Idrostatica Correnti a pelo libero (o a superficie libera) Correnti in pressione. Foronomia

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1 Idrostatica Correnti a pelo libero (o a superficie libera) Correnti in pressione Foronomia

2 In idrostatica era lecito trascurare l attrito interno o viscosità e i risultati ottenuti valevano sia per i liquidi reali che perfetti In idrodinamica la trattazione per i liquidi perfetti non è sempre valida anche per quelli reali, ma soltanto in alcuni casi. NON sarà sicuramente valida nel caso in cui gli effetti della viscosità non possono essere trascurati: per esempio alte velocità o condotti assai stretti.

3 IDRODINAMICA Quando una particella si sposta, al suo posto subentra quella che segue, per cui la traiettoria descritta dalla particella risulta materializzata da una successione continua di particelle che costituiscono un filetto fluido. Un fascio di filetti fluidi costituisce una corrente. la categoria di movimento caratterizzato da traiettorie aventi tutte la stessa direzione. Questo schema è molto frequente nell applicazioni pratiche (correnti a pelo libero e in pressione). Quando un liquido è in moto, tutte le particelle possiedono una data velocità ad un certo istante, costituiscono perciò un campo vettoriale. Noi studieremo le correnti attraverso lo studio del movimento in una determinata sezione individuata da un ascissa longitudinale s, che indica la distanza a partire da un punto scelto come origine.

4 Si definisce sezione trasversale di una corrente (Ω) la superficie che risulta normale al vettore velocità in un punto e in un istante temporale. Sezione trasversale Sezione: sezione occupata dal liquido. Perimetro bagnato P: perimetro della sezione bagnata, costituito dalla somma delle lunghezze delle pareti a contatto con il liquido. Raggio idraulico R: rapporto tra l area della sezione e il perimetro bagnato Tirante d acqua h: altezza d acqua nella sezione Larghezza in superficie l: larghezza della sezione in superficie. Profondità media h m : rapporto tra la sezione e la larghezza in superficie

5 Profili di velocità in una corrente a pelo libero

6 Profilo di velocità in una corrente in pressione

7 Regimi di movimento Faremo quindi riferimento ad un unico valore di velocità, detto velocità media della sezione. Distingueremo due regimi di movimento per il movimento di un fluido: permanente vario È caratterizzato dall avere la velocità V indipendente dal tempo, ma dipendente dallo spazio. La velocità V varia con lo spazio e con il tempo. Il movimento uniforme è un caso particolare del movimento permanente, dove la velocità non varia né in funzione del tempo né dello spazio.

8 Il regime di movimento permanente è molto frequente in idraulica, per esempio: moto nelle condotte moto in un canale ad eccezione del transitorio legato a movimenti di organi di regolazione (paratoia, rubinetto) moto in un corso d acqua ad eccezione dei transitori dei periodi di piena e magra moto attraverso le bocche o stramazzi a carico costante moto nelle macchine idrauliche sotto la condizione di carico, velocità e portata costante

9 Si definisce portata Q il volume di fluido che attraversa la sezione considerata Ω nell unità di tempo. La sua equazione dimensionale è: L T 3 3 = L T 1 Equazione di continuità Esprime che, se non vi è apporto di materia dall esterno, la massa si conserva lungo la corrente. Se il fluido è incomprimibile e perfetto, l equazione di continuità è data da: Ω t + Q s = 0

10 Costanza della portata Esaminiamo il caso di un liquido incomprimibile sotto l azione della gravità. Ω t Se il regime è permanente: = 0 Risulta: Q s = 0 Q( s) = cos t La portata è quindi costante lungo la corrente.

11 Principio di Leonardo e Castelli Per un fluido perfetto e incomprimibile, in regime permanente, il principio dice che il prodotto tra l area della sezione trasversale (Ω) e la velocità media (V) è costante. Esso esprime la modalità di variazione della velocità media come funzione dell area della sezione. Q = ΩV = cost Per esempio, se immaginiamo di mantenere il livello d acqua costante all interno del recipiente, abbiamo condizioni di moto permanente nella parte 1 e movimento uniforme nella parte 2.

12 Teorema di Daniel Bernoulli ( ) Ipotesi regime di movimento permanente liquido perfetto liquido incomprimibile sotto l azione della gravità Il teorema dice (per le correnti): In tutti i punti d una corrente liquida di fluido perfetto, in movimento permanente e sotto l azione della sola gravità, somma dell altezza rappresentativa dell energia potenziale, l altezza rappresentativa dell energia di pressione e l altezza rappresentativa dell energia cinetica sono uguali a costante.

13 L espressione matematica che rappresenta il teorema di Bernoulli è: Z 2 p V + + γ 2g = cost Quota del baricentro rispetto ad un piano di riferimento Velocità media della sezione pressione del baricentro della sezione

14 Osservazioni 1. Il teorema di Bernoulli rappresenta l applicazione del teorema della conservazione dell energia meccanica ad una corrente liquida, tenuto conto del regime permanente di movimento, il lavoro delle forze di pressione e della gravità. 2. Significato energetico del trinomio di Bernoulli Sei consideriamo un fluido di peso specifico unitario, i termini rappresentano: l energia potenziale o energie di posizione Z l energia di pressione p/γ; l energia cinetica V 2 /2g La somma H rappresenta allora l energia meccanica totale per unità di peso di liquido considerato.

15 3. Il teorema di Bernoulli esprime che lungo la corrente liquida di fluido perfetto in regime di movimento permanente, sotto la sola azione della gravità, l energia meccanica totale per unità di peso di liquido si conserva. Lungo una corrente in movimento permanente, si hanno trasformazioni di d energia potenziale in energia cinetica, in energia di pressione, ma la loro somma è uguale a costante (H).

16 4. Rappresentazione grafica del teorema di Bernoulli (fluido perfetto) La linea per A è la linea che rappresenta la corrente La linea per B è la linea del carico piezometrico. La linea per C è la linea d energia che, per un liquido perfetto, è orizzontale.

17 Estensione ai fluidi reali Il principio di Bernoulli rappresenta il principio di conservazione dell energia meccanica per i fluidi. Se vogliamo estendere il principio al caso di un fluido reale, dobbiamo considerare gli effetti della presenza della viscosità che determina una dissipazione di energia in calore. Il trinomio di Bernoulli non è più costante, ma decresce in direzione del movimento: 2 2 p1 V 1 p2 V 2 Z = Z Y γ 2g γ 2g Y = perdita di carico per il passaggio di fluido tra la sezione 1 e 2 (energia per unità di peso di fluido)

18 Rappresentazione grafica del teorema di Bernoulli (fluidi reali) La linea dell energia totale, che per un fluido perfetto è orizzontale, nel caso di fluido reale, decresce in direzione del moto.

19 Esperienza di Reynolds Reynolds ( ) ha constatato l esistenza di differenti regimi di movimento attraverso prove sperimentali, che consistevano nell inserzione di un liquido colorato all interno di una massa di liquido attraverso un tubo di vetro.

20 Al variare della velocità dentro il tubo, si può distinguere tra: regime laminare o tranquillo tubi capillari idraulica sotterranea Se la velocità di scorrimento è debole, il liquido colorato forma dentro il tubo un filetto colorato perfettamente netto, e che non si mescola con i filetti vicini. La massa liquida in movimento dentro il tubo è formata da filetti liquidi che restano paralleli e non si mescolano. regime turbolento correnti in pressione correnti a pelo libero Se la velocità di scorrimento aumenta all interno del tubo, il filetto colorato si rompe, non conserva più la propria identità e si divide, rendendo colorato tutto il liquido al suo interno.

21 Spetta a Reynolds il merito di aver determinato un parametro per distinguere tra i due regimi di movimenti Tale numero adimensionale si chiama "numero di Reynolds": Re = VD ν dove: V = velocità media dentro il tubo D = diametro interno del tubo υ = coefficiente di viscosità cinematica del liquido in movimento Re < 2000 regime laminare Re >2500 regime turbolento

22 Esempio Per l acqua a 20 C, per avere un regime laminare stabile, dovremo avere, all interno di un tubo di diametro interno di 0,10 m, una velocità media di 2 cm/s. con D=0,1 m υ=1, m 2 /s Re=2000 V=0,02 m/s = 2 cm/s

23 Ripartizione della velocità nella sezione trasversale L esperienza mostra che la curva di ripartizione della velocità nella sezione trasversale di una corrente liquida, in regime di moto turbolento, ha l andamento generale indicato nelle figure seguenti. a) Corrente in pressione; b) corrente a pelo libero Le forze di viscosità sono trascurabili rispetto alle forze di inerzia; al contrario, nella zona prossima alla parete, l influenza della viscosità non è più trascurabile.

24 Prandtl (1904) ha distinto due zone di movimento lungo la verticale: 1. Un dominio situato all interno del corpo di scorrimento dove le forze di viscosità sono trascurabili in rapporto a quelle di inerzia e di turbolenza. 2. Un dominio situato in prossimità delle pareti e del fondo, detto strato limite. All interno di questo strato, di spessore δ, la velocità varia molto rapidamente da un valore nullo, a contatto con la parete, a un valore finale V. In questo dominio, le forze di viscosità non sono più trascurabili in rapporto alle altre forze in gioco.

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