3^A - MATEMATICA compito n d. l'equazione della mediana BM, verificando che il baricentro le appartenga;

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1 ^ - TETI compito n Il triangolo ha come lati le rette r : y=x 2, s: x 4=0, t : x y 22=0 Disegna le rette r, s, t e determina: a le coordinate dei vertici =r s, =s t, =t r ; b l'area del triangolo; c le coordinate del baricentro G del triangolo; d l'equazione della mediana, verificando che il baricentro le appartenga; e le coordinate dell'ortocentro K e del circocentro J del triangolo f Verifica che i punti G, K, J appartengono ad una stessa retta, detta retta di Eulero (quello dei diagrammi, e di mille altre cose), e trova l'equazione di tale retta; g Determina l'equazione della circonferenza circoscritta al triangolo, verificando che il vertice appartenga a tale circonferenza h Determina le equazioni delle bisettrici degli angoli formati dalle rette r ed s, e individua tra di esse la bisettrice dell'angolo interno del triangolo i Verifica che tali bisettrici sono perpendicolari, e dimostra con metodo sintetico che tale proprietà è vera in generale per le bisettrici di due angoli adiacenti j Per ciascun vertice del triangolo, conduci la retta parallela al lato opposto Determina (senza svolgere calcoli) l'area del triangolo DEF così ottenuto 2 Dati i punti, 1, 5, 1 e la retta r : y=x 1, determina l'equazione cartesiana del luogo geometrico L dei baricentri dei triangoli, al variare del punto su r Disegna il grafico del luogo ottenuto osa osservi? Spiega come sia possibile giungere alle stesse conclusioni con considerazioni sintetiche

2 ^ - orrezione compito n 2 1 a { y=x 2= 2 x= 4 4, 2 ; K s H { x= 4 y= x 22 /=6 4,6 ; { y=x 2 y= x 22 / x 2= x 22 t G J x 6=x 22 x=8 8,10 b rea = H /2= y y x x H /2=8 12/2=48 r c x G = x x x =0 ; y G = y y y = 14 G 0, 14 d Punto medio di : 2, 4 Equazione della mediana (passaggio per e per ): 4 m q=6 6 m= 2 m= { 1 2 m q=4 2 q=4 q=14 y= 1 x 14 Sostituiamo le coordinate di G nell'equazione di : e L'equazione dell'altezza relativa ad è immediata: y=10 14 = vera! G Dal testo del problema, vediamo che la retta ha coefficiente angolare m =1, quindi l'altezza ad essa relativa ha m altezza = 1 Imponiamo il passaggio per il vertice : 1 4 q=6 q=2 y= x 2 (equazione altezza relativa ad ) on procedimento analogo, l'altezza relativa a ha equazione: y= x 14 L'equazione dell'asse del segmento è immediata: y=2 nche per l'asse di abbiamo: m asse = 1 Imponiamo il passaggio per il punto medio : 1 2 q=4 q=6 y= x 6 (equazione asse del segmento ) on procedimento analogo, l'asse del segmento ha equazione: y= x 14 { y=10 y= x 2 K 8,10 ; { y=2 y= x 6 J 4, 2 f Imponiamo il passaggio per i punti K e J: 8 m q=10 12 m= 8 m= { 2 4 m q=2 8 q=2 q=14 y= 2 x 14 Sostituiamo le coordinate di G nell'equazione di JK: 14 = G JK g La circonferenza circoscritta al triangolo è il luogo dei punti equidistanti dai vertici, ovvero il luogo dei punti P x, y aventi dal circocentro J distanza uguale al raggio J=J=J=4 5 : PJ =r x 4 2 y 2 2 =4 5 x 2 y 2 8 x 4 y 60=0

3 Sostituiamo le coordinate di nell'equazione della circonferenza: =0 vera! circ h Determiniamo le bisettrici come luogo dei punti equidistanti dalle due rette: x y 2 = x 4 x y 2=± 2 x 4 2 { b 1: y= 1 2 x b 2 : y= 1 2 x La bisettrice dell'angolo interno è b 2, in quanto ha coefficiente angolare positivo i m 1 m 2 = = 1 b 1 b 2 Dimostrazione sintetica: due rette r ed s si intersecano formando angoli adiacenti di ampiezze a e 180 Le bisettrici formano con r ed s angoli di ampiezze /2 e 90 /2 L'angolo tra le bisettrici è quindi: /2 90 /2=90 cvd j I quadrilateri E, D, F sono parallelogrammi per definizione, avendo i lati opposti paralleli Quindi il triangolo DEF è formato da quattro triangoli congruenti al triangolo, e la sua area misura: rea DEF =4 rea =192 In alternativa, possiamo osservare che i triangoli e DEF sono simili (per uno qualunque dei tre criteri), con rapporto di similitudine k=2, e quindi il rapporto delle loro aree è k 2 =4 2 Poiché il vertice deve appartenere alla retta r, le sue coordinate saranno: t,t 1 Quindi il baricentro G avrà coordinate: x G = 8 t, y G = t che sono le equazioni parametriche del luogo L Per ottenere l'equazione cartesiana, ricaviamo il parametro da un'equazione: t= x 8, e lo sostituiamo nell'altra: y= x 11/ Osserviamo che il luogo L è una retta parallela ad r Per via sintetica, avremmo potuto osservare che, detto il punto medio del segmento, il baricentro G divide il segmento in due parti tali che G=2G nche considerando una diversa posizione ' su r, avremo ' G '=2G ' Per una conseguenza del teorema di Talete (o, se preferisci, per il secondo criterio di similitudine) una retta che determina su due lati di un triangolo segmenti proporzionali, è parallela al terzo lato cvd r F L b 2 G ' s G ' r b 1 D E

4 ^ PNI TETI compito n Dato il triangolo di vertici 0,, 2, 1, 2, 5, determina: a le equazioni della mediana, dell'altezza H e dell'asse relativi al lato ; b le coordinate del baricentro G, dell'ortocentro K e del circocentro D del triangolo; c l'area del triangolo; d l'equazione del luogo dei punti aventi dal circocentro D distanza uguale a D ; e le aree dei due triangoli in cui la mediana divide il triangolo ; f le coordinate del punto E tale che il quadrilatero E sia un parallelogramma 2 Il vertice di un triangolo ha coordinate 1, 1 L'altezza e la mediana uscenti dal vertice hanno rispettivamente equazioni y= 5 4 x 17 4 e y= 6 7 x 16 7 alcola le coordinate dei vertici e del triangolo Dimostra con metodo analitico che le altezze dei lati di un triangolo generico si intersecano in un punto Se lo ricordi, dimostra con metodo sintetico (euclideo) che anche gli assi dei lati di un triangolo generico si intersecano in un punto

5 ^ - orrezione compito n 2 1 a Punto medio del lato : 1, 1 Poiché ed hanno la stessa ordinata, l'equazione della mediana è semplicemente: (0, ) y= 1 oefficiente angolare : m = y x = 8 2 =4 H Sia l'altezza che l'asse relativi ad hanno coefficiente angolare: m h = 1 m = 1 4 L (2, -1) L'altezza passa per il vertice opposto, quindi la sua equazione è: y y =m h x x y 1= 1 4 x 2 y= 1 4 x 1 2 (-2, -5) L'asse passa per il punto medio, quindi: E y= 1 4 x q 1 4 q= 1 q= 5 4 y= 1 4 x 5 4 b oordinate del baricentro: x G = x x x =0, y G = y y y = 1 G 0, 1 Per determinare le coordinate dell'ortocentro, devo ricavare l'equazione di un'altra altezza on il metodo precedente, ottengo: y= x relativa a, oppure y= 1 x 4 relativa ad 2 ettendo a sistema due di tali equazioni, ricavo: K 14, 5 Per determinare le coordinate del circocentro, devo ricavare l'equazione di un altro asse Dal metodo precedente, oppure come luogo geometrico, ottengo l'asse del lato : y= x, oppure quello del lato : y= 1 2 x 1 2 La loro intersezione fornisce D 7, 2 c Scegliendo come base il lato, ricavo: = = 68=2 17 vendo m =4, e poiché q= y =, ricavo l'equazione del lato : y=4 x 4 x y =0 La misura dell'altezza relativa al lato è data dalla distanza del punto dalla retta : d, = ax by c = 8 1 a 2 b = Quindi: rea = =12 d Un punto P x, y appartiene al luogo geometrico se PD=D Poiché D= = 170, devo imporre: x 7 2 y 2 2 = 170 9, da cui ricavo: x 2 y 2 14 x 4 y 1=0 Naturalmente, il luogo è la circonferenza circoscritta al triangolo e I due triangoli hanno basi uguali e stessa altezza H, per cui le loro aree sono uguali:

6 rea =rea =6 f hiamo L 0, il punto medio del lato Il punto E è il simmetrico di rispetto ad L: { x E=2 x L x =0 y E =2 y L y = 9 L 0, 9 2 Il vertice è il punto di intersezione tra la mediana e l'altezza date: 5 4 x 17 4 = 6 7 x x 119= 24 x x=55 x=5 y= 2 Quindi 5, 2 La retta del lato deve essere perpendicolare all'altezza uscente da : m h = 5 4 m = 4 5 y y =m x x y 1= 4 5 x 1 y= 4 5 x 1 5 Essa interseca la mediana uscente da nel punto medio del lato : 4 5 x 1 5 = 6 7 x x 7= 0 x x=87 x= 2 y=1 2,1 Il vertice è il simmetrico di rispetto ad : { x =2 x x =4 y =2 y y = 4, mediana altezza (4, ) y (a, b) (-1, -1) (0, 0) (1, 0) x Dato il generico triangolo, posso, senza perdere di generalità, fare coincidere il vertice con l'origine degli assi cartesiani e scegliere l'unità di misura coincidente con la lunghezza del lato In questo modo, i vertici del triangolo avranno coordinate: 0,0, 1,0, a,b E' evidente che l'altezza relativa al lato ha equazione x=a Il lato ha coefficiente angolare: m = y x = b a 1, quindi il coefficiente angolare dell'altezza relativa sarà m h = 1 = 1 a m b Poiché l'altezza passa per il vertice, coincidente con l'origine, la sua equazione è: Ricavo poi il coefficiente angolare del lato : m = y x = b a y= 1 a b x, quello dell'altezza relativa: m h = 1 m = a b, e, imponendo il passaggio per, l'equazione dell'altezza: y= a b x 1 ettendo a sistema l'equazione (5, -2) di intersezione (ortocentro) di coordinate a, a 1 a cvd b x=a con le equazioni delle altre due altezze, ricavo lo stesso punto

7 ^F - TETI compito n Dato il triangolo di vertici 5,1, 2, 4, 1, 1, determina: a l'equazione del lato ; b l'area del triangolo; c le equazioni della mediana, dell'altezza H e dell'asse del lato ; d le coordinate del baricentro G, dell'ortocentro J e del circocentro K del triangolo, verificando che sono allineati; e l'equazione della circonferenza circoscritta al triangolo, verificando che essa passi per il vertice ; f l'equazione della bisettrice dell'angolo ; g le coordinate di un punto D tale che il quadrilatero D sia un parallelogrammo; h l'area del triangolo G 2 Due lati di un rombo si trovano sulle rette di equazione x 2 y 1=0 e 2 x y 14=0 e il punto di intersezione delle diagonali ha coordinate H 0,5 Determina i vertici del rombo

8 ^F - orrezione compito n 2 1 a Imponiamo il passaggio per i punti e : { 5 m q=1 m q= 1 6 m=2 m=1 q= 2 D Equazione del lato : y= 1 x 2 x y 2=0 b = = 40=2 10 H =d, = = rea = 1 2 H = =12 c Punto medio del lato : 2,0 Equazione mediana : m altezza =m asse = 1 m = y= x q x=2 (retta parallela all'asse delle ordinate) Passaggio per : 6 q= 4 q=2 Equazione altezza H: y= x 2 Passaggio per : 6 q=0 q=6 Equazione asse di : y= x 6 d x G = x x x =2 ; y G = y y y = 4 G 2, 4 Per determinare le coordinate dell'ortocentro, applichiamo nuovamente il metodo precedente per ricavare l'equazione di un'altra altezza; otteniamo così y= x 4 (relativa a ) o y= /5 x 8/5 (relativa ad ) y= x 2 x 4= x 2 4 x=6 x= { y=x 4 2 y= 5 2 J 2, 5 2 Per determinare le coordinate del circocentro, ricaviamo l'equazione di un altro asse, o con il metodo precedente, o vedendolo come luogo geometrico, ottenendo quindi y= /5 x /5 (di ) y= x 6 x = x 6 4 x=9 x= { 9 y=x 4 y= 4 K 9 4, 4 Per verificare che i punti G, J, K sono allineati, determiniamo l'equazione della retta GJ: { 2 m q= 4/ /2 m q= 5/2 1 2 m= 7 6 m= 7 q= 14 4 = 6 y= 7 x 6 Sostituiamo le coordinate di K nell'equazione di GJ: = 4 vera! K GJ y=x (di ) o e La circonferenza circoscritta al triangolo è il luogo dei punti P x, y che hanno dal circocentro K distanza uguale a K (o K o K): H J K G

9 alcoliamo il raggio: K= = PK =K x y 4 2 = x2 y x 2 y 5=0 Sostituiamo le coordinate di nell'equazione della circonferenza: =0 vera, 2 quindi la circonferenza passa per f La bisettrice di un angolo è il luogo dei punti P x, y che hanno la stessa distanza dai lati: x y 2 = x 2 x y 2=± 2 x 2 y= 1 2 x in quanto osserviamo dal grafico che la bisettrice richiesta ha coefficiente angolare negativo g Il vertice D è il simmetrico di rispetto al punto medio del lato : { x D =2 x x =4 2=2 y D =2 y y =0 4=4 0, 4 h rea G = 1 2 y G y x x = = =4 2 Un vertice è il punto di intersezione delle rette date: { x=1 2 y 2 4 y y 14=0 y= 12 y= 4 x=1 8=9 9, 4 Il vertice opposto ad è il simmetrico rispetto ad H: { x =2 x H x =0 9= 9 y =2 y H y =10 4=14 9,14 Gli altri due vertici possono essere determinati imponendo che i lati opposti siano paralleli o, in maniera lievemente più rapida, imponendo che le diagonali siano perpendicolari: m = y x = = 1 m D=1 y=x q q=5 y=x 5 (eq diagonale D) I vertici e D sono i punti di intersezione della diagonale D con le rette date: { y=x 5 x 2 y 1=0 x 2 x 10 1=0 x= y=2,2 ; { y=x 5 2 x y 14=0 2 x x 5 14=0 x= y=8 D,8 H D