Modellistica di sistemi elettrici e magnetici

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1 Modellistica di sistemi elettrici e magnetici Interazione tra cariche elettriche Legge di Coulomb q q 2 F d F F = q q 2 4 π ǫ d 2, ǫ = ǫ 0 ǫ r ǫ : permettività del mezzo ǫ 0 : permettività del vuoto ǫ : costante dielettrica (numero puro) Campo elettrico: forza che agisce sull unità di carica E = F q Una particella carica posta in un campo elettrico possiede energia potenziale in quanto il campo esercita una forza su di essa ed occorre effettuare lavoro per spostarla da una posizione ad un altra. Il potenziale elettrico in un punto è l energia potenziale posseduta da una carica unitaria posta in quel punto. oberto Diversi Controlli Automatici T p. /35

2 Differenza di potenziale elettrico: lavoro necessario per spostare una carica unitaria E A ds B V = V A V B = B A E ds = E = grad V In una rete elettrica, il potenziale di un nodo è valutato rispetto ad un nodo scelto come riferimento (es. massa), al quale viene di solito attribuito valore nullo del potenziale. Effetti del campo elettrico sulla materia: conduttori semiconduttori isolanti dielettrici oberto Diversi Controlli Automatici T p. 2/35

3 esistenze elettriche J E l V S Legge di Ohm (conduttori ohmici): J : densità di corrente J(t) = γ E(t) = E(t) ρ γ : conducibilità elettrica del conduttore ρ : resistività elettrica del conduttore A I(t) B Corrente: I = dq dt =J S ρ l esistenza: = S V (t) V (t) = V A V B = I(t) Potenza dissipata (sotto forma di calore): P(t) = V (t) I(t) Se il conduttore segue la legge di Ohm: P = I 2 = V 2 /. oberto Diversi Controlli Automatici T p. 3/35

4 esistenze in serie e in parallelo 2 n 2 n eq = n i= i eq = n i= i Influenza della temperatura T sulla resistenza: (T) = 0 ( + α T), T = T T 0, 0 = (T 0 ) dove T 0 è la temperatura di riferimento (di solito 20 C). Esistono materiali conduttori che non seguono la legge di Ohm: V = f(i) Esempi: conduttori non ohmici (come i filamenti delle lampade ad incandescenza), i superconduttori (non seguono la legge di Ohm alle basse temperature), i semiconduttori (il comportamento dipende dal verso del campo elettrico). oberto Diversi Controlli Automatici T p. 4/35

5 Generatori di tensione e corrente Un generatore elettrico è un dispositivo in grado di generare una forza elettromotrice ovvero di spostare le cariche libere presenti nei conduttori che costituiscono il circuito del generatore stesso. In genere, l energia elettrica viene ottenuta trasformando energia di altro tipo (meccanico, chimico, termico, etc.). Esempi: dinamo, pile, accumulatori, termocoppie, pannelli fotovoltaici. Generatori di tensione i V (t) V (t) ideale reale Generatori di corrente I(t) I(t) i ideale reale oberto Diversi Controlli Automatici T p. 5/35

6 Principi di Kirchhoff I principio di Kirchoff: in ciascun nodo di una rete elettrica è nulla la somma algebrica delle correnti che confluiscono al nodo stesso (conservazione della carica). II principio di Kirchoff: in ciascuna maglia (percorso chiuso) di una rete elettrica è nulla la somma algebrica delle cadute di tensione lungo la maglia stessa (conservazione dell energia). v 2 i 4 i i 2 i 3 v v 3 v 4 i i 2 + i 3 i 4 = 0 v v 2 + v 3 v 4 = 0 Teorema: si consideri una rete elettrica generica, nella quale sono presenti n nodi ed r rami. Per determinare le r correnti di ramo è necessario utilizzare un numero di equazioni di maglia pari a m = r n +. Le rimanenti r m saranno equazioni di nodo. oberto Diversi Controlli Automatici T p. 6/35

7 Esempio : partitore v u (t) v y (t) = 2 v y (t) v u (t) Esempio 2: ponte di Wheatstone v u (t) v y (t) 3 v y (t) = ( ) v u (t) oberto Diversi Controlli Automatici T p. 7/35

8 Capacità elettriche: condensatori Un condensatore è costituito da due corpi conduttori con interposto un materiale dielettrico. In esso può essere accumulata carica elettrica. Il lavoro fatto per caricare il condensatore viene immagazzinato sotto forma di energia elettrica. +Q Q E D Mezzi lineari: D(t) = ǫ E(t) = Q(t) = C V (t) D : induzione elettrica C : capacità elettrica V I(t) C I(t) = C dv (t) dt V (t) oberto Diversi Controlli Automatici T p. 8/35

9 Energia immagazzinata dal campo elettrico: E e = V dq = Q2 2 C = 2 C V 2 La capacità elettrica dipende dalla geometria delle armature e dalla natura del mezzo dielettrico. Esempi: ǫ d A ǫ r 2 r l C = ǫ A d C = 2 π l ǫ log r 2 r Mezzi dielettrici non lineari: Esempi: materiali ferroelettrici, elettreti. D = f(e) = Q = f(v ) oberto Diversi Controlli Automatici T p. 9/35

10 Condensatori in serie e in parallelo C C 2 C n C C 2 C n C eq = n i= C i C eq = n i= C i Interazioni magnetiche Un campo magnetico può essere generato da un magnete permanente (calamita) oppure da correnti elettriche. Anche la terra genera un campo magnetico (campo magnetico terrrestre). In realtà le interazioni elettriche e magnetiche sono solo due diversi aspetti di una proprietà della materia, la sua carica elettrica: il magnetismo è una manifestazione di cariche elettriche in moto. Sistemi elettrici e magnetici = sistemi elettromagnetici. S N S N S N N S oberto Diversi Controlli Automatici T p. 0/35

11 Campo magnetico generato da una corrente rettilinea I(t) r H H r + H(t) Formula di Biot Savart: H(t) = I(t) 2 π r s, dove s è il versore tangente alle linee di campo. oberto Diversi Controlli Automatici T p. /35

12 Effetti del campo magnetico sulla materia Per i mezzi lineari (diamagnetici, paramagnetici ordinari) vale la relazione B(t) = µ 0 µ r H(t) = µ H(t) dove B è l induzione magnetica, µ è la permeabilità magnetica del mezzo, µ 0 la permeabilità del vuoto e µ r la permeabilità relativa (numero puro). Per i mezzi non lineari: B(t) = f(h(t)) Esempio: materiali ferromagnetici, caratterizzati dal ciclo di isteresi, utilizzati per realizzare magneti permanenti. Flusso magnetico: è il flusso del vettore induzione magnetica B. B S Φ(t) = B(t) S cosα α : angolo tra il vettore B e la normale alla superficie S. oberto Diversi Controlli Automatici T p. 2/35

13 Circuiti magnetici: Legge di Hopkinson Teorema della circuitazione di Ampère H dl = I c, l dove I c è la corrente concatenata con il circuito magnetico di lunghezza l, detta anche forza magnetomotrice. Per i mezzi lineari (B = µ H) vale la Legge di Hopkinson: H dl = Φ = I c = Φ, dove è la riluttanza del circuito magnetico. l Esempio. Φ(t) I (t) N N 2 l, S I 2 (t) N I (t) N 2 I 2 (t) = Φ(t), N, N 2 : numeri di spire l : lunghezza circuito S : sezione circuito = l µ S oberto Diversi Controlli Automatici T p. 3/35

14 Legge dell induzione elettromagnetica Tutte le volte che varia nel tempo il flusso magnetico Φ c concatenato con un circuito elettrico, nel circuito stesso si induce una f.e.m. data da e(t) = dφ c dt Il verso di tale f.e.m. è sempre tale da opporsi alla causa che l ha generata. Esempio. Si consideri un conduttore rettilineo di lunghezza l che si muove all interno di un campo magnetico di induzione B costante ortogonale al conduttore stesso. B Φ c (t) = B S = B l s(t) l e(t) e(t) = B l ṡ(t) = B l v(t) s(t) i(t) L espressione e = B l v è detta anche legge dei generatori. oberto Diversi Controlli Automatici T p. 4/35

15 Esempio 2. Si consideri una spira di sezione S che ruota all interno di un campo magnetico di induzione B costante. ω(t) e(t) Φ c (t) = B S cosθ S θ(t) B e(t) = B l sinθ θ(t) = B l sinθ ω(t) i(t) La corrente elettrica genera sempre un campo magnetico = ogni circuito elettrico è autoconcatenato con il proprio flusso magnetico. Se due o più circuiti elettrici sono mutuamente accoppiati il flusso magnetico generato da ogni circuito si concatena anche con gli altri = fenomeni di auto e mutua induzione. oberto Diversi Controlli Automatici T p. 5/35

16 Inerzie elettriche: induttanze L induttanza può rappresentare fenomeni di auto e mutua induzione naturalmente presenti nei circuiti elettrici oppure dispositivi volutamente realizzati per generare un campo magnetico di una certa entità quali induttori od elettromagneti. Solenoide Solenoide toroidale I(t) L Mezzi lineari: B(t) = µ H(t) = Φ c (t) = L I(t) V (t) V (t) = L di(t) dt oberto Diversi Controlli Automatici T p. 6/35

17 Energia immagazzinata dal campo magnetico: E m = V I dt = I dφ c = 2 L I2 Esempio: solenoide toroidale I(t) I(t) N I(t) = Φ(t), = l µ S Φ(t) l = 2 π r, dove r è il raggio medio dell anello N Φ c (t) = N Φ(t) = µ N2 S l I(t) = L = µ N2 S l Induttanze in serie e in parallelo. Valgono le stesse regole delle resistenze: L L 2 L L 2 L eq = L + L 2 L eq = L L 2 L + L 2 oberto Diversi Controlli Automatici T p. 7/35

18 Mutua induzione I I 2 V V 2 L L 2 M (a) I I 2 V V 2 L L 2 M (b) Φ c = L I + M I 2 (a) Φ c2 = L 2 I 2 + M I Φ c = L I M I 2 (b) Φ c2 = L 2 I 2 M I Si ha dunque: V = L I + M (a) V 2 = L 2 I2 + M I 2 I V = L I M I 2 (b) V 2 = L 2 I2 + M I Energia immagazzinata dal campo magnetico: E m = (I dφ c + I 2 dφ c2 ) = 2 L I L 2 I2 2 + M I I 2 oberto Diversi Controlli Automatici T p. 8/35

19 Esempio. Φ I I 2 N I + N 2 I 2 = Φ φ d = k I, φ d2 = k 2 I 2 N φ d φ d2 N 2 φ d, φ d2 : flussi dispersi (circuiti richiusi in aria) Φ c = N Φ + φ d, Φ c2 = N 2 Φ + φ d2 L = N2 +k, L 2 = N2 2 +k 2, M = N N 2 In generale, si ha: M < L L 2 Se i flussi dispersi sono nulli (tutto il flusso generato dalla corrente si concatena con l anello): M = L L 2 In tale caso (ideale) si parla di accoppiamento perfetto. oberto Diversi Controlli Automatici T p. 9/35

20 Modelli nello spazio degli stati di reti elettriche Esempio. x 2 (t) L y(t) u(t) x (t) C x 3 (t) C C ẋ = u x x 2 x L ẋ 2 x 3 2 x 2 = 0 C 2 ẋ 3 = x 2 x 3 3 = ẋ = x C x 2 C + ẋ 2 = x L 2 L x 2 x 3 L ẋ 3 = x 2 C 2 x 3 3 C 2 u C y = x 3 3 oberto Diversi Controlli Automatici T p. 20/35

21 A = C = [ C C 0 2 L L L C 2 3 C 2 ] 3 B = C 0 0 Esempio 2. x (t) L L ẋ = u x x 2 2 C ẋ 2 = x x 2 eq u(t) C x 2 (t) y = x 2 2 eq x dove y(t) eq = oberto Diversi Controlli Automatici T p. 2/35

22 A = L L C eq C B = L 0 C = [ 0 ] eq 2 eq 4 Esempio 3. x 2 (t) L 2 x 4 (t) L 2 u(t) x (t) C x 3 (t) C 2 c y(t) C ẋ = u x 2 L ẋ 2 = x x 2 x 3 C 2 ẋ 3 = x 2 x 4 L 2 ẋ 4 = x 3 2 x 4 c x 4 y = c x 4 oberto Diversi Controlli Automatici T p. 22/35

23 Esempio 4. u(t) C x (t) 2 x 2 (t) L y(t) C ẋ = L ẋ 2 + x 2 2 u C ẋ x L ẋ 2 = 0 y = Lẋ 2 Le equazioni di stato non si ricavano direttamente già disaccoppiate = loop algebrico. isolvendo il loop si ottiene: A = C = [ ( + 2 ) C 2 ( + 2 ) C 2 ( + 2 ) L 2 ( + 2 ) L B = ] D = ( + 2 ) C 2 ( + 2 ) L oberto Diversi Controlli Automatici T p. 23/35

24 Trasformatore elettrico Φ(t) I (t) I 2 (t) N I N 2 I 2 = Φ V (t) N φ d φ d2 N 2 V 2 (t) φ d = k I, φ d2 = k 2 I 2 Φ c = N Φ + φ d Φ c2 = N 2 Φ + φ d2 V = Φ c = k I + N Φ = ( k + N2 V 2 = Φ c2 = k 2 I2 + N 2 Φ = ( k2 + N2 2 ) I N N 2 I 2 ) I2 + N N 2 I Casi ideali: φ d, φ d2 = 0 = V V 2 = N N 2 = 0 = I I 2 = N 2 N oberto Diversi Controlli Automatici T p. 24/35

25 Esempio 5. I (t) I 2 (t) 2 u(t) L L 2 c y(t) x = I x 2 = I 2 M u = x + L ẋ M ẋ 2 L 2 ẋ 2 + ( 2 + c ) x 2 M ẋ = 0 y = c x 2 isolvendo il loop algebrico si ottiene: A = L 2 L L 2 M ( 2+ c ) M 2 L L 2 M 2 M L L 2 L M 2 ( 2 + c ) L L 2 M 2 B = L 2 L L 2 M 2 M L L 2 M 2 C = [ 0 c ] Se M = L L 2 = accoppiamento perfetto = modello di ordine oberto Diversi Controlli Automatici T p. 25/35

26 + Modellistica di sistemi elettrici e magnetici Amplificatori operazionali L amplificatore operazionale è un amplificatore elettronico ad alto guadagno utilizzato per costruire circuiti elettrici il cui comportamento ingresso uscita viene imposto mediante un collegamento in retroazione negativa attraverso un opportuna rete elettrica esterna. È un componente fondamentale nella realizzazione di circuiti di amplificazione ed elaborazione analogica. È un componente attivo. V + cc V u = V + V + V + V u V Z u G V u? Z y V y + = V cc Spesso l amplificatore operazionale viene utilizzato con l ingresso non invertente collegato a massa. oberto Diversi Controlli Automatici T p. 26/35

27 Amplificatore operazionale ideale Z u Z y 0 G Poiché V y = G(V + V ) ne segue che V + V 0 = V + V = corto circuito virtuale La corrente entrante è considerata nulla. Se l ingresso non invertente è collegato a massa V y = G V = V 0 = massa virtuale Esempio: collegamento in retroazione Z 2 I 2 i = 0 = I = I 2 V u I Z i massa virtuale V y V u Z = V y Z 2 = V u = Z 2 Z V u oberto Diversi Controlli Automatici T p. 27/35

28 Invertitore Invertitore con guadagno variabile 2 α 2 V u (t) V y (t) V u (t) V y (t) V y (t) = 2 V u (t) Integratore V y (t) = α 2 V u (t) Derivatore C V u (t) V y (t) V u (t) C V y (t) V y (t) = C t 0 V u (t) dt + V u (0) V y (t) = C dv u(t) dt oberto Diversi Controlli Automatici T p. 28/35

29 Sommatore Amplificatore differenziale f f V (t) V 2 (t) 2 V y (t) V (t) V 2 (t) + V y (t) f V n (t) N V y (t) = N i= f i V i (t) V y (t) = f ( V (t) V 2 (t) ) Modelli di reti elettriche con amplificatori operazionali ideali: corrente entrante nulla; V + = V (corto circuito virtuale); se V + = 0 V = 0 (massa virtuale). oberto Diversi Controlli Automatici T p. 29/35

30 Esempio. u(t) x (t) L y(t) 2 C x 2 (t) u = x + L ẋ C ẋ 2 = x = 2 x 2 ẋ = L x + u L ẋ 2 = x C + x 2 2 C y = x 2 A = C = L 0 B = C 2 C [ ] 0 L 0 oberto Diversi Controlli Automatici T p. 30/35

31 Esempio 2. u(t) y(t) C C x (t) x 2 (t) C ẋ = u x + x 2 C ẋ 2 = C ẋ + x = ẋ = x C x 2 C ẋ 2 = x 2 C u C A = C C B = 0 C [ ] C = u C C C y = x + x 2 oberto Diversi Controlli Automatici T p. 3/35

32 Circuiti elettrici non lineari Diodo i(t) v(t) i(t) i(t) i(t) V γ v(t) v(t) I 0 v(t) i = 0 v V γ i > 0 v = V γ i = v 2 v < 0 v v 0 i(t) = I 0 ( e λ v(t) ) (a) (b) (c) oberto Diversi Controlli Automatici T p. 32/35

33 Esempio. u(t) x(t) C (b) ẋ = u x C u x (c) ẋ = u x 2 C u < x I 0 C eλ (u x) I 0 C Esempio 2. x (t) L u(t) x 2 (t) C ẋ = L x x 2 L + u L ẋ 2 = x C I 0 C eλ x 2 + I 0 C oberto Diversi Controlli Automatici T p. 33/35

34 Esempio 3. C C 2 x (t) x 2 (t) 2 3 u(t) i(t) N. L. y(t) v(t) N. L.: i(t) = k v(t) + k 2 v 3 (t) ẋ = x 2 C u C ẋ 2 = k C 2 x k 2 C 2 x 3 x 2 2 C 2 y = x 2 Nota: l elemento non lineare è una resistenza elettrica in quanto il grafico v i giace nel primo e terzo quadrante. oberto Diversi Controlli Automatici T p. 34/35

35 Esempio 4: oscillatore di Van der Pol x 2 (t) C x (t) N. L. L i(t) v(t) = α ( i 3 (t) 3 ) i(t), α > 0 v(t) ẋ = x 2 C ẋ 2 = x L + α L x 2 α 3L x3 2 Nota: l elemento non lineare non è una resistenza elettrica in quanto il grafico v i giace anche nel secondo e quarto quadrante. È dunque un elemento attivo. oberto Diversi Controlli Automatici T p. 35/35