Algebra» Appunti» Logaritmi

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1 MATEMATICA & FISICA E DINTORNI Psqule Spiezi Algebr» Apputi» Logriti TEOREMA Sio e b ueri reli co R + {} e b R +. Esiste, ed è uico, u uero k R: k b Il uero k è detto rito di b i bse e viee idicto co l otzioe b. Il uero b è detto rgoeto del rito. Dl suddetto teore cosegue l doppi ipliczioe: che ci perette di dre l seguete defiizioe. DEFINIZIONE k b k b Il rito di b i bse è quel uero rele k cui bisog elevre l bse per vere l rgoeto b. Quest defiizioe ci perette di clcolre fcilete i riti i lcui csi prticolri, ossi solo qudo l rgoeto è u potez dell bse. I tutti gli ltri csi bisog usre l clcoltrice. L isiee di tutti i riti i u dt bse viee detto siste di riti i bse. Le bsi più uste ell prtic soo il uero 0 ed il uero irrziole di Neper e (,7 ). I riti i bse 0, detti decili, verro idicti sepliceete co ; quelli i bse e, detti turli (o eperii), verro ivece idicti co l. IMPORTANTE Per l esistez di b occorre che si > 0 e b > 0. Se u di queste codizioi o è verifict, il rito di b i bse o è defiito. SEGNO DEL LOGARITMO Il sego di k b dipede si dl vlore dell bse, si d quello dell rgoeto b. REGOLA PRATICA b > 0 b > b > 0 b < > < b < 0 b < b < 0 b > Se l bse e l rgoeto b del rito soo etrbi > o etrbi < il vlore del rito è sepre positivo. Pgi di 7

2 ESEMPI Utilizzdo l defiizioe di rito, clcolre i segueti riti, per defiizioe di rito si h: ( ) Posto Poiché si h pure: d cui Il vlore del rito è egtivo perché Posto Essedo ( ) < e b >, per defiizioe di rito si h: ( ) ( ), si h pure: d cui 9 Il vlore del rito è egtivo perché > e Posto b <, per defiizioe di rito si h: ( ) ( ). Il vlore del rito è positivo perché > e b > 7 7 Posto 7, per defiizioe di rito si h: No è possibile clcolre i ier iedit il vlore di 7 perché l equzioe otteu- t o è u equzioe tr poteze co l stess bse. Occorre l clcoltrice. d cui Quello che possio fferre è che il vlore di questo rito è positivo perché l bse e l rgoeto soo etrbi > Pgi di 7

3 Cooscedo il rito e l bse, deterire l rgoeto dei segueti riti 9 Per defiizioe di rito si h: 9 9 Per defiizioe di rito si h: ( ) ( ) Per defiizioe di rito si h: ( ) 7 0, Per defiizioe di rito si h: 0, 0, Cooscedo il rito e l rgoeto, deterire l bse dei segueti riti 9 Per defiizioe di rito si h: 9 d cui Per defiizioe di rito si h: ( ) ( ) d cui Per defiizioe di rito si h: 9 d cui ( ) Pgi di 7

4 PROPRIETÀ FONDAMENTALI Dll defiizioe dt i precedez coseguoo le segueti due proprietà fodetli dei riti: def 0 Iftti 0 def Iftti 0 R + {} () R + {} () OPERAZIONI CON I LOGARITMI Per i riti vlgoo le segueti regole di clcolo: + ( ) e R + (i) Sio p e q. Per defiizioe di rito si h: p e q. Quidi p q p + q. Sepre per defiizioe di rito si h: p + q + ( ) e R + k k R + e k R L ulti proprietà vle quluque si l espoete dell rgoeto. Vle che qudo l espoete è u uero rziole. (ii) (iii) Ricorddo che b b, si h duque l seguete ltr proprietà: b b b (iv) CAMBIAMENTO DI BASE Siccoe esistoo ifiiti sistei di riti, è turle porsi il proble del pssggio d u siste ll ltro. A tle scopo vle l seguete regol, dett pputo del cbieto di bse: c b b c Posto k b, per defiizioe di rito si h k b d cui c k c b, ossi k c c b. Duque c b k b c Medite quest forul è possibile clcolre il rito di u qulsisi uero i quluque bse deterido, d u clcoltrice scietific, il suo rito decile (o turle). Pgi di 7

5 ALTRE PROPRIETÀ Dll forul del cbieto di bse (o direttete dll defiizioe di rito) coseguoo ltre proprietà olto utili elle ppliczioi. b () b Iftti se c b, dll forul del cbieto di bse si ottiee defiitiv b b b b b. Essedo b b b, risult i b b () Iftti dll forul del cbieto di bse si h l sserto b b b b. Essedo, risult r b b r r R () Sepre dll forul di cbieto di bse si h b r b r b r r b. M r r d cui l forul file k k r b b r (6) Soo u coseguez iedit dell (). CRESCENZA E DECRESCENZA Il rito di b i u dt bse cresce l crescere dell rgoeto se >, decresce l crescere dell rgoeto se <. b < b b < b > b < b b > b 0 < < Pgi di 7

6 ESERCIZI Applicdo le proprietà dei riti, clcolre il vlore dei segueti riti Essedo ( ) , si h: Essedo ( ) 6 6, si h: ( ) 6 6 Utilizzdo l clcoltrice e pplicdo l forul del cbieto di bse, clcolre il vlore dei segueti riti espriedo il risultto co due cifre decili Le clcoltrici foriscoo i riti decili e turli di ogi uero rele r > 0. Per risolvere l esercizio dto, si possoo usre idiffereteete si gli ui che gli ltri., 0,,,77 ; 0,0 l,7,7,7, ; l,9,6 0,67,6,0 0, l 7,,99 7,,69 l 0, Applicdo le proprietà dei riti, seplificre le segueti espressioi ritiche dove tutti i riti si suppogoo essere ell stess bse ( ) + ( ) ( ) ( ) + + Pgi 6 di 7

7 ( ) b + ( b) (co > 0 e b > 0) b + ( b ) b + + b 9 b + 9 b+ b + b ( ) ( ) + 9 ( ) ( ) ( 9 ) (co 0 < < ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) (co > 0) Applicdo le proprietà dei riti si h: ; ; Duque: ( + ) ( + ) ( ) 6 6 Pgi 7 di 7