivo. Gli assi cartesiani x,y e la circonferenza goniometrica individuano quattro quadranti angolari che vengono numerati in senso orario a partire dall asse y. Con queste convenzioni la posizione di un generico punto sulla circonferenza e definita dall angolo α generato dalla rotazione oraria del semiasse positivo delle ordinate fino a sovrapporsi al segmento O. La posizione di è definita quindi dall angolo positivo α, ma è definita anche dall angolo negativo β. Si sottolinea che β è negativo perché individuato da una rotazione antioraria della direzione origine. Si ha: α + β = 360. Definizione delle Funzioni Trigonometriche Si consideri la circonferenza goniometrica con centro nell origine di un sistema di assi cartesiani x,y e raggio r=1. rof. ing. Fabio Anderlini pag.2 di 10

3 Si tracci una semiretta uscente dall origine O che interseca la circonferenza nel punto di coordinate X e Y. Il segmento O forma con il semiasse positivo delle ordinate l angolo α. Tracciamo la perpendicolare Q all asse delle ordinate per il punto. Il triangolo OQ che cosi individuiamo è un triangolo rettangolo retto in Q. Si definisce seno dell angolo α (sen α ) il rapporto tra il cateto Q (opposto all angolo α) e l ipotenusa O: α CO IO Q O X r sen = = = = Si definisce coseno dell angolo α (cos α ) il rapporto tra il cateto OQ (adiacente all angolo α) e l ipotenusa O: cos α = CA IO = Si definisce tangente dell angolo α (tan α ) il rapporto tra il cateto Q (opposto all angolo α) e il cateto OQ (adiacente all angolo α): tan α = CO CA OQ O Q OQ Y = r X = Y Le funzioni goniometriche cosi definite sono rapporti tra lunghezze di segmenti e sono quindi valori adimensionali. Le funzioni dipendono esclusivamente dall angolo α. Ad ogni angolo α possiamo associare i valori corrispondenti delle funzioni sen α, cos α, tan α. = X = Y AB segmento tanα Q segmento senα OQ segmento cosα rof. ing. Fabio Anderlini pag.3 di 10

4 VALORI DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE DEGLI ANGOLI NOTEVOLI Si riportano i valori delle funzioni goniometriche per alcuni angoli notevoli. α α g α r sen α cos α tanα 0 0 g 0 r g,33333 π r /6 1/ g π r / g,6667 π r / / g π r /2 1 0 ± RELAZIONI FONDAMENTALI Nella circonferenza con centro l origine O di un sistema di assi cartesiani di riferimento e raggio r si consideri un punto sulla circonferenza e si tracci il raggio O. Il segmento O forma con il semiasse positivo delle ordinate un angolo α. Tracciamo la perpendicolare Q all asse delle ordinate per il punto. Il triangolo OQ che cosi individuiamo e un triangolo rettangolo retto in Q. er il teorema di itagora si ha: Q 2 + OQ 2 = O 2 dividendo entrambi i membri dell uguaglianza per O 2 otteniamo: sen 2 α + cos 2 α=1 tanα= sen α/ cos α rof. ing. Fabio Anderlini pag.4 di 10

5 ANDAMENTO DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE La funzione sen α è una funzione continua e periodica con periodo l angolo giro, cioè la funzione riprende gli stessi valori dopo un angolo giro. -1 sen α +1 La SINUSOIDE è il grafico delle funzione y = sen α La funzione cos α è una funzione continua e periodica con periodo l angolo giro, cioè la funzione riprende gli stessi valori dopo un angolo giro. -1 cos α +1 La COSINUSOIDE è il grafico delle funzione y = cos α La funzione tan α è una funzione discontinua e periodica con periodo l angolo piatto, cioè la funzione riprende gli stessi valori dopo un angolo piatto. - tan α + Non esiste il valore della funzione tan α per i valori α= π r /2 α= 3π r /2 rof. ing. Fabio Anderlini pag.5 di 10

6 La TANGENTOIDE è il grafico delle funzione y = tan α FUNZIONI GONIOMETRICHE INVERSE Si è visto in precedenza come sia possibile ottenere i valori delle funzioni goniometriche seno, coseno e tangente di un qualsiasi angolo α servendoci di una calcolatrice scientifica. Nella soluzione di problemi tecnici ci si trova spesso ad affrontare il problema inverso, cioè supposto di conoscere il valore di una delle funzioni goniometriche si ricerca l angolo α cui corrisponde il valore della funzione dato. Ad esempio: qual è il valore di α, se cosα = 3 2? Si e visto che a un valore dell angolo α corrisponde un solo valore di senα, un solo valore di cosα e un solo valore di tanα. Non è vero il contrario perché fissato un valore di cosα =OQ esistono più angoli α che hanno quel valore del coseno. Cosi se cosα = 3 2 possiamo dire che α =30, ma anche che α =330. rof. ing. Fabio Anderlini pag.6 di 10

7 In matematica la funzione inversa della funzione y=f(x) è quella che consente, dato il valore di y, di ricavare il corrispondente valore di x. Questa operazione è possibile solamente se a ogni valore di x corrisponde un solo valore di y e viceversa. In questo caso si dice che la funzione y=f(x) è una corrispondenza biunivoca tra x e y. Come si è visto le funzioni goniometriche non sono corrispondenze biunivoche, ma possono essere considerate tali se le consideriamo in opportuni intervalli. Cosi ad esempio la funzione seno è una corrispondenza biunivoca nell intervallo [-90 :+90 ]. L inversa della funzione seno è la funzione y=arcsinx ed è definita nell intervallo [-1;+1]. La funzione arcsen, assegnato il valore del seno α [compreso tra -1 e +1], fornisce il valore dell angolo y (α), nell ntervallo [-90 :+90 ], cui corrisponde il valore del seno assegnato. α = arcsin (sin α) La funzione coseno è una corrispondenza biunivoca nell intervallo [0 :+180 ]. L inversa della funzione coseno è la funzione y=arcosx ed è definita nell intervallo [-1;+1]. La funzione arcos, assegnato il valore del coseno x [compreso tra -1 e +1], fornisce il valore dell angolo y (α), nell intervallo [0 :+180 ], cui corrisponde il valore del coseno assegnato. α = arccos (cos α) La funzione tangente è una corrispondenza biunivoca nell intervallo [-90 :+90 ]. L inversa della funzione tangente è la funzione y=arctanx ed è definita nell intervallo [- ;+ ]. La funzione arctan, assegnato il valore della tangente x [compreso tra - ;+ ], fornisce il valore dell angolo y (α), nell intervallo [-90 :+90 ], cui corrisponde il valore della tangente assegnato. α = arctan(tan α) E possibile calcolare una funzione inversa usando una calcolatrice scientifica. I valori forniti dalla calcolatrice per arcsin, arcos, arctan sono angoli compresi negli intervalli: α = arcsinx -90 α +90 [con -1 x +1] α = arcosx 0 α +180 [con -1 x +1] α = arctanx -90 α +90 [con - x + ]. A titolo di esempio ricerchiamo gli angoli compresi nell intervallo [0 g ; 400 g ] cui corrispondono i valori delle funzioni goniometriche sotto riportati. Nell analisi dei casi proposti è conveniente considerare la circonferenza goniometrica di raggio r=1. rof. ing. Fabio Anderlini pag.7 di 10

8 1 _ sen α = 0,3529 Nella circonferenza goniometrica (r =1) il seno di un angolo α è rappresentato dall ascissa del punto della stessa circonferenza associato all angolo. Come si può vedere dalla figura sono due i punti della circonferenza che hanno ascissa x = 0,3529. A questi punti sono associati gli angoli α1 e α2. La calcolatrice fornisce per arcsen x un valore compreso nell intervallo 100 g α +100 g. Nel caso in esame α = arcsen 0,3529 = 22 g,9609 (valore arrotondato alla quarta cifra decimale). ertanto α1 = 22 g,9609 e α2= 200g - α1 =177 g, _ sen α = -0,7028 In questo caso la calcolatrice fornisce per l angolo α un valore negativo (perchè valutato in senso antiorario) esterno all intervallo [0 g ; 400 g ]. α = arcsen (-0,7028) = -49 g,6134. Da semplici considerazioni geometriche possiamo ricavare α1 e α1 nell intervallo considerato: α1 = 200 g + α = 249 g,6134 α2= 400 g - α = 350 g, _ cosα = 0,5496 Nella circonferenza goniometrica (r =1) il coseno di un angolo α è rappresentato dall ordinata del punto della stessa circonferenza associato all angolo. Come si può vedere dalla figura sono due i punti della circonferenza che hanno ordinata y= 0,5496. A questi punti sono associati gli angoli α1 e α2. La calcolatrice fornisce per arcos x un valore compreso nell intervallo 0 g α +200 g. rof. ing. Fabio Anderlini pag.8 di 10

9 Nel caso in esame α = arcos 0,5496 = 62 g,9560 (valore arrotondato alla quarta cifra decimale). ertanto α1 = α =62 g,9560 e α2= 400 g - α =337 g, _ cosα = -0,2891 Sono due i punti della circonferenza che hanno ordinata y = -0,2891. A questi punti sono associati gli angoli α1 e α2. La calcolatrice fornisce per l angolo α il valore (interno all intervallo [0 g ; 200 g ]): α = arcos (-0,2891) = 118 g,6712. Da semplici considerazioni abbiamo: α1= α= 118 g,6712 α2= 400 g - α = 281 g, _ tanα = 0,9120 Nella circonferenza goniometrica (r =1) la tangente di un angolo α e rappresentato dall ascissa del punto A intersezione del prolungamento del raggio O (che individua l angolo α) con la retta s (parallela all asse delle ascisse condotta per B). Come si può notare dalla figura sono due gli angoli in corrispondenza dei quali l ascissa del punto A vale xa = 0,9120. La calcolatrice fornisce per arctan x un valore compreso nell intervallo 100 g α +100 g. Nel caso in esame α = arctan 0,9120 = 47,07209g. ertanto α1 =α = 47 g,0720 e α2= α g = 247 g,0720. rof. ing. Fabio Anderlini pag.9 di 10

10 6 _tanα = -1,6914 In questo caso la calcolatrice fornisce per l angolo α un valore negativo (perchè valutato in senso antiorario) esterno all intervallo [0 g ; 400 g ]. α1= arctan (-1,6914) = -66 g,0081. Da semplici considerazioni geometriche possiamo ricavare α1 e α2 nell intervallo considerato: α1 = 200 g - α = 133 g,9919 α2= α g = 333 g,9919. rof. ing. Fabio Anderlini pag.10 di 10