MISURA DI SPOSTAMENTI CON TECNICHE INTERFEROMETRICHE

Transcript

1 MISURA DI SPOSTAMENTI CON TECNICHE INTERFEROMETRICHE Le tecniche di misura di spostamenti con risoluzione submicrometrica sono basate sull interferometro di Michelson e sulla disponibilità di una sorgente quasi monocromatica coerente (laser). L interferometro di Michelson, rappresentato schematicamente in Fig.1, è costituito da un divisore di fascio (BS) e da uno specchio fisso (M1) e un altro (M2) vincolato all oggetto di cui si vuole misurare lo spostamento. Fig. 1 Il fascio proveniente da una sorgente luminosa è in parte riflesso ed in parte trasmesso dal divisore di fascio (BS). Il fascio riflesso raggiunge lo specchio fisso M1, è riflesso da questo e raggiungendo nuovamente il divisore di fascio (BS), in parte è rinviato sulla sorgente ed in parte è trasmesso raggiungendo l osservatore (O). Il fascio trasmesso raggiunge lo specchio mobile M2, è riflesso da questo e raggiungendo nuovamente il divisore di fascio (BS), in parte è trasmesso raggiungendo la sorgente ed in parte è riflesso raggiungendo l osservatore (O). Se la sorgente luminosa è monocromatica e la sua lunghezza di coerenza è maggiore della differenza dei due percorsi ottici L 1 e L 2, i due fasci che raggiungono l osservatore (O) interferiscono tra loro; se perfettamente allineati e sovrapposti l osservatore vedrà nel tempo un alternanza dell intensità luminosa al variare dello spostamento dello specchio M2. Infatti, ipotizzando che il campo elettrico E dell'onda di lunghezza λ venga egualmente ripartito fra i due bracci, ossia E 1 =E 2 =E/2, il ritardo di fase di E 2 rispetto a E 1 è: ϕ = 2(L2 L1) λ Nell'ipotesi che lo specchio M1 rimanga fermo mentre lo specchio M2 si sposti dalla posizione L 2i alla L 2f : ϕ = 2( (L2f L1) - ( L2i L1) ) = 2(L2f L2i ) λ λ 1/7 MISURA DI SPOSTAMENTI... - C. Calì - DEIM-UNIPA (2014) Pubblicato in

2 Il campo elettrico sul fotorivelatore è dato, a parte il fattore temporale e jωt con ω=c/λ, dalla somma vettoriale dei due campi il cui valore massimo è E 1 /2 e E 2 /2 a causa dell'ulteriore ripartizione sul divisore di fascio, ossia: E( φ) = E 1 /2+ (E 2 /2) cos φ = (E/4) (1+ cos φ) Con la sostituzione della precedente: E(L 2f L 2i ) = (E/4) (1+cos(4π(L 2f L 2i )/λ) L'andamento del campo elettrico, normalizzato rispetto al valore massimo, in funzione dello spostamento dello specchio M2, normalizzato rispetto a λ, è riportato in Fig. 2, nell'ipotesi in cui L 2i sia pari a L 1 o differisca di un multiplo di λ/2; altrimenti la curva è traslata, ossia il massimo non è più coincidente con lo zero dell'asse orizzontale. Si osservi l'andamento cosinusoidale di periodo pari a λ/2. Fig.2 Dal conteggio del numero dei massimi del campo elettrico è immediato determinare la variazione di distanza con una risoluzione di mezza lunghezza d'onda. Se si vuole avere una risoluzione superiore si deve determinare il valore del campo elettrico e rapportarlo al valore massimo in modo tale da stabilire la posizione. Nell'ipotesi in cui la risposta dell'osservatore, ossia di un fotorivelatore, sia lineare con l'intensità luminosa, ossia proporzionale al quadrato del campo elettrico, il segnale di uscita ha l'andamento rappresentato in Fig. 3; questo deve essere tenuto presente nella valutazione delle frazioni di λ/2. Fig. 3 Il sistema descritto presenta parecchi inconvenienti ed in particolare: 2/7 MISURA DI SPOSTAMENTI... - C. Calì - DEIM-UNIPA (2014) Pubblicato in

3 a) la porzione dei fasci che ritornano nella sorgente possono provocare perturbazioni che si manifestano come variazioni in frequenza e intensità; b) se i due specchi non sono perfettamente allineati non si ottiene l'interferenza fra i due fasci in prossimità dell'osservatore; c) sull osservatore, nella migliore delle ipotesi ed in presenza di interferenza costruttiva, arriva il 50% dell intensità luminosa generata; d) dalla sola osservazione della variazione dell intensità luminosa è impossibile determinare il verso dello spostamento; e) le misure sono affette dall errore dovuto alla possibile variazione della lunghezza d onda della sorgente luminosa; f) la determinazione di frazioni di λ/2 è affetta dall errore dovuto alle possibili variazioni dell intensità luminosa della sorgente nonché della luce ambiente; g) le misure sono affette dall errore dovuto a possibili variazioni dell indice di rifrazione del mezzo in cui è immerso il sistema (normalmente aria). La sostituzione degli specchi M1 e M2 con due retroriflettori (tre specchi posti ad angolo retto o l equivalente prisma riflettore a spigolo cubico Corner Cubic Retroreflector ), la cui caratteristica è di rinviare indietro un fascio luminoso indipendentemente dall angolo di incidenza, e l utilizzo di un divisore di polarizzazioni (costituito, ad esempio, da una coppia di prismi birifrangenti opportunamente disposti) al posto del divisore di fascio, come rappresentato in Fig.4, superano una parte di questi inconvenienti. Fig. 4 Con riferimento alla figura, il fascio emesso da una sorgente laser con polarizzazione circolare, incidendo sul divisore di polarizzazioni, è ripartito nelle due polarizzazioni: la parte del fascio il cui campo elettrico è ortogonale al piano del foglio è diretto verso il retroriflettore M1, l altro, il cui campo elettrico si trova sul piano del foglio, è diretto verso il retroriflettore M2. I fasci di differente polarizzazione riflessi dai retroriflettori, incidendo nuovamente sul divisore di polarizzazioni, si sovrappongono con un ritardo di fase dipendente dalla posizione del retroriflettore M2; in questo caso il divisore di polarizzazioni si comporta da sommatore di polarizzazioni. 3/7 MISURA DI SPOSTAMENTI... - C. Calì - DEIM-UNIPA (2014) Pubblicato in

4 I retroriflettori eliminano la criticità dell'allineamento mentre il divisore di polarizzazioni fa sì che all osservatore giunga, almeno teoricamente ed in presenza di interferenza costruttiva, il 100% della radiazione emessa dalla sorgente luminosa e pertanto su questa non torna indietro nulla; questo nell ipotesi che sia stato depositato uno strato di adattamento sulle facce del divisore di polarizzazioni e sulla superficie del fotorivelatore. Rimangono ancora i seguenti inconvenienti: - dalla sola osservazione della variazione dell intensità luminosa è impossibile determinare il verso dello spostamento; - le misure sono affette dall errore dovuto alla possibile variazione della lunghezza d onda della sorgente luminosa; - la determinazione di frazioni di λ/2 è affetta dall errore dovuto alle possibili variazioni dell intensità luminosa della sorgente nonché della luce ambiente. Questi inconvenienti vengono superati con due differenti tecniche conosciute con il nome di "interferometria omodina" e "interferometria eterodina", sempre basate sull'interferometro di Michelson. Interferometria omodina La tecnica, che utilizza ancora i retroriflettori e il divisore di polarizzazione come in Fig.4, è basata sull'analisi, mediante alcuni fotorivelatori opportunamente disposti, delle frange di interferenza che si generano quando i due fasci formano un certo angolo fra loro. Questo può essere ottenuto ponendo dopo il combinatore di polarizzazioni un prisma costruito con un materiale anisotropo. Infatti le due polarizzazioni, vedendo due differenti indici di rifrazione, sono deviate con angoli diversi. Noto che per piccoli angoli la deviazione angolare di un prisma è pari a (n 1) α, dove α è l'angolo del vertice del prisma, l'angolo fra i due fasci è: δ = δ - δ = (n -1) α - (n - 1) α = (n - n ) α E' possibile determinare in modo abbastanza semplice il passo "d" delle frange di interferenza ipotizzando che un fascio, ad esempio il fascio "1", giunga sul piano su cui si formano le frange di interferenza con un angolo δ rispetto alla normale mentre l'altro fascio "2" incida lungo la direzione della normale, ossia con un angolo nullo. In questa situazione, come è possibile vedere dalla Fig.5, i fronti equifase del fascio "1" giungono sul piano delle frange con un ritardo dipendente dall'angolo δ e dalla distanza x, ossia: β = (x sinδ) (/λ) mentre i fronti equifase del fascio "2", il cui angolo di incidenza è nullo, giungono sul piano delle frange con un ritardo indipendente dalla distanza x. 4/7 MISURA DI SPOSTAMENTI... - C. Calì - DEIM-UNIPA (2014) Pubblicato in

5 Fig.5 Il ritardo di fase del fascio 1 si ripete quando la quantità β è pari a o a un suo multiplo. Con questa considerazione se ne deduce dalla precedente che la distanza "d" fra frange adiacenti, ossia il passo delle frange, è: d = λ/sinδ λ/δ l'approssimazione è valida perché l'angolo δ è molto piccolo. Sostituendo poi l'espressione di δ precedentemente scritta: d λ / ((n - n ) α) Quindi, scegliendo opportunamente l'orientazione di un cristallo anisotropo e l'angolo del prisma, è possibile progettare il passo delle frange che, se necessario, può essere variato tramite una o più lenti (lente di ingrandimento, espansore di fascio). La posizione dei massimi delle frange di interferenza varia al variare della quantità (L 2f L 2i ) e si ripete, ovviamente, quando (L 2f L 2i ) = λ/2 o un multiplo intero. La relazione che lega (L 2f L 2i ) ad x è facilmente ottenibile considerando che il ritardo di fase dovuto alla variazione del percorso ottico (L 2f L 2i ) coincide con la variazione di fase dovuto allo spostamento x delle frange, ossia φ = β: ϕ = 2(L2f L2i ) = β = x (sinδ) λ λ Dalla quale, ricordando che d = λ/sinδ, si ottiene: (L 2f L 2i ) = (λ/2)(x/d) che sostituito nell'espressione: E(L 2f L 2i ) = (E/4) (1+cos(4π(L 2f L 2i )/λ) dà: E(x/d) = (E/4) (1+cos( x/d) il cui andamento, normalizzato rispetto al valore massimo, è rappresentato in Fig. 6. Fig.6 Anziché misurare direttamente lo spostamento delle frange risulta conveniente misurare l'intensità luminosa delle frange in quattro punti distanziati della quantità 5/7 MISURA DI SPOSTAMENTI... - C. Calì - DEIM-UNIPA (2014) Pubblicato in

6 d/4. La misura deve essere eseguita utilizzando quattro fotorivelatori di area sensibile piccola rispetto al passo delle frange. I quattro fotorivelatori, disposti come in Fig.7 dove è rappresentato l'andamento dell'intensità luminosa delle frange, danno un'informazione che è proporzionale a (sin( φ)) 2, (cos( φ)) 2, (-sin( φ)) 2, (-cos( φ)) 2. Fig.7 La conoscenza simultanea delle funzioni seno e coseno consente di determinare, oltre che lo sfasamento, a cui si può ricondurre lo spostamento, il verso dello spostamento. Il sistema è insensibile alle variazioni dell'intensità luminosa della sorgente poiché la misura dello sfasamento è determinata da un rapporto fra due quantità entrambe dipendenti dall'intensità luminosa (seno e coseno), ossia φ = tan -1 (sin( φ)/cos( φ)). Il confronto fra il modulo delle quantità proporzionali a sin( φ) e -sin( φ), nonché fra il modulo delle quantità proporzionali a cos( φ) e -cos( φ) consente di determinare le possibili variazioni della lunghezza d'onda e provvedere, se necessario, alla correzione. Tutte queste operazioni, dalla determinazione delle quattro quantità proporzionali a sin( φ), cos( φ), -sin( φ), -cos( φ) all'informazione sulla variazione di distanza, sono effettuate dall'elettronica a valle dei fotorivelatori. L'elettronica inoltre, con un confronto differenziale fra le quantità sin( φ) e -sin( φ) nonché cos( φ) e -cos( φ), è in grado di ridurre il rumore presente nelle quantità proporzionali a sin( φ) e cos( φ). Questa tecnica è stata perfezionata dai ricercatori della Renishaw che ne hanno commercializzato lo strumento. Interferometria eterodina Questa tecnica, messa a punto dai ricercatori della Hewlett Packard, utilizza la variazione del battimento fra due frequenze vicine generate da una stessa sorgente laser, quindi coerenti fra loro, che attraversano i due diversi rami dell'interferometro. 6/7 MISURA DI SPOSTAMENTI... - C. Calì - DEIM-UNIPA (2014) Pubblicato in

7 Le due frequenze, la cui distanza è dell'ordine del MHz, polarizzate linearmente e ortogonalmente fra loro, sono generate da un laser ad He-Ne in presenza di un intenso campo magnetico che interviene separando configurazioni elettroniche differenti del Neon che possiedono la stessa energia in assenza di campo magnetico (effetto "Zeeman split"). Lo schema ottico del sistema, simile a quello di Fig. 4, è riportato in Fig. 8. Fig. 8 Se il retroriflettore M2 è in movimento, la frequenza f2 varia della quantità ±δf per effetto Doppler. All'uscita del fotorivelatore è presente la frequenza differenza (ordine del MHz): f1-(f2±δf), pari a f1-f2 se il retroriflettore M2 è fermo. Quindi dalla variazione della misura della frequenza differenza si determina la velocità dello spostamento e da questa, abbinata all'informazione sulla durata, si risale allo spostamento e al relativo verso. Anche questo sistema di misura è insensibile alle variazioni dell'intensità luminosa del laser, nonché alle perturbazioni che interessano entrambi i fasci. Ovviamente è di fondamentale importanza la stabilità del campo magnetico che determina la distanza fra le due frequenze. L'analisi comparativa fra l'interferometria omodina e quella eterodina dimostra che le prestazioni ottenibili sono molto simili. 7/7 MISURA DI SPOSTAMENTI... - C. Calì - DEIM-UNIPA (2014) Pubblicato in