Facoltà di Ingegneria Fisica II Compito A

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1 Facoltà di ngegneia Fisica 66 Compito A Esecizio n Un filo di mateiale isolante, con densità di caica lineae costante, viene piegato fino ad assumee la foma mostata in figua (la pate cicolae ha aggio e foma un aco con angolo al cento di / π, i due tatti ettilinei sono ciascuno di lunghezza ) Calcolae il potenziale elettico nel punto P (cento della pate cicolae) Successivamente una caica Q puntifome viene collocata nel punto P Calcolae l enegia potenziale elettostatica della caica puntifome Q ispondee quindi alle seguenti domande a caica di tutto il filo vale: 4 π ( + π ( π 4 ) ) l potenziale nel punto P geneato dalla caica dei soli due tatti ettilinei di filo vale, ispetto all dove è nullo: (π ln ) πε + (ln ) πε πε l potenziale nel punto P geneato dalla caica della pate cuvilinea di filo vale, ispetto all dove è nullo: π ) ) ( (ln πε + πε 4 enegia potenziale elettostatica della caica Q quando è posta nel punto P vale, ispetto all dove è nulla: Q Q (ln πε + πε ( π + ln πε ) Q Q ) 4 P / π

2 Esecizio n Te caiche di uguale valoe Q e ugual segno sono poste ai vetici di un tiangolo equilateo di lato, come in figua Calcolae il modulo del campo elettico al cento del tiangolo, il modulo della foza esecitata su una delle te caiche dalle alte due caiche, l enegia potenziale elettostatica del sistema e il lavoo necessaio pe spostae le caiche dalla configuazione iniziale ad una configuazione in cui le te caiche sono poste ai vetici di un tiangolo equilateo di lato / ε = 88 Valoi numeici : Q= 4 C; = m; ispondee quindi alle seguenti domande: C Nm l modulo del campo elettico al cento del tiangolo vale: N/C N/C N/C 4 N/C 6 l modulo della foza esecitata su una delle te caiche dalle alte due caiche vale: 6 N N 6 N N 7 enegia potenziale elettostatica del sistema vale: J J 4 J 44 J 8 l lavoo necessaio pe spostae le caiche dalla configuazione iniziale ad una configuazione in cui le te caiche sono poste ai vetici di un tiangolo equilateo di lato / vale: 4 J J - 4 J 6 J Esecizio Una sfea isolante di aggio pota una caica distibuita con simmetia sfeica e con densità volumica vaiabile con la distanza dal cento della sfea ρ() = α Un conduttoe sfeico cavo concentico alla sfea di aggio, avente aggio inteno e aggio esteno, ha una caica totale nulla Calcolae la caica totale della sfea isolante di aggio, e le caiche indotte sulla supeficie intena ed estena del conduttoe Calcolae inolte il campo elettico nello spazio vuoto ta la sfea isolante e il conduttoe sfeico in funzione della distanza dal cento, ed il campo elettico all inteno della sfea isolante a una distanza / dal cento ispondee quindi alle seguenti domande: 9 a caica totale della sfea isolante vale: a caica indotta sulla supeficie intena del conduttoe vale:

3 - - a caica indotta sulla supeficie estena del conduttoe vale: - l campo elettico nello spazio vuoto ta la sfea isolante e il guscio sfeico conduttoe, come funzione della distanza dal cento, vale: ε α ε ε l campo elettico all inteno della sfea isolante, a una distanza /, dal cento vale: α 4ε α ε πα ε πα ε Esecizio 4 Nella figua il conduttoe ettilineo indefinito è pecoso da una coente, e si tova nello stesso piano della spia cicolae pecosa da una coente a spia di aggio è posta in modo che il cento della spia disti una distanza d> dal filo vesi delle coenti sono indicati in figua Calcolae il campo magnetico totale al cento della spia e ispondee alle seguenti domande: 4 e linee del campo magnetico geneato dal filo ettilineo pecoso da coente sono: ciconfeenze concentiche al filo, con veso oaio se ossevate dall alto ciconfeenze concentiche al filo, con veso antioaio se ossevate dall alto linee paallele al filo, con veso dietto in alto linee paallele al filo, con veso dietto in basso l campo magnetico geneato dalla spia al cento della spia è dietto:

4 veso il basso veso l alto uscente dal piano entante nel piano 6 l campo magnetico totale al cento della spia è uguale a: π d + π d + π d π d Esecisio Te fili ettilinei infiniti e paalleli si tovano a distanza l uno dall alto, come mostato in figua fili sono pecosi da coenti di uguale intensità, i cui vesi sono mostati in figua (fili esteni coente veso l alto, filo inteno veso il basso) Calcolae la foza pe unità di lunghezza che agisce su ciascuno dei te fili, e ispondee alle seguenti domande: 7 l modulo della foza pe unità di lunghezza che agisce sul filo centale vale: 4π π 4π 8 l modulo della foza totale pe unità di lunghezza che agisce su ciascuno dei due fili esteni vale: 4π π 4π 9 a diezione della foza totale che agisce sui fili esteni è: entante nel foglio uscente dal foglio epulsiva (veso l esteno) attattiva (veso l inteno) Alti quesiti Un fascio di potoni viaggia oizzontalmente veso un ossevatoe Nell avvicinasi all ossevatoe, attavesa una egione di spazio con un campo magnetico unifome dietto veticalmente veso il basso Tale campo deflette il fascio di potoni veso l alto veso il basso veso la desta dell ossevatoe veso la sinista dell ossevatoe

5 Due condensatoi, ispettivamente di capacità C e C, collegati in seie, sono equivalenti ad un singolo condensatoe di capacità C + C CC C + C CC C C C + C C C m Uno ione di caica q=+e enta con una velocità di in una egione dove vi è un campo magnetico s unifome di intensità T a velocità dello ione è otogonale alla diezione del campo magnetico 9 icodando che e = 6 C, la foza sullo ione isulta: N 4 96 N 6 8 N N Un filo, pecoso da una coente di A, è posto otogonalmente alla linee di foza di un campo magnetico unifome B Su un tatto di questo filo, lungo 8 cm, si misua una foza di N l campo magnetico ha modulo 8 T 4 T T mt 4 Una bobina di spie ha un aea di 8 mm ed è pecosa da una coente di a bobina è collocata con il suo asse pependicolamente alle linee di foza di un campo magnetico unifome B di intensità T Calcolae il momento meccanico sulla bobina m sulla bobina, icodando che m = S B : Nm 4 Nm 89 Nm Nm l coefficiente di mutua induzione ta due cicuiti è M=8mH Deteminae il modulo della fem indotta nel ka secondo cicuito se la coente nel pimo cicuito cambia al itmo di 4 : s mv 8V V V

6 Soluzioni Esecizio n Esecizio n Esecizio n Essendo la caica distibuita unifomemente sul filo con densità lineae di caica, la caica totale saà pai a pe la lunghezza del filo Quindi la caica totale è pai a ( + π ) dl l potenziale nel punto P geneato da un tatto elementae di filo è uguale a dv = ntegando quest espessione su ciascun tatto ettilineo si ottiene (ln ) l potenziale geneato da entambi i πε tatti ettilinei è quindi (ln ) ntegando sul tatto cicolae, otteniamo invece ( π ) 4 enegia elettostatica di una caica posta nel punto P si calcola moltiplicando la caica pe il potenziale elettostatico nel punto P Pe motivi di simmetia, sia la componente x che quella y del campo elettico sono nulle 6 l modulo della foza esecitata su una caica dalle alte due è uguale pe le te caiche Consideando la caica posta in alto nel tiangolo, la componente x della foza è nulla pe simmetia a componente y della foza esecitata da una sola delle alte due caiche è uguale al modulo della foza di Coulomb agente ta le due caiche, Q πε 4, moltiplicato pe il coseno dell angolo fomato dalla congiungente le due o Q caiche con l asse y, cos( 6 ) = a foza totale è data quindi da 7 enegia potenziale elettostatica del sistema è uguale alla metà della somma delle enegie elettostatiche di ciascuna caica nel campo geneato da tutte le alte enegia elettostatica di ciascuna caica è uguale a Q πε enegia elettostatica del sistema è uguale quindi a Q 8 l lavoo necessaio pe spostae le caiche dalla configuazione iniziale ad una configuazione in cui le te caiche sono poste ai vetici di un tiangolo equilateo di lato / è uguale alla diffeenza ta le enegie elettostatiche del sistema nelle due configuazioni E uguale quindi a Q ( / ) Q Q = 9 a caica totale della sfea isolante vale ρ( ) d 4π = Applicando il teoema di Gauss a una supeficie tutta intena al guscio sfeico conduttoe, attaveso la quale il flusso del campo elettico è nullo, otteniamo che la caica indotta sulla supeficie intena del guscio sfeico è uguale e contaia alla caica della sfea isolante Essendo la caica totale del guscio sfeico pai a zeo, la caica indotta sulla supeficie estena deve essee uguale e contaia a quella indotta sulla supeficie intena l campo elettico nello spazio vuoto ta la sfea isolante e il guscio sfeico conduttoe, come funzione della distanza dal cento, si calcola applicando il teoema di Gauss

7 Esecizio n4 l campo elettico all inteno della sfea isolante, a una distanza / dal cento si calcola ugualmente applicando il teoema di Gauss 4 e linee del campo magnetico geneato dal filo ettilineo pecoso da coente sono ciconfeenze concentiche al filo, con veso antioaio se ossevate dall alto l campo magnetico geneato dalla spia al cento della spia è dietto in diezione uscente dal piano 6 l campo magnetico totale al cento della spia è uguale alla somma vettoiale di quello geneato dal filo ettilineo indefinito, più quello geneato dalla spia Pe la pima legge di aplace si tova che il pimo è uguale a, mente il secondo è uguale a πd con veso opposto Esecizio n 7 l modulo della foza pe unità di lunghezza che agisce sul filo centale è uguale a zeo pe simmetia 8 Pe la seconda legge di aplace, la foza pe unità di lunghezza che agisce su uno dei due fili esteni, esecitata dal filo centale, è uguale a π esecitata dall alto filo lateale è uguale invece a lunghezza è quindi 4π ed è di tipo epulsivo a foza pe unità di lunghezza 4π ed è di tipo attattivo a foza totale pe unità di 9 a foza totale che agisce su ciascuno dei due fili esteni è dietta veso l esteno (epulsiva)