Soluzioni della prova scritta Fisica Generale 1

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1 Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica, dell Informazione, Elettronica e Informatica Canale 2 (S. Amerio, L. Martucci) Padova, 26 giugno 20 Soluzioni della prova scritta Fisica Generale Problema Una palla di massa m A viene lanciata con velocità v 0 = v 0 u x contro una porta rettangolare omogenea di larghezza L e massa m B = 6m A, vincolata a ruotare attorno al lato verticale mediante due cardini (si veda la figura). La palla procede in direzione ortogonale alla porta e la urta la porta esattamente nel suo centro C. L urto è perfettamente elastico, la porta è inizialmente in quiete ed è aperta di un angolo θ. [Si ricordi che il momento d inerzia della porta rispetto all asse verticale passante per il centro di massa è I CM = 2 m BL 2.]. Calcolare la velocità v (modulo, direzione, verso) della palla dopo l urto. 2. Calcolare l impulso totale J c esercitato dai cardini sulla porta nell urto.. I cardini esercitano un attrito dinamico di momento M a = M a u z costante (con M a > 0 se la porta, vista dall alto, ruota in senso antiorario), rispetto all asse passante fra di essi. Calcolare l angolo massimo θ max oltre il quale la porta non riesce a chiudersi dopo l urto. Solo dopo aver trovato le formule generali, valutare i risultati numerici per v 0 = 0 m/s, m A = kg, m B = 6kg, L = m e M att = 20 N m. Soluzione:. Immediatamente dopo l urto la palla ha una velocità v = v u x e la porta ha una velocità angolare ω = ω u z. Dalla conservazione dell energia cinetica e della componente z del momento angolare, rispetto all asse passante per i cardini, otteniamo il sistema di equazioni 2 m A v0 2 = 2 m A v I z ω 2 v0 2 = v L 2 ω 2 2 m A v 0 L = 2 m A v L + I z ω v 0 = v + 4 L ω

2 dove abbiamo usato I z = m B L 2 = 2m A L 2 per il momento d inerzia della porta rispetto all asse passante per i cardini. Risolvendo questo sistema di equazioni si ottiene ed inoltre che ci dà la risposta al primo quesito. ω = 4v 0 9L v = 7 9 v 0 () 2. Dalla () otteniamo la velocità del centro di massa della porta subito dopo l urto v CM = 2 9 v 0 u x L impulso esercitato dai cardini è uguale alla variazione della quantità di moto totale del sistema palla+porta: J c = P = m A v + m B v CM m A v 0 = 4 9 m A v 0 u x. Integrando I z α = 2 I dω 2 z dθ = M a rispetto a θ troviamo che la porta si ferma dopo un angolo Izω2 2M a, che ci dà la risposta all ultimo quesito θ max = I zω 2 = 6m Av0 2 2M a 8M a Alternativamente, si può usare il teorema dell energia cinetica. I risultati numerici per v 0 = 0 m/s, m A = kg, m B = 6kg, L = m e M att = 20 N m. sono: v 7.8 ms u x Jc 7.8 N s u x θ max 0.99 rad

3 Problema 2 Un cilindro pieno omogeneo di raggio R e massa m rotola senza strisciare lungo la superficie di un cuneo. L angolo di inclinazione del piano inclinato del cuneo rispetto al piano orizzontale su cui è appoggiato il cuneo è θ = 0. Il cilindro parte da fermo, da un altezza h rispetto al piano orizzontale (si veda la figura).. Si supponga che il cuneo sia fissato al piano orizzontale. Calcolare il tempo t necessario al cuneo per raggiungere il piano orizzontale (si assuma che R h). Solo dopo aver trovato la formula generale, valutare il risultato numerico per h = m. 2. Supponiamo ora che il cuneo abbia massa m = m, che sia solo appoggiato al piano orizzontale e che il coefficiente di attrito tra di essi sia µ s. Calcolare il minimo valore di µ s affinché il cuneo rimanga fermo durante la discesa del cilindro.. (Facoltativo) Consideriamo infine la stessa situazione del quesito 2, ma con µ s = 0. Calcolare l accelerazione A del cuneo. Svolgimento:. Introduciamo una base di versori u x, u y come in figura. Sul cilindro agiscono la reazione vincolare N = Nu y e la forza di attrito statico F as = F as u x, entrambe causate dall interazione con il cuneo e applicate al punto di contatto con esso, e la forza peso F g = mg(sin θu x + cos θ u y ) = 2 mg(u x + u y ), applicata al centro di massa del cilindro. Imponendo l equilibrio nella direzione u y si ottiene N = 2 mg u y. L accelerazione a = au x e l accelerazione angolare α = αu z del disco sono quindi determinate dalle equazioni ma = F as,x + F g,x = F as + 2 mg e I zα = Mz tot = M as,z = RF a, con I z = 2 mr2. Imponendo la condizione di puro rotolamento a = αr, otteniamo a = g F as = 6 mg Dopo un tempo t il centro di massa del cilindro ha percorso una distanza x = 2 a( t)2. Imponendo x = = 2h otteniamo la risposta al primo quesito: h sin θ t = 2h g Usando il valore h = m si ottiene: t. s.

4 2. Introduciamo un nuovo sistema di versori u x, u y come in figura. Sul cuneo agiscono la forza peso F g = m g u y = mg u y, la forza di attrito statico F as = F asu x, la reazione vincolare N = N u y, e la forza F as N = mg( 6 u x + 2 u y) di reazione del cilindro, che nel nuovo sistema di versori si scrive F as N = 2 mg u x 5 6 mg u y Imponendo l equilibrio otteniamo N = 2 6 mg u y e F as = 2 mg u x. Per definizione di attrito statico, F as µ s N, da cui µ s Scriviamo A = A u x e studiamo il moto del cilindro nel sistema di riferimento non inerziale solidale con il cuneo. In questo sistema di riferimeto, sul cilindro agisce anche la forza apparente di trascinamento F = mau x = 2 ma( u x u y ), da considerare applicata al centro di massa. Tenendo conto di questa differenza, possiamo ripetere i passaggi seguiti nella risposta al primo quesito per determinare N = 2 m( g + A)u y Fas = 6 m(g A)u x Usando la stessa notazione introdotta nella risposta al quesito 2, sul cuneo agische dunque una forza risultante R = N + F g N F as = 2 m( g + A)u x Da R = m A = ma = ma u x otteniamo quindi: A = g ms 2 4

5 Problema Una macchina M a gas ideale reversibile funziona scambiando calore con due sorgenti isoterme T e T 2. Ad ogni ciclo produce il lavoro W. Tale lavoro viene utilizzato per far funzionare un sistema S, i cui ingranaggi dissipano una percentuale x di lavoro a causa dell attrito. Gli ingranaggi vengono raffreddati a contatto con la sorgente T 2. Per T = 600 K, T 2 = 00 K, W = 00 J e x = 0.5, calcolare:. il rendimento della macchina costituita da M e S; 2. la variazione di entropia dell universo ad ogni ciclo.. Supponendo invece che gli ingranaggi vengano raffreddati con una massa m = kg di ghiaccio alla temperatura iniziale T = 250 K, calcolare dopo quanti cicli il ghiaccio è completamente sciolto. Svolgimento: M ed S complessivamente assorbono il calore Q dalla sorgente a a temperatura T e cedono Q 2 + Q 2 alla sorgente a temperatura T 2, dove Q 2 e Q 2 sono i calori ceduti da M ed S rispettivamente.. il rendimento della macchina costituita da M e S è η = W Q, dove W è il lavoro effettivamente prodotto, W = W ( x) = 65 J. Ricaviamo Q da η M = W Q ed osservando che M è una macchina reversibile che lavora tra le due sorgenti a temperatura T e T 2, e quindi il suo rendimento è η M = T 2 T = 0.5. Si ottiene Q = W η M = 200 J. Il rendimento complessivo di M e S è η = W Q = La variazione di entropia dell universo è dovuta solo al calore Q 2 assorbito dalla sorgente a temperatura T 2, dato che M è reversibile. Q 2 = W x = 5 J, da cui S U = 0.2 J/K, positiva.. per sciogliere il ghiaccio bisogna fornire il calore Q = mc g (T 0 T ) + mλ J. Dato che ad ogni ciclo il ghiaccio assorbe Q 2 = 5 J, dopo n = Q/ Q cicli il ghiaccio sarà completamente sciolto. 5