Anno Accademico Fisica I 12 CFU Esercitazione n.7: Dinamica dei corpi rigidi

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1 Anno Accademico Fisica I 12 CFU Esercitazione n.7: Dinamica dei corpi rigidi Esercizio n.1 Una carrucola, costituita da due dischi sovrapposti e solidali fra loro di massa M = 20 kg e m = 15 kg e raggi R = 0.5 m e r = 0.4 m, è incernierata nel suo centro, coincidente con i centri dei due dischi e sostiene due masse m 1 = 6 kg e m 2 = 5 kg come mostrato in figura. Supposto che il sistema, inizialmente in quiete, venga lasciato libero di muoversi, si determinino l accelerazione delle masse m 1 e m 2, specificando quale fra le due masse sale. m 1 m 2 Esercizio n.2 Un cilindro di raggio R/4 rotola senza strisciare dentro un tubo di raggio R. Nella metà di destra del tubo l attrito è nullo. Se all istante iniziale il cilindro è fermo e la quota del centro di massa è R/2 determinare la posizione di arrivo del cilindro e la sua velocità angolare Parte senza attrito R R/2 Esercizio n.3 Un disco omogeneo che ruota uniformemente intorno ad un asse verticale con velocità angolare ω = 40 s -1 viene lasciato cadere su di un altro disco coassiale e inizialmente fermo. I due dischi ingranano ed assumono rapidamente la stessa velocità angolare. Sapendo che le masse dei due dischi sono uguali e che il raggio del secondo è doppio del raggio del primo, calcolare la velocità angolare del sistema e quale percentuale dell energia cinetica iniziale viene dissipata

2 Esercizio n.4 Un cilindro pieno uniforme rotola senza strisciare lungo un piano inclinato di un angolo θ.il coefficiente di attrito statico vale µ. Determinare l accelerazione del centro di massa del cilindro; la forza di attrito agente sul cilindro e l angolo massimo di inclinazione per cui il cilindro rotola senza strisciare. Esercizio n.5 Su un piano orizzontale (senza attrito) è appoggiata una massa m 1 di 10 kg che è collegata tramite un filo inestensibile ad una carrucola, costituita da due dischi coassiali rigidamente fissati (r = 20 cm e R = 50 cm). La carrucola viene messa in movimento dalla discesa di una seconda massa (m 2 =4 kg) collegata alla carrucola come mostrato in figura. Il momento d inerzia della carrucola è I = 6 kg m 2. Si calcoli la velocità di m 2 dopo che è scesa di 1 m rispetto alla sua posizione iniziale e il valore delle tensioni. Esercizio n.6 Due corpi sono assicurati con delle corde a due ruote aventi lo stesso asse. Le ruote sono attaccate in modo da formare un unico corpo rigido avente momento d inerzia pari a 40 kg m 2. I raggi delle due ruote valgono r 1 = 1.2 m e r 2 = Se m 1 = 24 kg determinare m 2 in modo che le ruote non subiscano accelerazione angolare. Se sopra m 1 è posto un corpo di 12 kg, determinare l accelerazione angolare delle ruote e la tensione delle corde.

3 Esercizio n.7 La figura mostra una sbarra uniforme di lunghezza L e massa M sostenuta mediante un perno all estremità superiore. La sbarra inizialmente in quiete è colpita da un corpo di massa m in un punto a distanza x = 0,8L sotto il perno. Si assuma che il corpo rimanga attaccato alla sbarra. Quale deve essere la velocità v del corpo perché dopo l urto l angolo massimo raggiunto dalla sbarra rispetto alla verticale sia 90? Esercizio n.8 Una sbarretta omogenea di lunghezza L e massa M è incernierata nel suo centro ed è mantenuta orizzontale su un appoggio. Sopra l estremo A è poggiata una massa puntiforme m 1. Sull altro estremo, da una altezza h 0 viene fatta cadere una massa puntiforme m 2 che si conficca nell estremo B. A quale altezza massima h rimbalza la massa m 1? (Il momento di inerzia della sbarretta è ML 2 /12 ) m 2 m 1 h 0 Esercizio n.9 Una piattaforma cilindrica, rigida ed omogenea, di massa M e raggio R, può ruotare senza attriti intorno al suo asse, disposto verticalmente. Inizialmente un uomo di massa m = M/10 è fermo sul bordo della piattaforma mentre questa ruota liberamente con velocità angolare ω 0. Ad un certo istante l uomo si mette a camminare ed alla fine raggiunge il centro della piattaforma. Quale è la velocità angolare finale? Si determini inoltre la variazione percentuale dell energia cinetica totale rispetto alla condizione iniziale

4 Esercizio n.10 Un disco di massa M = 8 kg e raggio R è posto sopra una guida inclinata con angolo θ = 30 ; all asse centrale del disco è collegata un filo che sostiene una massa m = 6 kg. Inizialmente il filo è teso con la massa bloccata ad una distanza h=1.5 m dal livello del suolo. A t=0 si lascia la massa libera di scendere, facendo contemporaneamente salire il disco lungo la guida. Il moto del disco è di puro rotolamento. Calcolare l accelerazione con cui scende la massa m e la velocità con cui tocca il suolo. Calcolare inoltre la quota massima raggiunta dal centro del disco misurata rispetto alla quota che lo stesso centro aveva a t=0 (si consideri che il filo non è rigido). Esercizio n.11 Una sfera di raggio R = 15 cm e massa m 1 = 24 kg è appoggiata su un piano orizzontale; il coefficiente di attrito statico è µ = 0.2. Nella sfera è praticata una piccola scanalatura di raggio r = 6 cm in cui è avvolto un filo inestensibile che sostiene un corpo di massa m 2. Tramite la forza orizzontale F è possibile mantenere il sistema in equilibrio. Si calcoli il valore massimo di m 2 che consente l equilibrio e il corrispondente valore di F. Esercizio n.12 Due blocchi, m 1 = 15 kg e m 2 = 20 kg, sono collegati con una fune, inestensibile e di massa trascurabile, che passa su una carrucola di raggio R = 0.25 m e momento di inerzia I. Il blocco m 1 che si trova sul piano inclinato (α = 37 ) si muove verso l alto con una accelerazione costante di 2 m/s 2. Si determinino le tensioni T 1 e T 2 nei due tratti della fune e il momento di inerzia della carrucola

5 Esercizio n.13 Una sbarretta di lunghezza L e massa M è imperniata in uno dei suoi estremi ed è vincolata a ruotare in un piano verticale. All istante iniziale viene rilasciata da ferma in posizione verticale. Nell istante in cui essa è orizzontale si trovi la sua velocità angolare, il modulo della sua accelerazione angolare, le componenti x e y dell accelerazione del centro di massa e le componenti della forza di reazione nel perno. Esercizio n.14 Una palla da biliardo di raggio r 0 inizialmente scivola senza rotolare su una superficie orizzontale con velocità lineare v 0 ; il coefficiente di attrito tra la palla e la superficie è µ. Si determinino, nell istante in cui la palla inizia a rotolare senza strisciare, la sua velocità lineare, il tempo trascorso e lo spazio percorso. Esercizio n.15 Un disco di massa m = 3.4 kg e raggio R = 0.19 m scende con velocità costante lungo un piano inclinato (θ = 28 ) con moto di puro rotolamento frenato dalla forza costante F. Calcolare il valore del momento di F rispetto al punto di contatto, il modulo e il verso della forza di attrito il valore minimo del coefficiente di attrito. Esercizio n.16 I blocchi B (m B ) e C (m C ) sono legati l uno all altro da una corda di massa trascurabile che passa su una puleggia A di raggio R 0 e massa m A. Supponendo che la corda non slitti e che tutti gli attriti siano trascurabili, si determinino l accelerazione dei blocchi, la tensione della corda tra il blocco B e la puleggia, la tensione della corda tra il blocco C e la puleggia.

6 B C Esercizio n.17 Una porta aperta, larga a = 73 cm, di massa M = 35 kg è ferma quando viene colpita, ad una distanza D = 62 cm dal cardine, da una palla di stucco di massa m=1.1 kg. La velocità iniziale della palla ha modulo v=27 m/s, giace in un piano orizzontale e forma un angolo θ=22 con la normale alla porta. Dopo l urto la palla rimane attaccata alla porta. Trovare la velocità angolare finale e determinare la variazione di energia cinetica del sistema. a D m v θ Esercizio n.18 Due blocchi di massa m1 = 2 kg e m2 = 6 kg sono connessi tra loro come mostrato in figura. La carrucola ha raggio R = m e massa M = 10 kg. La parte orizzontale del piano di scorrimento è liscia mentre la parte inclinata (θ = 30 ) è scabra con coefficiente di attrito di Si determinino il valore dell accelerazione dei due blocchi e il valore della tensione lungo i due tratti di corda. m 1 m 2

7 Esercizio n.19 Una piattaforma girevole a forma di cilindro di raggio 1.9 m e massa 30 kg è posta in rotazione attorno ad un asse verticale passante per il suo centro con una velocità angolare di 4π rad/s (in senso antiorario). Un pezzo di creta di massa 2,25 kg viene lasciato cadere sopra la piattaforma, vi si attacca ad una distanza di 1.8 m dal centro e poi girano insieme. Si calcoli la velocità angolare finale del sistema e la variazione di energia cinetica. Esercizio n.20 Una stazione spaziale, di forma simile ad un grande disco ha raggio 100 m e momento di inerzia kg m 2. Un equipaggio di 150 astronauti vive sul bordo dell astronave, dove è sottoposto ad una accelerazione uguale a g. Nel momento in cui 100 astronauti si muovono verso il centro dell astronave per una riunione, la velocità angolare cambia. Quale è l accelerazione a cui è sottoposto il resto dell equipaggio che è rimasto sul bordo dell astronave. Si faccia l ipotesi che la massa media di un astronauta sia 65 kg. Esercizio n.21 Un cilindro omogeneo rotola dalla cima al fondo di un piano inclinato di α = 30, raggiungendo al termine una velocità del centro di massa VCM = 4 m/s. Calcolare: a) la lunghezza l del piano inclinato, b) l'accelerazione con cui scende il cilindro, c) il tempo impiegato a percorrere il piano inclinato. Esercizio n.22 (II Eso 2015) Un cilindro di raggio R = 10 cm e massa m = 5 kg è posto sopra un piano orizzontale; il coefficiente di attrito fra il piano e il cilindro vale 0.3. Al centro del cilindro è scavata una fessura sottilissima in modo da ridurre in quel punto il raggio al valore di 6.6 cm, si supponga che ciò non alteri il momento di inerzia del cilindro. Al cilindro sono applicate le forze F 1 = 9.5 N e F 2 come mostrato in figura. Calcolare quanto deve valere F 2 affinché il cilindro resti in equilibrio. Dopo aver messo in moto il cilindro, se ad un certo istante F 1 cessa di agire e F 2 ha il valore trovato, dire se il cilindro può compiere un moto di puro rotolamento. F 2 F 1

8 Esercizio n.23 (II Eso 2015) Due dischi identici di massa M = 5 kg e raggio R = 0.2 m sono liberi di ruotare indipendentemente attorno ad un asse orizzontale fisso passante per i loro centri. Attorno al disco A è avvolto un filo che sostiene una massa m = 2 kg. Se si lascia libera m, il disco A si mette in moto mentre il disco B rimane fermo. Nell istante in cui il disco A raggiunge una velocità angolare ω = 0.15 rad/s, il disco B viene spinto su A e vi rimane attaccato. Calcolare la velocità angolare del sistema dopo l urto. B A Esercizio n.24 (Nov. 2015) Un disco di 2 kg colpisce con velocità 3 m/s un estremo di un asta lunga 4 m, di massa 1 kg che giace a riposo su una lastra di ghiaccio (praticamente senza attrito). Si faccia l ipotesi che l urto sia completamente anaelestico e si calcolino la velocità di traslazione del centro di massa del sistema dopo l urto, la velocità angolare e la variazione di energia cinetica avvenuta nell urto. Esercizio n.25 (Feb.2016) Una particella di massa m=200 g e velocità v=15 m/s urta, restandovi attaccata, la superficie esterna di un cilindro pieno omogeneo di massa M=5 kg e raggio R=6 cm, inizialmente fermo. Il cilindro può solo ruotare attorno ad un asse passante per il suo centro di massa. La traiettoria della particella è perpendicolare all asse del cilindro e dista d=4 cm dal centro del cilindro. Si calcoli la velocità angolare del sistema dopo l urto. Esercizio n.26 (II eso 2016) Un anello sottile rigido, omogeneo di massa m = 0.7 kg e raggio r, giace in un piano verticale. Una corda flessibile, inestensibile e di massa trascurabile ha un estremo collegato all anello, è avvolta per molti giri sul suo bordo esterno e ha l altro estremo collegato ad un supporto fisso sopra l anello. A corda tesa si lascia libero l anello di muoversi, si determini la sua accelerazione e la tensione lungo il filo. Cosa cambia se all anello sostituiamo un disco con lo stesso raggio e la stessa massa?

9 Esercizio n.27 (II eso 2016) Una palla da biliardo di massa M = 100 g e raggio R = 1,5 cm è ferma sul tavolo. A quale altezza rispetto al tavolo si deve colpirla affinché non strisci e abbia un moto di puro rotolamento?

10 Risoluzione esercizio n.2

11 Risoluzione esercizio n.4

12 Risoluzione esercizio n.8

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14 Risoluzione esercizio n.10

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16 Risoluzione esercizio n.11

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19 Risoluzione esercizio n.26

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21 Risoluzione esercizio n.27