piano inclinato liscio.notebook March 17, 2013 IL PIANO INCLINATO FONTE PER L'IMMAGINE: inclined planes.

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1 IL IANO INCLINATO FONTE ER L'IMMAGINE: inclined planes.html

2 MOTO DI UN CORO CHE SCIVOLA SU UN IANO INCLINATO RIVO DI ATTRITO C un corpo di massa m scivola su un piano inclinato, liscio, sotto l'azione solo del suo peso. Il piano è inclinato di un angolo α rispetto all'orizzontale, ha un'altezza h e una lunghezza l (quindi h=l senα) A B Il peso del corpo è una forza diretta verticalmente. Si può scomporre in due componenti, una parallela al piano inclinato e una perpendicolare ad esso. poiché l'angolo compreso tra e è 90 α (nella figura principale si osserva che e AC sono paralleli e che lo sono anche e BC, dunque formano angoli uguali) se ne deduce che = senα e che = cos α La componente perpendicolare è equilibrata dalla reazione vincolare, dunque l'unica forza non equilibrata che agisce sul corpo è la componente parallela. Applicando la seconda legge della dinamica si ottiene e poiché = sen α = mg sen α si ottiene da cui o anche a= che rappresenta l'accelerazione con la quale il corpo scende sul piano inclinato. Così come avviene per i corpi in caduta libera, l'accelerazione non dipende dalla massa del corpo. Inoltre, poiché l'altezza del piano è sempre inferiore alla lunghezza (in un triangolo rettangolo un cateto è sempre minore dell'ipotenusa), il rapporto h/l è inferiore a 1, dunque l'accelerazione sul piano inclinato è inferiore all'accelerazione di gravità.

3 Lasciamo cadere ora lo stesso oggetto da una altezza h, in caduta libera, e dalla sommità di un piano inclinato liscio, di altezza h. Quale dei due corpi arriverà a terra più velocemente? Quale impiegherà un tempo minore? Le montagne russe più alte d'europa, in Spagna v(0)=0 v(0)=0 v=v f v=v f Il tempo impiegato a scendere lungo il piano inclinato è l/h volte maggiore rispetto al tempo che impiega a cadere in caduta libera dall'altezza h. La velocità finale è invece la stessa. Infatti, nel moto di caduta libera sappiamo che essa è data da Nella discesa lungo il piano inclinato, poiché l'accelerazione è a=gh/l la velocità dopo t secondi sarà v=ght/l. Ma poiché l=1/2at 2, dunque t= sostituendo nell'espressione della velocità si ottiene ancora una volta dunque la velocità alla fine della discesa lungo il piano inclinato è la stessa raggiunta lungo la discesa libera in verticale. Inoltre, così come avviene per l'accelerazione, anche il tempo e la velocità di caduta sono indipendenti dalla massa del corpo, questo ovviamente se si suppone nulla la resistenza dell'aria.

4 ESEMIO Un piano è inclinato di 30 e alto 2 metri. Sulla sommità è posto un corpo di massa 10kg che scivola in assenza di attrito. Determinare il tempo impiegato dal corpo a giungere alla base del piano e la velocità con la quale vi arriva. a= g sen α = =4.9 m/s 2. oiché s= e s = 4 metri si ottiene 1.3 s La velocità finale sarà:

5 er gli oggetti che rotolano, anziché scivolare, la cosa si complica un po'. Quando proviamo a far rotolare un oggetto, questo oppone una certa resistenza (detta momento di inerzia), che dipende dalla massa del corpo e da come essa è distribuita. iù la massa di un corpo è distribuita lontano dall'asse di rotazione, più il corpo oppone resistenza alla rotazione. Sfera piena o cava, con le stesse dimensioni: quale arriva prima al suolo? Cilindro pieno o vuoto, con le stesse dimensioni: quale arriva prima al suolo? Cilindro più grande o cilindro più piccolo: quale arriva prima al suolo? e tutti insieme? quale arriva prima? l'immagine è all'indirizzo: 14/ch10/10_figures/Figure10_17.jpg I corpi la cui massa è più vicina all'asse di rotazione hanno il momento di inerzia più piccolo; questo comporta che giungano più rapidamente alla fine del piano inclinato. Quindi la sfera piena arriva prima di quella cava e il cilindro pieno arriva prima di quello cavo. er il confronto sfera cilindro, supposto che siano entrambi pieni e abbiano lo stesso raggio, si hanno i seguenti valori: sfera cilindro quindi la sfera, avendo momento di inerzia inferiore, arriva prima del cilindro. Le velocità sono: sfera cilindro