Esercizi per le vacanze - Classe 3C Prof. Forieri Claudio. Disequazioni. + 3x. x x x

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1 Esercizi per le vacanze - Classe C Prof. Forieri Claudio Disequazioni Risolvi le seguenti disequazioni: 1. ( 5)( + )( ) > 0. ( + 1) > 0. ( + 5) > < 0 ( 5)( + ) 5. > = 7. 1 > 1 ( + 1)( ) > 0 8. ( + 1) < > 0 1 Discuti e risolvi la seguente disequazione: 10. ( a ) < 9 Funzioni 1. Sia data la relazione che a un numero dell'insieme D={-1,0,1,} associa a un numero dell'insieme C {8,- 10,0,10000,π } in questo modo: f(-1)=8 o 0, f(0)=-10, f(1)=10000, f(1)= π. Si dica se tale relazione si può considerare come una funzione, se no come farla diventare una funzione.. Sia data la funzione di A in B con A={-1,0,1,} B {-,-1,0,1} così definita: f(-)=0, f(-1)=1 f(0)=- f(1)=1. a. E' iniettiva? b. Se no si dica se è possibile farla diventare iniettiva e come. c. E' suriettiva? d. Se no si dica se è possibile farla diventare suriettiva e come.. Siano date le quattro funzioni: 1 f ( ) = g( ) = h( ) = k()=π definite in R, insieme dei numeri reali, e aventi immagini nell insieme dei numeri reali. a. Si esprima il campo di esistenza delle quattro funzioni. b. Si calcolino: f(-)= g()= k(0)= h(π)= c. Considerando come insieme d arrivo l insieme R dei numeri reali, si dica per ciascuna delle quattro funzioni se è iniettiva, suriettiva, biiettiva oppure né iniettiva né suriettiva nel loro campo di esistenza. d. Si dica se sono invertibili. Se sì, si esprimano le funzioni inverse. Sia data la funzione f:a R con A={-1,0,1,} definita in modo che f()= + + a. Si scriva il codominio C. b. Si dica se la funzione è invertibile. c. Si esprima graficamente mediante i diagrammi di Venn la funzione. 5. Si trovi la somma dei primi 9 termini della progressione geometrica con a 0 = -8 e ragione -½ 6. Seguendo il ragionamento di Zenone, trovare la distanza tra la freccia e il bersaglio (inizialmente posta = 1), dopo che questa dimezzato per 8 volte la distanza mancante 7. Dimostra, mediante il principio di induzione, che il numero delle diagonali in un poligono di n n( n ) lati vale:

2 Statistica STATISTICA A UNA VARIABILE Tra parentesi il punteggio massimo di ciascun esercizio 1) Un'indagine statistica su un campione di bambini che frequentano la quarta classe elementare, relativa al peso corporeo, ha dato i seguenti dati (espressi in kg). 7,5,5 8,9 0, Calcolare la media scarto quadratico medio ) L'indagine statistica è stata ampliata a un campione di 0 bambini. 7,5,5 8,9 0, 0,1 9,5 1, 6,1 1, 7, 1,1,0 5,,7 8, 9, 5,6 9,8,1 6,5, 0,1 0,5 5,7 9,8 9, 0,5,6,6 0,8 7,9 9,8 8,5 9,6,1 7,,6 9,8 0,6,1 Costruire la tabella con le frequenze assolute, cumulate, relative e percentuali, considerando classi di ampiezza. classi peso f assoluta f relativa f relativa % f cumulata -6 Disegnare gli istogrammi relativi alla tabella frequenze assolute e frequenze cumulate. 0,1 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,0 0,0 0,0 0,01 0 0,1 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,0 0,0 0,0 0,01 0 Trovare: mediana primo e terzo quartile / Si indichi la classe modale ) Una azienda fa il fatturato riportato in tabella. Calcola gli indici a base fissa e variabile. anno fatturato base fissa base mobile

3 Rette e fasci 1. Scrivere in forma implicita (a+by+c=0) l equazione del fascio proprio generato dalle rette incidenti r: y + 1 = 0 e s: + y + 5 = 0. a) si calcoli il centro del fascio b) calcolare per quale valore di k la retta passa per l'origine; si scriva l'equazione della retta che si ottiene per questo valore di k; c) calcolare per quale valore di k la retta passa per il punto (;1); si scriva l'equazione della. Data l'equazione della retta, dipendente da un parametro k, r: (k+5) 6y + k = 0, si determini a) calcolare per quale valore di k la retta passa per l'origine; si scriva l'equazione della retta che si ottiene per questo valore di k; b) calcolare per quale valore di k la retta passa per il punto (;1); si scriva l'equazione della c) calcolare per quale valore di k la retta è parallela all'asse delle ; si scriva l'equazione della d) calcolare per quale parametro k la retta è perpendicolare alla retta s: + y 1 = 0; si scriva l'equazione della e) per quale valore di k la retta passa a una distanza dall'origine minore di ; si scriva l'equazione della retta che ha distanza esattamente uguale a ;. Siano dati in un riferimento cartesiano ortogonale, i due fasci di rette: (k + 1) - (1 - k) y - k = 0 e k + (k + 1)y + k + 1 = 0 a) Trovare la retta comune ai fasci. b) Trovare per quali valori di k una retta del primo fascio è perpendicolare a una retta del secondo fascio e scrivere le rispettive equazioni. c) Trovare per quale valore di k, se esiste, una retta del primo fascio forma con la direzione positiva dell'asse un angolo di 15 e scriverne l'equazione. Trovare per quali valori di k le rette del secondo fascio formano con la direzione positiva dell'asse un angolo acuto. Circonferenza 1) Verificare che l'equazione ²+y²-16+56y-8=0 è l'equazione di una circonferenza. Determinarne centro e raggio. ) Determinare la circonferenza passante per i punti (; ), (-; 5) e (-5; -) ) Trovare i punti di intersezione tra la circonferenza +y -+y-=0 e la retta -y-=0. Disegnare circonferenza e retta in un sistema di assi cartesiani. Scrivere le equazioni delle tangenti alla circonferenza in tale punti. ) Determinare l'equazione della circonferenza di centro (1,-) e tangente alla retta +y+5=0. 5) Calcola le rette tangenti alla circonferenza + y = 9 passanti per il punto P( 5, 0). 6) Verificare che le circonferenze α : + y 7 = 0 e β : + y + + y 7 = 0 sono tangenti internamente. 7) Scrivere l'equazione della circonferenza passante per i punti A(-,) e B(,-) e con centro sulla retta r : + y 8 = 0 8) Trovare il centro della circonferenza inscritta al triangolo di lati y +1 = 0, + y 7 = 0, y + 5 = 0 e scriverne l'equazione. 9) Dato il fascio di circonferenze: + y + (1 + k) + (1 + k) y + k = 0, si trovino le circonferenze generatrici e i punti base. Si trovi il luogo dei centri. Si trovi la circonferenza del fascio di raggio minimo. 10) Trovare le equazioni delle tangenti comuni alle due circonferenze: α : + y y + = 0 e β : + y + + y = 0

4 Parabola 1. Sia data la parabola y = a +b+c. Determinare a, b, c in modo che la parabola passi per i punti A(1,-); B(-,1); C (0, -7) Determinare a, b, c in modo che il fuoco sia in F(, -) e la direttrice sia l asse. Determinare a, b, c in modo che la parabola passi per il punto (, 1) e abbia vertice nel punto ( /,- 5 / ). Sia data la parabola y = 1, Determinare, se esistono, il o i punti di intersezione con la retta r: y + 0 = 0. Determinare la sua tangente parallela alla retta r. Calcolare la distanza d tra questa tangente e la retta.. Sia data la parabola di equazione y = - +, Determinare il vertice. Determinare i punti A e B, intersezione di questa parabola con la retta r: y=. Determinare l'area del triangolo ABV. Determinare l'area del segmento parabolico AB e quella dell'area della figura delimitata dalla retta r, dalla parabola e dal semiasse positivo delle ascisse.. Sia data la parabola di equazione y = k + ( k ) + k + 1 con k diverso da 0 Determinare la parabola γ 1 del fascio passante per l'origine. Determinare la parabola γ del fascio avente vertice sulla retta =y. Dimostrare che tutte le parabole passano per lo stesso punto di ascissa -1 e si trovi l'ordinata di tale punto Dimostrare che tutte le rette passanti per tale punto staccano sulle parabole γ 1 e γ corde uguali tra loro Ellissi e iperboli 1) Determinare semiassi e posizione dei fuochi della ellisse: ) Disegnare con la migliore approssimazione possibile l'ellisse fuochi. ) Determinare le tangenti all'ellisse + = 1 nei punti di ascissa = = 1, precisando la posizione dei 5 9 ) Determina l equazione delle ellissi aventi un fuoco in (-;0), un vertice in (0,-) e asse focale parallelo a uno dei due assi coordinati. 5) Determinare i semiassi maggiore e minore dell orbita terrestre, la distanza focale e la sua eccentricità, sapendo che ha forma di ellisse e che la distanza della Terra dal Sole, che occupa uno dei due fuochi, va da 17,5 a 151,5 milioni di km. 6) Discuti al variare di m le intersezioni tra la retta y = m e l ellisse + y = 1, specificando il 9 numero di intersezioni. 7) Scrivere l'equazione degli asintoti dell'iperbole: = 1. Scrivere la posizione dei fuochi della 9 stessa iperbole. Disegnarla con la migliore precisione possibile.

5 9 8) Disegnare l'iperbole = 1, precisando la posizione dei fuochi. y 16 b 9) Nell'equazione dell'iperbole = 1 si determini b in modo che l'iperbole passi per il punto 5, 10) Determina le caratteristiche dell'iperbole: 5y + 50y + 7 = 50 11) Una iperbole ha equazione y = 9 Si determinino i punti d'intersezione M e N dell'iperbole con la retta passante per A(,-) e per l'origine. GONIOMETRIA BASE Esercizi di carattere generale (sinπ cosπ ) tanπ 1) Calcola il valore della seguente espressione: + π π sin + cos π sin ) Determinare il quadrante in cui si trovano gli angoli di ampiezza: π 5 π ) Calcolare sen 0 10 π ) Sapendo che sin18 =, calcolare cos 18, cos 6, sen 8 5) Esprimere in gradi e in radianti il risultato dell operazione: 6 0' ' '. Per il risultato calcolare le funzioni trigonometriche seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante con l'aiuto della calcolatrice. Verificare le seguenti identità goniometriche 6) tanα = (1 ) (1 + ) 7) 1+ = 1+ sin α 8) (tan α + cot an α + )(1 cos α) 1 = sin α 9) sin(60 + α ) = + α α 10) sin(5 )sin(5 + ) = 11) = cos α con 0 α π Funzioni trigonometriche 1) Disegnare, con la maggiore accuratezza possibile, il grafico della funzione y=arcsin, nell'intervallo di definizione, dopo aver calcolato il valore della stessa funzione nel maggior numero di punti possibile. Si usi la stessa unità di misura per entrambi gli assi cartesiani. La funzione è biettiva? E' periodica? Ha un valore massimo e uno minimo? Se sì, quali?