Esercizi sullo scambio termico per irraggiamento

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1 Esercizi sullo scambio termico per irraggiamento 3 giugno 2013 Esercizio 1 Si considerino due dischi paralleli con D = 0,6 m, disposti direttamente l uno sull altro, ad una distanza L=0,4m, in modo che le facce siano parallele. Si considerino entrambi i dischi come corpi neri, mantenuti ad una temperatura di 700K. Le facce posteriori dei dischi sono isolate e l ambiente può essere considerato anch esso un corpo nero ad una temperatura di 300K. Si calcoli la potenza termica netta ceduta dai dischi all ambiente. Soluzione Il primo passo nella risoluzione del problema prevede la determinazione dei fattori di vista. Per far ciò, ci si può riferire al grafico di Fig.1.1, nel quale è possibile entrare con i rapporto L/R 1 = 1, 33 e R 2 /L = 0, 75, piché L = 0, 4m e R 1 = R 2 = 0, 3m. 1

2 Figura 1.1: Fattore di vista per dischi coassiali paralleli Si ottiene quindi un fattore di vista F 1,2 = 0, 26. Per la regola della simmetria, sarà F 1,2 = F 2,1, così come F 1,3 = F 2,3. Dalla regola della somma possiamo poi scrivere: F 1,1 + F 1,2 + F 1,3 = 1 F 1,3 = 1 0 F 1,2 (1.1) dove F 1,1 = 0 perché la superficie 1 è piana. A questo punto è possibile calcolare la potenza termica ceduta dai dischi all ambiente: Q 3 = Q 3,1 + Q 3,2 = (1.2) = A 3 F 3,1 (J 3 J 1 ) + A 3 F 3,2 (J 3 J 2 ) = [A 1 F 1,3 (J 1 J 3 ) + A 2 F 2,3 (J 2 J 3 )] Tenendo presente che A 1 = A 2 e, per simmetria, F 1,3 = F 2,3, e che i due dischi hanno le stesse proprietà, sia geometriche che termiche (entrambi 2

3 sono considerati corpi neri e mantenuti a 700K, per cui J 1 = J 2 e quindi Q 1,3 = Q 2,3 ), la (1.2) diventa: Q 3 = 2 Q 1,3 = (1.3) = 2 A 1 F 1,3 (J 1 J 3 ) La radiosità dei dischi, nota che sia la loro temperatura, può essere determinata dalla sua definizione di radiazione totale che abbandona una superficie per unità di tempo e unità di area (W/m 2 ). Nel caso di corpo grigio e diffondente, essa è quindi pari alla somma della radiazione emessa dalla superficie i-esima (ε i E ni ) più quella riflessa dalla stessa superficie (ρ i G i ), a seguito di un irradiazione (G i ) (Fig1.2). Figura 1.2: Definizione della radiosità, J Per cui: J i = ε i E ni + ρ i G i = (1.4) = ε i E ni + (1 ε i G i ) Poiché, per superfici opache τ i = 0 e per Kirchhoff, ε i = α i, allora ρ i = 1 ε i. Sappiamo anche che la potenza termica netta, per unità di area, trasmessa da un corpo (consideriamo ancora nel caso generico di corpo grigio e diffondente) è pari al bilancio tra la radiazione che abbandona la superficie (ovvero la radiosità) e la radiazione incidente, per cui: Q i A i = J i G i (1.5) 3

4 Mettendo a sistema le Eqq. (1.4) e (1.5), ovvero esplicitando G i dalla (1.4) e sostituendola in (1.5), si può scrivere: Q i = J i J i + ε i E ni (1.6) A i 1 ε i ε i = (E ni J i ) 1 ε i Q i = ε ia i 1 ε i (E ni J i ) (1.7) Ma noi sappiamo anche che, all equilibrio (caso stazionario), tutto ciò che è trasmesso dal corpo i-esimo, viene assorbito dagli altri N corpi presenti, ovvero: Q i = N j=1 Q i,j (1.8) Tra i due corpi i e j, il calore scambiato è pari al netto della radiazione emessa da i verso j e quella emessa da j verso i: Q i,j = A i F i,j J i A j F j,i J j (1.9) Per la regola della reciprocità, sappiamo che A i F i,j = A j F j,i, per cui la (1.9), si riduce a: Q i,j = A i F i,j (J i J j ) (1.10) Ora, sostituendo l Eq.(1.10), nella Eq.(1.8) e uguagliando ciò che si ottiene all Eq.(1.6), si ha: E ni = σt 4 i E ni J i = 1 ε i ε i A i A i = J i + 1 ε i ε i N F i,j (J i J j ) (1.11) j=1 N F i,j (J i J j ) Questa equazione è molto utile per la determinazione della radiosità, nota che sia la temperatura e l emissività di un certo corpo i. Per un caso particolare di corpo nero ε i = 1 e quindi la radiosità coincide con il potere emissivo del corpo (J i = E ni ). Essendo questo sia il caso dei dischi in esame che dell ambiente, approssimabile anch esso ad un corpo nero, si ha: 4 j=1

5 J 1 = J 2 = σt 4 1 = σt 4 2, J 3 = σt 4 3 (1.12) Per cui, dall Eq.(1.3), si ottiene Q 3 = 5, 505 kw. Esercizio 2 Si consideri adesso di interporre una parete tra i due dischi dell esercizio precedente, così da poter assimilare il sistema a un forno cilindrico. Si considerino stavolta i dischi come corpi opachi con emissività pari rispettivamente a ε 1 = 0, 8 per la faccia superiore e ε 2 = 0, 4 per la faccia inferiore. Inoltre, si tenga presente che la faccia superiore è mantenuta a T 1 = 700K e la faccia inferiore a T 2 = 500K. La parte è invece approssimabile ad un corpo nero, mantenuto ad una temperatura di T 3 = 300K. Si calcoli la potenza netta trasmessa dai tre corpi. Soluzione Il grafico di Fig.1.1 vale anche nel caso in cui il sistema sia un cilindro, poiché i due dischi risulteranno comunque allineati, coassiali e paralleli, ed in particolare i dischi avranno gli stessi fattori di vista dell esercizio precedente (F 1,2 = F 2,1 = 0, 26 e F 1,3 = F 2,3 = 0, 74), avendo le stesse caratteristiche geometriche. Ci resta però da determinare F 3,1 che, ancora una volta per simmetria, sarà uguale a F 3,2. In questo caso è possibile sfruttare la relazione di reciprocità, da cui: A 1 F 1,3 = A 3 F 3,1 F 3,1 = A 3 A 1 F 3,1 = 0, 28 = F 3,2 (2.1) Il problema ci richiede di determinare le potenze termiche trasmesse dai corpi che possono essere calcolate attraverso le Eqq.(1.8) e (1.10), ottenendo: Q 1 = A 1 [F 1,2 (J 1 J 2 ) + F 1,3 (J 1 J 3 )] Q 2 = A 2 [F 2,1 (J 2 J 1 ) + F 2,3 (J 2 J 3 )] Q 3 = A 3 [F 3,1 (J 3 J 1 ) + F 3,2 (J 3 J 2 )] Occorre quindi determinare le radiosità e a tal fine si può sfruttare l Eq.(1.4), da cui si ottiene un sistema di tre equazioni in tre incognite: 5

6 da cui si ottiene: σt1 4 = J ε 1 ε 1 [F 1,2 (J 1 J 2 ) + F 1,3 (J 1 J 3 )] σt2 4 = J ε 2 ε 2 [F 2,1 (J 2 J 1 ) + F 2,3 (J 2 J 3 )] σt3 4 = J 3 J 1 = 11275, 05 W/m 2 J 2 = 6079, 72 W/m 2 J 3 = 459, 27 W/m 2 A questo punto è immediato calcolare le potenze termiche trasmesse dai singoli corpi: Q 1 = 2643, 57 W Q 2 = 793, 64 W Q 3 = 3437, 21 W Si nota come i due dischi cedano una potenza termica (positiva) che viene assorbita dal corpo 3. Infatti, Ã possibile verificare che: Q 1 + Q 2 + Q 3 = 0 (2.2) Esercizio 3 Si considerino due superfici rettangolari (parallele e allineate), affacciate tra di loro a una distanza di 1 m e caratterizzate da un lato di 0,5m e un lato di 0,6m. Una delle due superfici è mantenuta a 800 C e ha un emissività di 0,2, mentre l altra è mantenuta a 600 C e ha un emissività di 0,6. Calcolare il calore scambiato tra le due superfici. Soluzione Per il calcolo dei fattori di vista, si ricorra questa volta al grafico riportato in Fig.3.1, da cui è possibile derivare F 1,2 = 0, 08 che risulta uguale a F 2,1 per la regola della simmetria. 6

7 Figura 3.1: Fattore di vista per piastre rettangolari, di uguali dimensioni, parallele e allineate Il calcolo dello scambio termico passa attraverso la determinazione delle radiosità delle due piastre, che possono essere calcolate risolvendo il seguente sistema: { σt 4 1 = J ε 1 ε 1 F 1,2 (J 1 J 2 ) σt 4 2 = J ε 2 ε 2 F 2,1 (J 2 J 1 ) Il calore trasmesso dal corpo 1 è pari a ciò che viene assorbito dal corpo 2 e viceversa, ovvero: 7

8 Q 1 = Q 1,2 = A 1 F 1,2 (J 1 J 2 ) = 707, 03 W Q 2 = Q 2,1 = A 2 F 2,1 (J 2 J 1 ) = 707, 03 W Esercizio 4 Una stanza alta 4m, con una base di 3x5m, viene riscaldata con un sistema a serpentina nel pavimento che si mantiene a 30 C. Il soffitto ha una emissività di 0,4 e viene mantenuto a 20 C, mentre le superfici laterali sono coibentate e possono essere considerate adiabatiche. Si consideri il pavimento un corpo nero e si calcoli la potenza termica ceduta attraverso il soffitto. Soluzione Si indichino con 1 e 2 rispettivamente il pavimento e il soffitto, mentre con 3 le pareti laterali della stanza. Per il calcolo dei fattori di vista, si ricorra, come nell esercizio precedente, al grafico riportato in Fig.3.1, da cui è possibile derivare F 1,2 = 0, 185 che risulta uguale a F 2,1 per la regola della simmetria. Per la determinazione del fattore di vista F 1,3 si può invece ricorrere alla regola della somma, per cui: F 1,1 + F 1,2 + F 1,3 = 1 F 1,3 = 1 0 F 1,2 = 0, 815 (4.1) Per simmetria uguale al fattore di vista F 2,3. Il calcolo dello scambio termico passa attraverso la determinazione delle radiosità delle superfici, che possono essere calcolate risolvendo il seguente sistema: { σt 4 1 = J 1 σt 4 2 = J ε 2 ε 2 [F 2,1 (J 2 J 1 ) + F 2,3 (J 2 J 3 )] Questo sistema contiene due equazioni e tre incognite. La terza equazione può essere data dalla considerazione del fatto che le pareti laterali sono adiabatiche, ovvero Q 3 = 0. Da questa si ottiene: 8

9 Q 3 = Q 3,1 + Q 3,2 = 0 A 3 F 3,1 (J 3 J 1 ) = A 3 F 3,2 (J 2 J 3 ) (4.2) J 3 = J 1 + J 2 2 (4.3) (4.4) Poiché F 3,1 = F 3,2 per la regola della simmetria. A questo punto si ottiene un sistema di tre equazioni in tre incognite, da cui si ottiene: J 1 = 478, 86 W/m 2 J 2 = 447, 031 W/m 2 J 3 = 462, 95 W/m 2 La potenza termica ceduta attraverso il soffitto è quindi pari a ciò che viene emesso dal pavimento, essendo Q 3 = 0: Q 1 = Q 1,2 + Q 1,3 = A 1 F 1,2 (J 1 J 2 ) + A 1 F 1,3 (J 1 J 3 ) = 282, 93 W Q 2 = Q 2,1 + Q 2,3 = A 2 F 2,1 (J 2 J 1 ) + A 2 F 2,3 (J 2 J 3 ) = 282, 93 W Esercizio 5 Uno schermo di alluminio viene interposto parallelamente tra due ampie superfici (1 e 2) di area totale pari a 10m 2. Le due superfici sono piane, parallele, molto ravvicinate e caratterizzate da T 1 = 800 C e T 2 = 30 C. Tutte e tre le superfici possono essere considerate in prima approssimazione come corpi neri. Si calcoli il flusso termico prima e dopo. Per lo schermo si consideri che abbia la stessa geometria delle due piastre. Soluzione Per il calcolo dei fattori di vista, si consideri che le due superfici, essendo poste ad una distanza D molto piccola rispetto ai lati delle stesse, possono essere considerate come superfici parallele indefinite, ovvero tali per cui F 1,2 = F 2,1 = 1. 9

10 Senza l interposizione di uno schermo radiante tra di esse, si ha che: Q 1,2 = Q 2,1 A 1 F 1,2 (J 1 J 2 ) = A 2 F 2,1 (J 2 J 1 ) (5.1) Q 1,2 = A 1 (E n1 E n2 ) = 74, 72 kw (5.2) (5.3) Interponendo lo schermo radiante, all equilibrio, i due flussi termici sono identici, ovvero tutto il calore trasmesso dal corpo 1 allo schermo (s), deve essere uguale a ciò che lo schermo trasmette al corpo 2: Q 1,s = Q s,2 A 1 F 1,s (J 1 J s ) = A s F 2,1 (J s J 2 ) (5.4) E n1 E ns = E ns E n2 (5.5) (5.6) E ns = σts 4 = σt σt2 4 (5.7) 2 T s = 903, 7 K = 630, 7 C (5.8) La potenza termica scambiata tra le superfici 1 e 2, risulta quindi proprio pari a Q 1,s = Q s,2 = 37, 39 kw Si osserva, quindi, che la riduzione del flusso termico scambiato risulta essere praticamente del 50%, in questo caso, che però, vale la pena notare, rappresenta uno scenario assolutamente ideale. 10