Università degli Studi di Firenze Facoltà di Scienze Mat., Fis. e Nat. Corso di Laurea in Fisica. Appunti del corso di Esperimentazioni I

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1 Università degli Studi di Firenze Facoltà di Scienze Mat., Fis. e Nat. Corso di Laurea in Fisica Appunti del corso di Esperimentazioni I Prof.. Falciani Prof. A. Stefanini Appunti su: MISUA DEL COEFFICIENTE DI VISCOSITÀ DI UN LIQUIDO 1

2 1 Introduzione Il coefficiente di viscosità η di un liquido viene definito fenomenologicamente, nel caso di un fluido reale, dalla relazione F = η S v S h (1) dove, facendo riferimento alla Fig.1, F è il modulo della forza che occorre applicare ad una lastra, di superficie S, parzialmente immersa in un fluido, posto in un recipiente di profondità h, affinchè si muova con velocità v S costante. Figura 1: Per evitare effetti di parete deve essere S b. Se il fluido bagna sia il corpo che il contenitore (ovvero aderisce ad essi) abbiamo che v(0) = v S e v(h) = 0, dove con v indichiamo il modulo della velocità del fluido. Se poi l altezza dello strato (h) è molto minore delle dimensioni della lastra e la velocità finale della lastra (v S ) non è troppo grande, il moto del fluido è laminare, ovvero il fluido si muove come se fosse suddiviso in sottilissimi strati orizzontali sovrapposti che scorrono gli uni sugli altri con velocità diverse. In tali condizioni si ha quindi una distribuzione uniforme di velocità, come mostrato in Fig.1, e la (1) vale strato per strato; possiamo perciò scrivere la (1) nella forma F = η S v h Il coefficiente di viscosità η ha quindi dimensioni [m l 1 t 1 ] ed è misurato nel S.I. in kg m 1 s 1 ( = 1 poiseuille) e nel C.G.S. in g cm 1 s 1 ( = 1 poise = 10 1 poiseuille). Nei liquidi η diminuisce rapidamente con l aumentare della temperatura; ad es. per l acqua si ha una diminuzione relativa del 2.5% nel passaggio da 20 C a 21 C. 2

3 Figura 2: Se pensiamo di trascinare un corpo di dimensioni trasversali d, totalmente immerso in un liquido reale di densità ρ l e coefficiente di viscosità η, ad una velocità v costante, dovremo applicare una forza (vedi Fig.2) F v = k η d v (2) dove k (fattore di forma) è una costante numerica che dipende dalla forma del corpo (k = 3π per una sfera). La (2) è la cosiddetta legge di Stokes. In essa F v rappresenta la forza che si deve applicare al corpo per raggiungere una velocità finale costante v e quindi, avendo raggiunto una condizione di moto uniforme, è uguale ed opposta alla forza di resistenza viscosa che si oppone al corpo in un fluido reale. Il regime laminare del moto richiede che non si inneschino vortici attorno al corpo in movimento; in questo caso dovremmo parlare di moto turbolento, che avviene con forze di attrito e dissipazione di energia cinetica molto maggiore che nel caso laminare. Una costante adimensionale utile a discriminare fra le condizioni di moto laminare e quelle di moto turbolento è la costante di eynolds e = v d ρ l η Per e 10 3 si ha un moto laminare (viscoso), per e 10 5 il moto è turbolento. icordiamo che e può essere pensata come rapporto fra le forze inerziali ( p/ t) applicate al corpo in movimento e le forze di attrito causate dalla viscosità del fluido. Se pensiamo di abbandonare (vedi Fig.3), in un liquido di densità ρ l, una sfera di raggio r e densità ρ (> ρ l ), sotto l azione della gravità, la sfera cadrà per effetto del proprio peso 3

4 Figura 3: p, della spinta idrostatica di Archimede s e della forza viscosa F v con un equazione di moto data da m a = p s F v = m g m ρ l ρ g 6 π η r v Partendo inizialmente da fermi avremo che, a t = 0, sarà v = 0 e a = (1 ρ l ) g, ma ρ a diminuirà con il tempo fino ad annullarsi. Tale condizione viene soddisfatta per una velocità limite (raggiunta asintoticamente nel tempo) pari a v s = 2 r 2 g (ρ ρ l ) 9 η icordiamo che la (3) è valida per il moto all interno di un sistema indefinito, cioè avente dimensioni r in ogni direzione (per evitare effetti di parete e di fondo del contenitore). 2 Il viscosimetro a sfera cadente In laboratorio ci troveremo a operare con un contenitore di dimensioni necessariamente limitate, anche perchè è conveniente usare volumi ridotti di liquido per assicurare la costanza e l uniformità della temperatura, vista la notevole dipendenza di η dalla temperatura. In questo spirito è stato costruito il viscosimetro a sfera cadente, che viene offerto per le misure in laboratorio e che rappresenta il viscosimetro standard per molte nazioni (ISO , DIN per la Germania). Il viscosimetro è rappresentato schematicamente nelle Fig.4 e 5. 4 (3)

5 Figura 4: Il tubo di vetro calibrato, con D = 2 = ( ± 0.002) mm, sul quale sono incisi tre tratti distanti 50 mm l uno dall altro ( AC = CB = 50 mm in Fig.4) è posto all interno di una camicia cilindrica in cui può circolare acqua per una migliore termostatazione del tubo di caduta e del suo contenuto. Nell apposito foro della camicia è posto un termometro che ha un errore di sensibilità di 0.1 C. Il tubo centrale di caduta, coassiale con la camicia esterna di termostatazione, è inclinato di 10 rispetto alla verticale del luogo di misura e può essere facilmente rovesciato (cioè ruotato di 160 ). La misura viene effettuata lasciando cadere lungo il tubo, riempito del liquido di cui si vuol misurare η, una sfera di dimensioni confrontabili con quelle del tubo. L inclinazione di 10 è tale che la sfera durante la caduta percorra un tragitto rettilineo lasciando una superficie costante libera per il flusso del liquido. Il tubo centrale di caduta è chiuso da un tappo pieno ad un estremo e da un tappo con un foro centrale di dimensioni capillari all altro, per permettere la fuoriuscita del liquido sovrabbondante in fase di chiusura e delle bolle d aria che devono essere rimosse prima dell effettuazione della misura (vedi Fig.5). Per effetto della presenza di un tubo di dimensioni confrontabili con quelle della sfera la semplice relazione (3) utilizzabile per determinare η deve essere corretta per tener conto degli effetti di parete e di fondo del contenitore. Esistono modellizzazioni fisico-matematiche di moti viscosi di una sfera in cilindri di dia- 5

6 Figura 5: metro D d, che portano tuttavia ad equazioni molto complicate e di difficile parametrizzazione pratica. Per ovviare a queste complicazioni sono state determinate correzioni parametriche sperimentali, dedotte su liquidi di η noto (determinato con altri metodi), posti in cilindri con D d. Tali correzioni parametriche portano a modificare la (3) in η = 2 9 r 2 g cos(10 )(ρ ρ l ) v s β(r) (4) dove β(r) è la costante strumentale che tiene conto parametricamente degli effetti di parete, descritti precedentemente, e v s = l/t ( l = 50 mm oppure l = 100 mm a seconda che il tempo sia misurato fra A e C oppure fra A e B, vedi Fig.4). Utilizzando un liquido di viscosità nota è stato possibile determinare la dipendenza della costante β(r) dal raggio della sfera ottenendo una relazione del tipo 6

7 ( β(r) = β 0 1 r ) α La relazione (4) può quindi essere scritta nella forma Definendo η = 2 9 r 2 g cos(10 )β 0 (1 r )α (ρ ρ l ) t l C = 2 9 (costante strumentale fissa), si ottiene g cos(10 ) β 0 l η = C r 2 ( 1 r ) α (ρ ρl ) t = k cal (ρ ρ l ) t (5) Conoscendo le due costanti strumentali C e α, si vede che η può essere ottenuta dalla misura del raggio r e della densità ρ della sfera cadente, della densità ρ l del liquido di cui si vuol determinare η e del tempo di caduta t della sfera. Le costanti strumentali possono essere determinate da valori di calibrazione, ottenuti con liquidi di ρ l e η noti, nei quali sono state fatte cadere sfere di ρ e r noti. La seguente tabella fornisce i dati di calibrazione per il caso in cui l = 100 mm. r (mm) k cal (10 2 poise cm 3 g 1 s 1 ) r (mm) k cal (10 2 poise cm 3 g 1 s 1 ) Dalla (5) si vede che k cal = C r 2 ( 1 r ) α. Per determinare i valori di C e α occorre linearizzare la relazione precedente; ciò è ottenuto immediatamente prendendo i logaritmi naturali di ambo i membri e ottenendo ( ) ( kcal ln = ln C + α ln 1 r ) (6) r 2 I dati della tabella di calibrazione sono riportati in grafico in Fig.6. Applicando il metodo dei minimi quadrati otteniamo che 7

8 Figura 6: Calibrazione della costante strumentale del viscosimetro ln C = 7.71 ± 0.05 e α = 2.49 ± 0.02 Conseguentemente C = (22.3 ± 1.1) poise cm g 1 s 1 = (22.3 ± 1.1) poise cm g 1 s 1. 3 Procedure di misura Per un corretto funzionamento del viscosimetro si deve preliminarmente porre in bolla lo strumento agendo sui piedini a vite del basamento. Per riempire il tubo di caduta si versano circa 45 cm 3 di liquido (di densità ρ l già determinata o nota), in modo che il livello sia a circa 20 mm dal bordo del tubo. Occorre fare molta attenzione che eventuali bolle d aria vengano rimosse dall interno del tubo. Si 8

9 mette la sfera nel tubo e si chiude con il tappo forato (vedi Fig.5); il liquido dovrebbe superare il livello del capillare centrale del tappo. E consigliabile attendere almeno 5 minuti dal momento dell introduzione della sfera nel tubo prima di iniziare le misure del tempo di caduta t per permettere l omogeneizzazione della temperatura fra tutte le componenti (sfera, liquido, tubo, acqua esterna). Ciò sarà facilitato se faremo percorrere varie volte il tubo di caduta alla sfera, ruotando opportunamente tutto l apparecchio. Dopo aver realizzato varie misure dei tempi di caduta, rilevando i tempi sia per la distanza di 50 mm sia per quella di 100 mm, si estrae la sfera dal viscosimetro e se ne misura il diametro con un Palmer, facendo attenzione ad effettuare la misura in posizioni diverse al fine di evidenziare eventuali effetti di non sfericità. Si dovrà poi misurarne la massa M tramite una serie di pesate con la bilancia elettronica di precisione. In tal modo sarà possibile ottenere facilmente la densità media della sfera con incertezza relativa ρ = M 4 3 π r3 ρ ρ = M M + 3 r r. Per la valutazione dell incertezza assoluta sulla misura di η, abbiamo dalla (5) che, ricordando che ρ e r non sono indipendenti tra loro, = dc C dη η = dc C + 2 dr r + d((1 r )α ) (1 r )α + d(ρ ρ l) (ρ ρ l ) + dt t = dr +2 r α (1 r )α 1 dr (1 r + α (1 r )α 1 r d 2 )α (1 r + (1 ( ) r )α ln 1 r dα )α (1 r + dρ )α (ρ ρ l ) dρ l (ρ ρ l ) +dt t Si suppone che ρ l sia nota con una precisione superiore a quella di ρ. Se poi è anche ρ ρ l potremo sostituire ρ al posto di ρ ρ l ed ottenere: dη η = dc C + dt t + dm M 3 dr r + 2 dr r α r dr 1 r r + α r d (1 1 r + ln r ) dα = = dc C + dt t + dm M (1 + α r 1 r ) dr r + α r 1 r Passando alle variazioni finite η η = C C + t + M t M α r r r r + α r r d (1 + ln r ) dα ( + ln 1 r ) α Si vede immediatamente che i termini dominanti sono quelli associati a e r per la piccolezza del denominatore r rispetto al numeratore. 9