La costruzione dei numeri naturali nodi, attività, materiali DIVISIBILITÀ MULTIPLI E DIVISORI. Margherita D Onofrio Roma 26 ottobre 2016
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- Sibilla Vigano
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1 La costruzione dei numeri naturali nodi, attività, materiali DIVISIBILITÀ MULTIPLI E DIVISORI Margherita D Onofrio Roma 26 ottobre 2016
2 La divisibilità è un tema che contribuisce alla «sensibilità numerica», se.. fatta bene Nella tradizione scolastica - Si comincia con i criteri di divisibilità senza approfondirne il significato autentico - Numeri primi - scomposizione in fattori primi, soprattutto procedure - MCD e mcm con il metodo della scomposizione in fattori primi
3 Calcolo mentale Ripartiamo dalle tabelline Prerequisiti X Non solo 3x4=12 Anche 12:4=3 12:3=4 5x8=40 40:8=5 40:5=8 Non solo 4x5=20 2x10=20 Anche 20=4x5 20=2x10 36= 4x9 36=6x6 36=3x12
4 Il signor Gambalunga e i multipli da Il racconto della matematica Spirito, D Onofrio, Petrini Immagina una scalinata, con i gradini numerati, che sale all infinito. Per salire con regolarità e in fretta il signor Gambalunga sceglie di procedere 3 gradini per volta Chi sarà così bravo da dirci al volo il numero del gradino dove si trova il signor Gambalunga al 73 passo?
5 Paolo prepara una tabella come questa; in corrispondenza a ogni passo, aggiunge 3 al numero del gradino precedentemente raggiunto, fino alla settantatreesima riga. Giulia segue una strada diversa. Prima di mettersi a fare lunghi conti osserva che i numeri corrispondenti ai gradini raggiunti dal signor Gambalunga si ottengono moltiplicando 3 rispettivamente per 1, per 2, per 3, per 4, ecc Numero del passo 1 3 numero del gradino 2 3+3= = = = =18. Numero del passo 1 3x1 numero del gradino 2 3x2=6 3 3x3=9 4 3x4=12 5 3x5=15 6 3x6=18... il numero del gradino su cui si trova il signor Gambalunga al 73 passo è 3 73=219 (è lo stesso risultato che ha trovato Paolo, che però ha consumato mezzo quaderno e qualche minuto di troppo). La pigrizia di Giulia l ha portata a una scoperta interessante e quindi a rispondere al volo al quesito. I multipli di un numero naturale si ottengono moltiplicando il numero di partenza per i naturali diversi da 0.
6 Numeri divisibili per un numero naturale Completa le seguenti tabelle e fai le tue osservazioni n quoziente resto 0: : : :2 1 4:2 5:2 6:2 7:2 8:2 9:2 10:2 11:2 n quoziente resto 0: : : :3 1 4:3 5:3 6:3 7:3 8:3 9:3 10:3 11:3 n quoziente resto 0: : : :4 0 4:4 1 5:4 6:4 7:4 8:4 9:4 10:4 11:4 n quoziente resto 0: : : :4 0 4:5 0 5:5 1 6:5 7:5 8:5 9:5 10:5 11:5
7 Numeri divisibili per un numero naturale Completa le seguenti tabelle e fai le tue osservazioni n quoziente resto n quoziente resto n quoziente resto n quoziente resto 0: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :5 2 1 se dividiamo un numero per 2 quali sono i resti possibili? E se dividiamo per 3? Per 4? Per 5?.. se dividiamo un numero per 2 quali sono i numeri che danno resto 0? se dividiamo un numero per 3 quali sono i numeri che danno resto 0?
8 Numeri divisibili per un numero naturale resto 0 a divisibile per 2 a:2 resto 1 Un numero a è divisibile per 2 se a:2 ha come resto 0 o a è multiplo di 2 resto 0 a divisibile per 3 a:3 resto 1 resto 2 Un numero a è divisibile per 3 se a:3 ha come resto 0 o a è multiplo di 3 a è divisibile per b se la divisione a:b ha resto 0 a è divisibile per b se a è multiplo di b
9 Criteri di divisibilità Oggi ci sono le calcolatrici che velocemente possono dirci se un numero è divisibile per un altro, bisogna però riconoscere certe divisibilità per costruire quella sensibilità numerica di cui abbiamo parlato all inizio I criteri non vanno dati come «regole» ma come «scorciatoie» che i ragazzi stessi devono scoprire Per 2, per 5 e per 10 sono molto facili sono divisibili per 2 ---> sono pari non sono divisibili per 2 ---> sono dispari
10 Numeri che sono divisori di un numero naturale n quoziente resto n quoziente resto n quoziente resto n quoziente resto 0: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : è divisibile per 2 e per 5 ma non è divisibile per 3 e per 4 2 e 5 si chiamano divisori di 10 perché entrano un numero esatto di volte in 10 b è divisore di a se la divisione a:b ha resto 0
11 10 è divisibile per 2 2 è divisore di 10 Numeri che sono divisori di un numero naturale madre di è divisibile per è multiplo Elena Martino figlio di è divisore di è divisore di La relazione divisibile-divisore è proprio come la relazione madre-figlio: Elena è la mamma di Martino Martino è il figlio di Elena
12 Numeri che sono divisori di un numero naturale Come puoi trovare tutti i divisori di 36? divisori quoti (6) 1x36 2x18 3x12 4x9 6x6 divisori (12) quoti (7) divisori
13 Numeri che sono divisori di un numero naturale n divisori , 2 3 1, 3 4 1, 2, 4 5 1, 5 6 1, 2, 3, 6 7 1, 7 8 1, 2, 4, 8 9 1, 3, , 2, 5, , , 2, 3, 4, 6, , , 2, 7, , 3, 5,
14 Numeri che sono divisori di un numero naturale n divisori , 2 3 1, 3 4 1, 2, 4 5 1, 5 6 1, 2, 3, 6 7 1, 7 8 1, 2, 4, 8 9 1, 3, , 2, 5, , , 2, 3, 4, 6, , , 2, 7, , 3, 5, La scoperta: alcuni numeri hanno solo 2 divisori Sono i numeri primi quanti sono i numeri primi?
15 Numeri che sono divisori di un numero naturale n divisori , 2 3 1, 3 4 1, 2, 4 5 1, 5 6 1, 2, 3, 6 7 1, 7 8 1, 2, 4, 8 9 1, 3, , 2, 5, , , 2, 3, 4, 6, , , 2, 7, , 3, 5, La scoperta: alcuni numeri hanno solo 2 divisori Sono i numeri primi quanti sono i numeri primi compresi tra 1 e 100?
16 Numeri che sono divisori di un numero naturale n divisori , 2 3 1, 3 4 1, 2, 4 5 1, 5 6 1, 2, 3, 6 7 1, 7 8 1, 2, 4, 8 9 1, 3, , 2, 5, , , 2, 3, 4, 6, , , 2, 7, , 3, 5, La scoperta: alcuni numeri hanno come divisori solo 1 e se stessi Sono i numeri primi quanti sono i numeri primi compresi tra 1 e 100?
17 Numeri che sono divisori di un numero naturale n divisori , 2 3 1, 3 4 1, 2, 4 5 1, 5 6 1, 2, 3, 6 7 1, 7 8 1, 2, 4, 8 9 1, 3, , 2, 5, , , 2, 3, 4, 6, , , 2, 7, , 3, 5, La scoperta: alcuni numeri hanno come divisori solo 1 e se stessi Sono i numeri primi quanti sono i numeri primi compresi tra 1 e 100?
18 Numeri che sono divisori di un numero naturale n divisori , 2 3 1, 3 4 1, 2, 4 5 1, 5 6 1, 2, 3, 6 7 1, 7 8 1, 2, 4, 8 9 1, 3, , 2, 5, , , 2, 3, 4, 6, , , 2, 7, , 3, 5, La scoperta: alcuni numeri hanno come divisori solo 1 e se stessi Sono i numeri primi Setaccio di Eratostene Numeri primi nei numeri compresi tra 1 e
19 Numeri che sono divisori di un numero naturale n divisori , 2 3 1, 3 4 1, 2, 4 5 1, 5 6 1, 2, 3, 6 7 1, 7 8 1, 2, 4, 8 9 1, 3, , 2, 5, , 11 La scoperta: alcuni numeri hanno come divisori solo 1 e se stessi Si chiamano divisori propri di un numero naturale tutti i divisori diversi da 1 e dal numero stesso Si chiamano divisori impropri di un numero naturale l 1 e il numero stesso 12 1, 2, 3, 4, 6, , , 2, 7, , 3, 5,
20 Scomposizione in fattori n fattori x2 3 1x3 4 1x4 2x2 5 1x5 6 1x6 2x3 7 1x7 8 1x8 2x4 9 1x 9 3x3 10 1x10 2x5 11 1x11 Numeri scomposti in fattori Scrivi il numero 36 come moltiplicazione di numeri 36 = 4x9 36 = 3x12 36 = 2x18 36 = 3x3x4 36 = 6x6 12 1x12 2x6 3x4 13 1x x4 2x7 15 1x15 3x
21 Scomposizione in fattori primi Numeri scomposti in fattori Scrivi il numero 36 come moltiplicazione di numeri 36 = 4x9 2x2x3x3 36 = 3x12 3x2x2x3 36 = 2x18 2x2x3x3 2x2x3x3 = 2 2 x = 3x3x4 3x3x2x2 36 = 6x6 2x3x2x3 Ogni numero naturale ha un unica scomposizione in fattori primi (a parte l ordine dei fattori)
22 Scomposizione in fattori primi La scomposizione di un numero risulta utile in molte occasioni La scomposizione in fattori primi di un numero genera tutti i divisori (escluso il divisore improprio 1) del numero. Ora consideriamo i fattori primi che compongono 30 e tutti i loro prodotti, prendendo i fattori a due a due o tutti e tre. 30 = 2x3x5 2 = 2 3 = 3 5 = 5 2x3 = 6 2x5 = 10 3x5 = 15 2x3x5 = 30 Divisori di 30
23 Una tecnica per la scomposizione in fattori primi = 2 x =
24 Una tecnica per la scomposizione in fattori primi =
25 Una tecnica per la scomposizione in fattori primi = =
26 Ancora ricerca dei divisori 270 = = , 3, 3, 3, 5 2x3; 2x5; 3x5; 2x3x3; 2x3x5; 3x3x3; 3x3x5 2x3x3x3; 2x3x3x5; 3x3x3x5 2, 3, 5 2x3; 2x5; 3x5 2x3x3: 2x3x5; 3x3x3; 3x3x5 2x3x3x3; 2x3x3x5; 3x3x3x5
27 Calcolo mentale con numeri scomposti in fattori primi Il numero 270 scomposto come: numero lo vogliamo dividere per : divisore Quali sono i fattori che occorrono al secondo numero (il divisore) per formare 270? Il risultato allora sarà
28 Calcolo mentale con numeri scomposti in fattori primi Il numero 270 scomposto come: lo vogliamo dividere per : numero divisore Quali sono i fattori che occorrono al secondo numero (il divisore) per formare 270? 3 5 Il risultato allora sarà 15
29 Calcolo mentale con numeri scomposti in fattori primi Il numero 270 scomposto come: numero numero lo vogliamo dividere per : divisore divisore 3 5 risultato 3 5 risultato x =
30 Calcolo mentale con numeri scomposti in fattori primi Ho il seguente numero, che chiameremo b già scomposto in fattori primi 2 2 x 5 x 7 Se lo divido per 2 il risultato sarà un numero intero? E se lo divido per 10? E se lo divido per 3? rispondi senza calcolare il numero dato b Spiega come hai fatto.
31 Calcolo mentale con numeri scomposti in fattori primi Controlla se hai risposto correttamente calcolando il numero b e svolgendo le divisioni. Se hai sbagliato pensi di sapere perché hai sbagliato?... Spiega quale errore hai commesso....
32 Calcolo mentale con numeri scomposti in fattori primi a :n quoto 5 3 x x x x x7 3 Il numero n è dato da 3 2 x 7 x 11, nella seguente tabella segna con una X quali tra questi numeri sono suoi divisori. 3x7 2x7 3x x11 Il numero a è dato da 2 x 11 2 x 13 3 nella seguente tabella sono segnati alcuni suoi divisori scrivi, come nell esempio, il risultato della divisione tra a ed il numero dato. 2x x13 2x11 2 2x x13 3
33 Calcolo mentale con numeri scomposti in fattori primi Il numero d è ottenuto da 3 2 x 7 x Qui di seguito sono proposti alcuni dei suoi divisori, cerca e unisci con una linea le coppie di numeri che moltiplicati fra loro danno il numero d. Se hai qualche difficoltà prova a scrivere i prodotti usando matite colorate per ogni fattore x11 7x11 2 3x7 3 2 x11 7x x7x x11 3 3x11 3
34 Calcolo mentale con numeri scomposti in fattori primi Gioco di carte L intruso» Scegliete un numero la cui scomposizione in fattori primi contenga un numero alto di divisori, ad esempio 2250 = 2x3 2 x5 3 che ha 24 divisori, compresi 1 e Preparate delle carte con scritti sopra tutti i divisori del numero. I divisori possono essere scritti alcuni come numero intero ed altri, i più complessi da scomporre a mente, già scomposti in fattori primi. Decidete quale carta possa essere l intruso, ad esempio può essere un numero del tipo 3 x 11, ovvero un numero che contiene alcuni fattori della scomposizione ma è composto anche da altri numeri primi, quindi non è un divisore. La regola per eliminare le carte a coppie è che il loro prodotto dia il numero scelto
35 Se ci riesco preparo le carte e si fa il gioco con loro Calcolo mentale con numeri scomposti in fattori primi Gioco di carte «L intruso» 2250 = 2x3 2 x5 3 2x3 2 x5 3 3x x x3x
36 Calcolo mentale con numeri scomposti in fattori primi x x x3 2 x5 2 2x3x5 2x3x5 2 2x3 2 x5 2 3x5 2 L intruso 2x3x11
37 Multipli comuni e divisori comuni 1 - La signora Gambalunga - Ti ricordi il signor Gambalunga che saliva i gradini a 3 a 3? Il nostro amico, rispetto alla moglie, è una specie di lumaca! La signora, infatti, sale la stessa scalinata 5 gradini alla volta: Sapevamo già che il signor Gambalunga passa solo su alcuni gradini (il numero 3, il numero 6, ecc.); ora sappiamo che anche la signora Gambalunga passa solo su alcuni gradini (il numero 5, il numero 10, ecc.). - Chi sarà tanto bravo da dirci qual è il numero di un gradino su cui certamente passano entrambi i coniugi Gambalunga? - Chi sarà tanto bravissimo (non si può dire, ma rende l idea) da dirci quanti sono i gradini su cui passano entrambi i coniugi Gambalunga?
38 Multipli comuni e divisori comuni numero del passo numero del gradino
39 Multipli comuni e divisori comuni Scrivi i primi 10 multipli di 2 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30 Scrivi i primi 10 multipli di 3 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45 Ci sono dei multipli comuni? M 2 (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, ) M 3 (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, ) Quali scoperte possiamo fare?
40 Multipli comuni e divisori comuni Scrivi i divisori di 36 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 Scrivi i divisori di 48 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 Ci sono dei divisori comuni? D 36 (1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36) D 48 (1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48) Quali scoperte possiamo fare?
41 MCM e MCD Trova a vista il minimo comune multiplo di due numeri che siano: Primi tra loro 3 e 5 4 e 5 5 e 6 6 e 7 7 e 9 8 e 9 Uno multiplo dell altro 4 e 8 5 e 10 8 e 12 5 e 15 Né primi tra loro né uno multiplo dell altro 6 e 8 6 e 9 8 e e 15
42 Attenzione agli esercizi!!! E alle verifiche!!!! Esempi
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