Attività sulla Geometria della Sfera progetto PIANO LAUREE SCIENTIFICHE
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- Amando Manca
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1 Attività sulla Geometria della Sfera progetto PIANO LAUREE SCIENTIFICHE Si introduce agli studenti l attività in termini di contenuti diversi (argomento non usuale di geometria e modalità diverse (materiale concreto, che accompagna lo sviluppo della teoria, discussione fra pari, nel piccolo gruppo e discussione di classe per confrontare e condividere i risultati) Metodologia: suddivisione a gruppi di 4-5 studenti (modalità di formazione dei gruppi scelta dall insegnante) e condivisione di alcune modalità di lavoro: una scheda di lavoro per gruppo, sulla quale scrivere le considerazioni su cui il gruppo è d accordo (se ci sono pareri contrastanti si riportano, così da poter essere discussi più ampiamente) raccolta degli esiti: un relatore per ogni gruppo (scelto dall insegnante a conclusione dell attività) propone l esito del suo gruppo che l insegnante scrive alla lavagna (per intero per il primo gruppo e con aggiunte o modifiche per i gruppi successivi) confronto e discussione degli esiti condivisione e scrittura (da parte di ognuno, sul suo quaderno) delle proposizioni ritenute valide SCHEDA 1 (1 incontro di 2 ore) GRUPPO. Nomi dei partecipanti Data:.. Con un pennarello segnate due punti sulla sfera, appoggiata sulla sua base. 1) Disegnate la linea di minima distanza che unisce i due punti sulla superficie sferica. Provate con più coppie di punti e spiegate come avete ottenuto la linea richiesta 2) In generale, come si può ottenere geometricamente la linea di minima distanza tra due punti su una superficie sferica? Giustificate la vostra risposta.
2 (strumenti: sfera, pennarello, toro di base, elastici, spago, righello usuale) L obiettivo di questa domanda è quello di far emergere che la linea di minima distanza tra due punti si trova sul cerchio massimo individuato dai due punti. La ragione dovrebbe essere evidente in fase di esplorazione: fissati due punti qualsiasi l arco più breve è quello che sta sulla circonferenza più grande Per il confronto dell arco tra i due punti percorrendo la circonferenza massima e una qualunque altra circonferenza, è opportuno considerare le due circonferenze sullo stesso piano. Se nessuno propone la giustificazione adeguata (con il ricorso alle intersezioni sferapiani) si può proporre di esaminare come mai il cammino minimo tra due punti sullo stesso parallelo non sia il tratto di parallelo. DISCUSSIONE e conclusione da condividere Dopo la discussione e condivisione delle proposte dei vari gruppi, l insegnante chiede quale potrebbe essere la definizione di retta per due punti, arrivando a sottolineare l analogia con il piano: come sul piano il cammino minimo tra due punti è sulla retta per essi, qui il cammino minimo tra due punti è sulla circonferenza massima che dunque è naturale definire retta (in geometria sferica). Si distribuisce poi ad ogni gruppo lo strumento per le rette, invitando i ragazzi ad utilizzarlo per disegnare rette passanti per coppie di punti. SCHEDA 2 La discussione precedente ci conduce alla seguente definizione di retta nella geometria della sfera: Definizione: Si dice retta un qualsiasi cerchio massimo della superficie sferica. In geometria euclidea PER OGNI COPPIA DI PUNTI ESISTE ED È UNICA LA RETTA CHE PASSA PER ESSI. 1) Questa proposizione è valida anche sulla sfera? Giustificate la vostra risposta dopo aver esplorato più situazioni sulla sfera con gli strumenti a vostra disposizione.
3 Si vuol far notare che la proposizione è falsa, dato che coppie di punti agli antipodi costituiscono controesempi. In geometria euclidea DATA UNA RETTA E UN PUNTO FUORI DI ESSA ESISTE ED È UNICA LA PARALLELA PER IL PUNTO ALLA RETTA 2) Questa proposizione è valida anche sulla sfera? Giustificate la vostra risposta. Si vuol far notare che ogni retta per il punto assegnato taglia la retta assegnata, dunque in geometria sferica non esistono rette parallele, cioè la proposizione è falsa. Una possibile giustificazione è che i cerchi massimi stanno su piani per il centro e due piani per il centro si intersecano inevitabilmente in due punti sulla superficie sferica. DISCUSSIONE e conclusioni da condividere. SCHEDA 3 (2 incontro di 2 ore) DEFINIZIONE: Se A, B, C sono tre punti della superficie sferica di centro O, il triangolo sferico di vertici A, B, C è l intersezione tra la superficie sferica e il triedro che ha vertice in O e gli spigoli passanti per i tre punti dati. Il triangolo ha come lati archi di circonferenza massima. Ricordiamo che: Si dice triedro una terna di semirette non complanari, aventi l origine in comune; tale origine si dice vertice del triedro e le semirette ne sono gli spigoli. Si usa semplicemente la parola triedro anche per indicare la regione convessa di spazio ad essa associata. I tre angoli convessi che i tre spigoli del triedro formano a due a due si chiamano facce del triedro. Provate ora a disegnare alcuni triangoli sferici.
4 1) In base alle premesse fatte, se A, B, C sono i vertici di un triangolo sferico, possono essere allineati? Motivate la vostra risposta. (No, perché altrimenti non esiste il triedro, la cui definizione richiede la non complanarità delle tre semirette) 2) Due punti antipodali possono essere vertici di un triangolo sferico? Giustificate la risposta. (No, perchè un altro qualsiasi punto della sfera è allineato ad essi e dunque per quanto detto prima se tre punti sono allineati non possono essere vertici di un triangolo) 3) Ci sono delle limitazioni alle lunghezze dei lati di un triangolo sferico? Motivate la vostra risposta. La lunghezza di ogni lato deve essere inferiore a quella di una semicirconferenza massima Le due definizioni citate sono tratte dal testo Scoprire la matematica- Geometria dello spazio e oltre di Prodi, Mariotti, Bastianoni, DeAgostini Scuola, 2009 (pag. 219 per il triangolo sferico e pag per il triedro) DISCUSSIONE e conclusione da condividere (tempo: 20 minuti circa) SCHEDA 4 DEFINIZIONE: Considerata una retta (circonferenza massima) e due punti antipodali su di essa, A e A, possiamo chiamare semiretta ciascuna delle due parti individuate da A e da A (cioè una semicirconferenza massima). Sia il punto A che il punto A si configurano come origine di entrambe le semirette. DEFINIZIONE: Se a e b sono due semirette di origine A, chiamiamo angolo sferico (o semplicemente angolo) di lati a e b, l angolo piano di vertice A avente come lati le semirette a e b tangenti in A rispettivamente ad a e b.
5 Osservate che le semirette a e b sono semirette euclidee, la a e la b sono semirette della geometria sferica... Disegnate ora alcuni triangoli sferici e misurate in ciascun caso, con l apposito strumento, quanto vale la somma degli angoli interni di un triangolo. Quali osservazioni potete dedurre dai vostri risultati? DISCUSSIONE e condivisione L osservazione fondamentalmente, anche in base a quanto scoperto nella scheda 3, è che la somma degli angoli interni di un triangolo sferico non è costante e varia tra π e 3π : questi valori, tuttavia, non possono essere assunti... SCHEDA 5 (3 incontro di 2 ore) (Tempo: schede 5 e 6 un ora circa in tutto) Analogamente alla definizione di circonferenza sul piano, poniamo: DEFINIZIONE: Se C è un qualsiasi punto sulla superficie sferica, chiamiamo circonferenza Γ r con centro C e raggio r, il luogo dei punti della superficie sferica che distano r da C. 1) Considerate sulla sfera una qualsiasi retta. In base alla definizione di circonferenza data, potete interpretare la retta come una particolare circonferenza? Se si quali sono i rispettivi centro e raggio? 2) Tracciate una qualsiasi circonferenza sulla sfera, quali osservazioni potete fare riguardo all individuazione di centro e raggio? 3) Qual è l intervallo di valori entro il quale può variare la misura del raggio di una circonferenza? Descrivete le caratteristiche delle circonferenze corrispondenti ai valori estremi di questo intervallo.
6 Si vuol fare emergere che ogni retta è in particolare una circonferenza, con due centri (antipodali) e due raggi uguali. In modo analogo una qualsiasi circonferenza sferica ha due centri (antipodali) e due raggi diversi, se non è massima. Il raggio varia da 0 a metà circonferenza massima: in entrambi i casi limite la circonferenza si riduce ad un punto sulla sfera (uno dei suoi centri). SCHEDA 6 1) Disegnate alcune circonferenze Γ 1,Γ 2 di centro C e raggi r 1, r 2 Utilizzando spago e righello misurate i raggi, le circonferenze e compilate la tabella che segue. Raggio Circonferenza rapporto r 1 = Γ 1 = Γ 1 / 2r 1 = r 2 = Γ 2 = Γ 2 /2 r 2 = Cosa osservate dalla tabella, pensando alla analoga situazione nel piano? Principalmente ci si aspetta che si osservi che il rapporto non è costante. In particolare risulta essere minore di pi greco, [poiché r 1 è maggiore del raggio della stessa circonferenza sul piano. (Arco r 1 > corda sottostante > proiezione sul piano della circonferenza Γ 1 )] questo ragionamento può risultare prematuro a questo livello, però, qualora emergesse dagli alunni, si può affrontare la questione e rifletterci.
7 (Tempo: 1 ora circa) SCHEDA 7 Nella geometria euclidea, π è il rapporto costante tra la lunghezza della circonferenza e la lunghezza del diametro. Come si è potuto osservare nella scheda 6, questo rapporto non è costante nella geometria della sfera. Dimostrerete ora da cosa dipende tale rapporto. Considerate sulla sfera una circonferenza Γ di centri C e C. 1) Siano Q e R due punti della circonferenza. Come potete giustificare che Q e R si proiettano nello stesso punto H di CC? (Considerate i triangoli CRC e CQC ). Osservate che poiché OGNI punto di Γ si proietta in H e ha uguale distanza da H, si può concludere che Γ è una circonferenza anche sul piano perpendicolare a CC in H. Γ è dunque una circonferenza sia in geometria sferica che in geometria euclidea. 2) Se θ è la misura in radianti dell angolo CÔQ, esprimete in funzione di θ: - il raggio r della circonferenza sferica: r = - il raggio QH della circonferenza euclidea: QH =
8 3) Determinate il rapporto tra la lunghezza della circonferenza Γ r e il suo diametro, nella geometria sferica. Il risultato che avete ottenuto è in accordo con quanto avete osservato in precedenza? Perché? DISCUSSIONE Dovrebbe emergere che lunghezza circonferenza diametro = π sinϑ ϑ. Dall'analisi di questa espressione dovrebbero quindi stabilire che il risultato è effettivamente in accordo con quanto osservato nella scheda precedente, cioè che il rapporto in questione è minore di π, noto che sinϑ lim 0 = 1 ϑ ϑ sinϑ < 1 e che ϑ SCHEDA 8 (4 incontro di 2 ore) Tracciate una retta r sulla superficie sferica, cosa potete osservare riguardo all insieme delle rette perpendicolari ad r? Ci si aspetta ad esempio: le perpendicolari a una retta sono infinite, ciascuna perpendicolare interseca la retta in due punti (tra loro antipodali), tutte le
9 perpendicolari ad una stessa retta si intersecano in due punti antipodali (i POLI della retta). In geometria euclidea DATA UNA RETTA ED UN PUNTO FUORI DI ESSA ESISTE ED E UNICA LA PERPENDICOLARE PER IL PUNTO ALLA RETTA. Questa proposizione è valida anche sulla sfera? Giustificate la vostra risposta. Per quanto visto al punto precedente, se un punto è polo di una retta, per esso passano infinite perpendicolari alla retta (ogni retta per esso è perpendicolare alla retta), altrimenti la perpendicolare alla retta esiste ed è unica. SCHEDA 9 (Tempo: 1h e 30, 40 min circa di esplorazione, 50 min circa di discussione) Durante le precedenti discussioni abbiamo trovato proposizioni che sono valide in geometria euclidea ma non in geometria sferica. Collocate le proposizioni che abbiamo esaminato nella tabella seguente ed eventualmente trovatene altre. Se credete vi sia d aiuto consultate il testo di geometria NELLA GEOMETRIA DELLA SFERA NELLA GEOMETRIA DEL PIANO (EUCLIDEA) DISCUSSIONE L obiettivo di questa attività è quello di indurre i ragazzi a meditare su concetti quali quello di ordinamento, infinità dei punti di una retta, illimitatezza, suddivisione del piano mediante una retta, esistenza e unicità della perpendicolare per un punto ad una retta, somma degli angoli internidi un triangolo... Si arriva ad una formulazione unica che ognuno scriverà sul suo quaderno.
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