COMPITO n Siano X, Y due variabili aleatorie tali che il vettore (X, Y ) sia distribuito uniformemente

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1 COMPITO n. 1 a) Nel gioco del poker ad ogni giocatore vengono distribuite cinque carte da un normale mazzo di 52. Quant è la probabilità che un giocatore riceva una scala di re (ovvero 9, 10, J, Q, K anche di semi differenti)? [64/162435] b) Da un urna contenente tre palline bianche e sette nere se ne estrae una che, se bianca, viene reintrodotta nell urna, altrimenti no. Quant è la probabilità che la seconda pallina estratta sia bianca? [97/300] c) Si estrae a caso da un campione di 100 persone di cui: 50 sono fumatori, 50 hanno la tosse e 25 non sono né fumatori né hanno la tosse. Quant è la probabilità che si estragga un fumatore con la tosse? [1/4] 2. Un urna contiene sei monete di tipo A e quattro monete di tipo B: le monete A danno testa in media nel 60% dei lanci mentre quelle B danno testa in media nel 40% dei lanci. Un esperimento consiste nell estrarre una delle monete a caso dall urna e nel lanciarla ripetutamente finché non esce testa; quindi la moneta viene reinserita nell urna. [p X (k) = per k = 1, 2, 3,... ] che la moneta estratta sia di tipo A. [6/10] nel triangolo T di vertici A = (0, 0), B = (2, 2), C = (4, 0). [f X,Y (s, t) = 1/4 per (s, t) T ] c) Determinare la distribuzione di X condizionata al verificarsi di Y = 1. Di quale distribuzione nota si tratta? [uniforme su [1, 3]]

2 COMPITO n. 2 a) Si estrae a caso da una scatola di 40 chiodi di cui: 20 sono dorati, 15 sono piegati e 10 non sono né dorati né piegati. Quant è la probabilità che si estragga un chiodo dorato piegato? [1/8] b) Nel gioco del poker ad ogni giocatore vengono distribuite cinque carte da un normale mazzo di 52. Quant è la probabilità che un giocatore riceva un full (ovvero un tris ed una coppia)? [6/4165] c) Da un urna contenente otto palline nere e due bianche se ne estrae una che, se bianca, viene reintrodotta nell urna, altrimenti no. Quant è la probabilità che la seconda pallina estratta sia bianca? [49/225] 2. Un urna contiene cinque monete di tipo A e dieci monete di tipo B: le monete A danno testa in media una volta su tre mentre quelle B danno testa in media due volte su tre. Un esperimento consiste nell estrarre una delle monete a caso dall urna e nel lanciarla ripetutamente finché non esce testa; quindi la moneta viene reinserita nell urna. [p X (k) = per k = 1, 2, 3,... ] c) Supponendo che siano occorsi tre lanci per ottenere testa, calcolare la probabilità che la moneta estratta sia di tipo B. [1/2] nel triangolo T di vertici A = (0, 0), B = ( 3, 3), C = (0, 6). [f X,Y (s, t) = 1/9 per (s, t) T ] c) Determinare la distribuzione di Y condizionata al verificarsi di X = 2. Di quale distribuzione nota si tratta? [uniforme su [2, 4]]

3 COMPITO n. 3 a) Da un urna contenente cinque palline rosse e due verdi se ne estrae una che, se verde, viene reintrodotta nell urna, altrimenti no. Quant è la probabilità che la seconda pallina estratta sia verde? [47/147] b) Si estrae a caso da una scatola con 50 penne di cui: 30 sono rosse, 20 sono stilografiche e 10 non sono né rosse né stilografiche. Quant è la probabilità che si estragga una stilografica rossa? [1/5] c) Nel gioco del poker ad ogni giocatore vengono distribuite cinque carte da un normale mazzo di 52. Quant è la probabilità che un giocatore riceva una scala massima (ovvero 10, J, Q, K, 1 anche di semi differenti)? [64/162435] 2. Un urna contiene quattro monete di tipo A ed una moneta di tipo B: le monete A danno testa in media nell 80% dei lanci mentre quella B dà testa in media nel 20% dei lanci. Un esperimento consiste nell estrarre una delle monete a caso dall urna e nel lanciarla ripetutamente finché non esce testa; quindi la moneta viene reinserita nell urna. [p X (k) = k ) per k = 1, 2, 3,... ] che la moneta estratta sia di tipo A. [4/5] nel triangolo T di vertici A = (0, 0), B = (4, 4), C = (8, 0). [f X,Y (s, t) = 1/16 per (s, t) T ] c) Determinare la distribuzione di X condizionata al verificarsi di Y = 2. Di quale distribuzione nota si tratta? [uniforme su [2, 6]]

4 COMPITO n. 4 a) Si estrae a caso da una campione di 200 persone di cui: 100 sono bionde, 80 hanno gli occhi azzurri e 80 non sono bionde né hanno gli occhi azzurri. Quant è la probabilità che si estragga una persona bionda con gli occhi azzurri? [3/10] b) Nel gioco del poker ad ogni giocatore vengono distribuite cinque carte da un normale mazzo di 52. Quant è la probabilità che un giocatore riceva una doppia coppia (ovvero due coppie ed una quinta carta differente dalle altre)? [396/4165] c) Da un urna contenente otto palline gialle e dodici blu se ne estrae una che, se gialla, viene reintrodotta nell urna, altrimenti no. Quant è la probabilità che la seconda pallina estratta sia gialla? [196/475] 2. Un urna contiene sei monete di tipo A e tre monete di tipo B: le monete A danno testa in media due volte su tre mentre quelle B danno testa in media una volta su tre. Un esperimento consiste nell estrarre una delle monete a caso dall urna e nel lanciarla ripetutamente finché non esce testa; quindi la moneta viene reinserita nell urna. [p X (k) = per k = 1, 2, 3,... ] che la moneta estratta sia di tipo A. [2/3] nel triangolo T di vertici A = (0, 0), B = ( 2, 2), C = (0, 4). [f X,Y (s, t) = 1/4 per (s, t) T ] c) Determinare la distribuzione di Y condizionata al verificarsi di X = 1. Di quale distribuzione nota si tratta? [uniforme su [ 3, 1]]

5 COMPITO n. 5 a) Si estrae a caso da una scatola con 60 caramelle di cui: 40 sono alla menta, 20 sono senza zucchero e 10 non sono né alla menta né senza zucchero. Quant è la probabilità che si estragga una caramella alla menta senza zucchero? [1/6] b) Nel gioco del poker ad ogni giocatore vengono distribuite cinque carte da un normale mazzo di 52. Quant è la probabilità che un giocatore riceva una scala minima (ovvero 1, 2, 3, 4, 5 anche di semi differenti)? [64/162435] c) Da un urna contenente quattro palline blu e sei rosse se ne estrae una che, se blu, viene reintrodotta nell urna, altrimenti no. Quant è la probabilità che la seconda pallina estratta sia blu? [32/75] 2. Un urna contiene venti monete di tipo A e trenta monete di tipo B: le monete A danno testa in media nel 40% dei lanci mentre quelle B danno testa in media nel 60% dei lanci. Un esperimento consiste nell estrarre una delle monete a caso dall urna e nel lanciarla ripetutamente finché non esce testa; quindi la moneta viene reinserita nell urna. [p X (k) = per k = 1, 2, 3,... ] c) Supponendo che siano occorsi 3 lanci per ottenere testa, calcolare la probabilità che la moneta estratta sia di tipo B. [1/2] nel triangolo T di vertici A = (0, 0), B = (5, 5), C = (10, 0). [f X,Y (s, t) = 1/25 per (s, t) T ] c) Determinare la distribuzione di X condizionata al verificarsi di Y = 3. Di quale distribuzione nota si tratta? [uniforme su [3, 7]]

6 COMPITO n. 6 a) Nel gioco del poker ad ogni giocatore vengono distribuite cinque carte da un normale mazzo di 52. Quant è la probabilità che un giocatore riceva un full (ovvero un tris ed una coppia)? [6/4165] b) Si estrae a caso da una campione di 300 persone di cui: 150 sono mancine, 160 sono castane e 40 non sono né mancine né castane. Quant è la probabilità che si estragga una persona macina e castana? [1/6] c) Da un urna contenente cinque palline rosse e quindici nere se ne estrae una che, se rossa, viene reintrodotta nell urna, altrimenti no. Quant è la probabilità che la seconda pallina estratta sia rossa? [79/304] 2. Un urna contiene sei monete di tipo A e due monete di tipo B: le monete A danno testa in media nel 75% dei lanci mentre quelle B danno testa in media nel 25% dei lanci. Un esperimento consiste nell estrarre una delle monete a caso dall urna e nel lanciarla ripetutamente finché non esce testa; quindi la moneta viene reinserita nell urna. [p X (k) = per k = 1, 2, 3,... ] che la moneta estratta sia di tipo A. [3/4] nel triangolo T di vertici A = (0, 0), B = ( 4, 4), C = (0, 8). [f X,Y (s, t) = 1/16 per (s, t) T ] c) Determinare la distribuzione di Y condizionata al verificarsi di X = 2. Di quale distribuzione nota si tratta? [uniforme su [2, 6]]