Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1
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- Samuele Sartori
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1 Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1 03-Medie, variabilità e dispersione vers. 1.0 (15 ottobre 2014) Germano Rossi 1 germano.rossi@unimib.it 1 Dipartimento di Psicologia, Università di Milano-Bicocca G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
2 Introduzione I dati della tabella 3.1 (del libro) rappresentati graficamente. Possiamo vedere che 13 valori sono su 4 valori e 11 su 8. Possiamo descrivere numericamente questi dati? G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
3 Introduzione Ci sono almeno due informazioni che possiamo raccogliere su dati quantitativi: la tendenza centrale: un valore che meglio rappresenta tutta la distribuzione la variabilità: quanto i valori si disperdono attorno al valore centrale Un ulteriore blocco di informazioni si chiamano indici di posizione. G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
4 Tendenza centrale Tendenza centrale La tendenza centrale è un indicazione generica di come sta andando la distribuizione della variabile Ci sono diversi indici che misurano la tendenza centrale, alcuni poco informativi, altri molto informativi Livello nominale: Moda Livello ordinale: Mediana Livello intervallo/rapporto: Media Ricordiamo che ogni livello eredita dai livelli precedenti G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
5 Tendenza centrale Moda Tendenza centrale: Moda Esempio La Moda (Mo) è la frequenza più elevata di una distribuzione Se c è una sola moda, la distribuzione si dice Unimodale Se sono 2, Bimodale Se sono più di 2, Multimodale (ma non si utilizza) M=17, F=13 Maschi perché ha frequenza 17 Se ci sono molte categorie, oppure poche categorie tutte con frequenze simili, la moda non ha molto senso. Esempio Mo=2 (ma non ha molto senso) G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
6 Tendenza centrale Moda Spss: moda Tramite Analizza Statistiche descrittive Frequenze... pulsante Statistiche, possiamo far calcolare la moda. poi Continua e OK G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
7 Tendenza centrale Mediana Tendenza centrale: Mediana La mediana (Mdn) divide la distribuzione a metà (corrisponde, ma non è sempre uguale, a Q 2 ) Se N è dispari, la Mdn è il valore in posizione centrale, corrispondente a (N + 1)/2 Esempio Dati grezzi Ordinati (11 + 1)/2 = 6 Mdn=3 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
8 Tendenza centrale Tendenza centrale: Mediana Mediana Se N è pari, la Mdn è il valore fra le 2 posizioni centrali (se esiste) cioè fra N/2 e (N/2) + 1 Se i due valori sono uguali, quello è il valore della mediana Esempio Dati grezzi Ordinati (N/2) + 1 = = 6 Mdn=3 N/2 = 10/2 = 5 e G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
9 Tendenza centrale Tendenza centrale: Mediana Mediana Esempio Se i due valori sono diversi se la scala è ordinale: entrambi costituiscono la mediana se è quantitativa: si fa la media fra i due valori Dati grezzi Ordinati N/2 = 10/2 = 5 e (N/2) + 1 = = 6 Mdn=3;4 (ORD) 3,5 (I/R) Attenzione Spss (e la maggior parte dei software statistici) fanno sempre la media fra i due valori! G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
10 Tendenza centrale Mediana Tendenza centrale: Mediana Esercizio 1 Mdn (3,5,7,9,11) G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
11 Tendenza centrale Mediana Tendenza centrale: Mediana Esercizio 1 Mdn (3,5,7,9,11) 2 Mdn (2,3,5,7,9,11,12) Soluzione 1 N=5; pos=3; Mdn=7 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
12 Tendenza centrale Mediana Tendenza centrale: Mediana Esercizio 1 Mdn (3,5,7,9,11) 2 Mdn (2,3,5,7,9,11,12) 3 Mdn (3,4,5,5,6,7) Soluzione 1 N=5; pos=3; Mdn=7 2 N=7; pos=4; Mdn=7 Se aggiungiamo lo stesso numero di valori all inizio e alla fine di una distribuzione, la Mdn non cambia G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
13 Tendenza centrale Mediana Tendenza centrale: Mediana Esercizio 1 Mdn (3,5,7,9,11) 2 Mdn (2,3,5,7,9,11,12) 3 Mdn (3,4,5,5,6,7) 4 Mdn (3,4,5,6,7,8) Soluzione 1 N=5; pos=3; Mdn=7 2 N=7; pos=4; Mdn=7 3 N=6; pos=3 e 4; Mdn=5 Se aggiungiamo lo stesso numero di valori all inizio e alla fine di una distribuzione, la Mdn non cambia G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
14 Tendenza centrale Mediana Tendenza centrale: Mediana Esercizio 1 Mdn (3,5,7,9,11) 2 Mdn (2,3,5,7,9,11,12) 3 Mdn (3,4,5,5,6,7) 4 Mdn (3,4,5,6,7,8) 5 Mdn (4,5,7,9,13) Soluzione 1 N=5; pos=3; Mdn=7 2 N=7; pos=4; Mdn=7 3 N=6; pos=3 e 4; Mdn=5 4 N=6; pos=3 e 4; Mdn=5;6 (5,5) Se aggiungiamo lo stesso numero di valori all inizio e alla fine di una distribuzione, la Mdn non cambia G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
15 Tendenza centrale Mediana Tendenza centrale: Mediana Esercizio 1 Mdn (3,5,7,9,11) 2 Mdn (2,3,5,7,9,11,12) 3 Mdn (3,4,5,5,6,7) 4 Mdn (3,4,5,6,7,8) 5 Mdn (4,5,7,9,13) 6 Mdn (1,5,7,9,25) Soluzione 1 N=5; pos=3; Mdn=7 2 N=7; pos=4; Mdn=7 3 N=6; pos=3 e 4; Mdn=5 4 N=6; pos=3 e 4; Mdn=5;6 (5,5) 5 N=5; pos=3; Mdn=7 Se aggiungiamo lo stesso numero di valori all inizio e alla fine di una distribuzione, la Mdn non cambia G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
16 Tendenza centrale Mediana Tendenza centrale: Mediana Esercizio 1 Mdn (3,5,7,9,11) 2 Mdn (2,3,5,7,9,11,12) 3 Mdn (3,4,5,5,6,7) 4 Mdn (3,4,5,6,7,8) 5 Mdn (4,5,7,9,13) 6 Mdn (1,5,7,9,25) Soluzione 1 N=5; pos=3; Mdn=7 2 N=7; pos=4; Mdn=7 3 N=6; pos=3 e 4; Mdn=5 4 N=6; pos=3 e 4; Mdn=5;6 (5,5) 5 N=5; pos=3; Mdn=7 6 N=5; pos=3; Mdn=7 Se aggiungiamo lo stesso numero di valori all inizio e alla fine di una distribuzione, la Mdn non cambia Se cambiano i valori estremi della distribuzione, la Mdn non cambia G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
17 Tendenza centrale Media Tendenza centrale: media Se 4 amici escono a mangiare la pizza e poi pagano in parti uguali... stanno usando la media Ovvero: ( )/4 Ovvero: Qualcuno paga di più e qualcuno di meno, ma, alla fine, il di più si annulla con il di meno pizza, bibita e dessert Marco 18.0 Clara 16.5 Daniela 22.0 Andrea 17.5 Totale 74.0 a testa 18.5 Marco = 0.5 Clara = 2.0 Daniela = 3.5 Andrea = 1.0 Totale = 0 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
18 Tendenza centrale Media Tendenza centrale: Media [aritmetica] La media aritmetica ( X, Md, M) è la somma ( ) di tutti i valori di una distribuzione, divisa per la numerosità (N) X = N i=1 X i N = X N Esempio M(10, 15, 16, 18, 20, 24, 32, 35, 38, 40) = = G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
19 Tendenza centrale Media Tendenza centrale: Media [aritmetica] Esercizio 1 M(1,2,3,4,5) Soluzione G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
20 Tendenza centrale Media Tendenza centrale: Media [aritmetica] Esercizio 1 M(1,2,3,4,5) 2 M(3,4,5,6,7) Soluzione 1 ( )/5=15/5=3 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
21 Tendenza centrale Media Tendenza centrale: Media [aritmetica] Esercizio 1 M(1,2,3,4,5) 2 M(3,4,5,6,7) 3 M(2,4,6,8,10) Soluzione 1 ( )/5=15/5=3 2 ( )/5=25/5=5 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
22 Tendenza centrale Media Tendenza centrale: Media [aritmetica] Esercizio 1 M(1,2,3,4,5) 2 M(3,4,5,6,7) 3 M(2,4,6,8,10) Soluzione 1 ( )/5=15/5=3 2 ( )/5=25/5=5 3 ( )/5=30/5=6 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
23 Tendenza centrale Media Tendenza centrale: Media [aritmetica] Esercizio 1 M(1,2,3,4,5) 2 M(3,4,5,6,7) 3 M(2,4,6,8,10) Soluzione 1 ( )/5=15/5=3 2 ( )/5=25/5=5 3 ( )/5=30/5=6 1 i numeri da 1 a 5 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
24 Tendenza centrale Media Tendenza centrale: Media [aritmetica] Esercizio 1 M(1,2,3,4,5) 2 M(3,4,5,6,7) 3 M(2,4,6,8,10) Soluzione 1 ( )/5=15/5=3 2 ( )/5=25/5=5 3 ( )/5=30/5=6 1 i numeri da 1 a 5 2 i numeri della prima serie sommati a 2 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
25 Tendenza centrale Media Tendenza centrale: Media [aritmetica] Esercizio 1 M(1,2,3,4,5) 2 M(3,4,5,6,7) 3 M(2,4,6,8,10) Soluzione 1 ( )/5=15/5=3 2 ( )/5=25/5=5 3 ( )/5=30/5=6 1 i numeri da 1 a 5 2 i numeri della prima serie sommati a 2 3 i numeri della prima serie moltiplicati per 2 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
26 Tendenza centrale Media Tendenza centrale: Media [aritmetica] Esercizio 1 M(1,2,3,4,5) 2 M(3,4,5,6,7) 3 M(2,4,6,8,10) Soluzione 1 ( )/5=15/5=3 2 ( )/5=25/5=5 3 ( )/5=30/5=6 1 i numeri da 1 a 5 2 i numeri della prima serie sommati a 2 3 i numeri della prima serie moltiplicati per 2 Proprietà della media 1: Aggiungendo, sottraendo, moltiplicando o dividendo una costante a tutti i dati della distribuzione, anche la media subisce la stessa trasformazione Proprietà della media 2: Gli scarti dalla media sommano a 0 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
27 Tendenza centrale Media Spss: media La media viene visualizzata da Spss in molte procedure. Quelle specifiche sono: Analizza Statistiche descrittive Frequenze... (fra le varie statistiche che è possibile stampare vi è anche la media) Analizza Statistiche descrittive Descrittive... (è la procedura specifica per le statistiche descrittive) Analizza Statistiche descrittive Esplora... (stampa la media come una delle diverse statistiche per capire l andamento e la distribuzione di una variabile) G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
28 Tendenza centrale Media Spss: Media con Frequenze... Dopo aver scelto le variabili, click-are su Statistiche... e selezionare Media Quindi, click-are su Continua Con variabili quantitative conviene de-selezionare anche oppure in Formato... Poi OK G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
29 Tendenza centrale Media Spss: Media con Descrittive... Dopo aver scelto le variabili, click-are su Opzioni... Normalmente Media è già selezionato Potete ordinare i risultati in vari modi Poi OK G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
30 Tendenza centrale Media Tendenza centrale: Media con dati dicotomici Se una variabile è dicotomica (D) ed è stata categorizzata con 0 e 1, la media di D equivale alla proporzione della categoria 1. Infatti, possiamo pensare a D come la somma di tutti gli 0 e la somma di tutti gli 1. D = di N = 0 f f 1 N Ma la somma degli 0 è 0 e la somma degli 1 è uguale alla frequenza degli 1. Quindi la media di una variabile dicotomica è D = f 1 N L equivalenza non vale se categorizziamo con numeri diversi da 0 e 1. G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
31 Tendenza centrale Media Confronto fra statistiche Moda (Nominale): è il peggior indice Mediana (Ordinale): non è per nulla sensibile ai valori estremi Media (Intervallo/Rapporto): è il miglior indice di tendenza centrale ma è molto sensibile ai valori estremi della distribuzione In una distribuzione simmetrica normale, media, mediana e moda coincidono Se la media è minore della mediana la distribuzione è asimmetrica a sinistra Se la media è maggiore della mediana, la distribuzione è asimmetrica a destra G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
32 Misure di posizione Indici di posizione - Quantili Dopo aver ordinato i valori di una distribuzione, possiamo suddividere l intera distribuzione di frequenza in n parti uguali. Se divisa in 100 parti, Centili (C 1, C 2..., C 99 ) o Percentili (P 1, P 2... ) se divisa in 10 parti, Decili (D 1, D 2..., D 9 ) se divisa in 4 parti, Quartili (Q 1, Q 2, Q 3 ) se divisa in 3 parti, Terzili Notate che D 1 = P 10, e così via Q 1 = P 25, Q 2 = P 50 = D 5 è anche chiamato Mediana, Q 3 = P 75 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
33 Misure di posizione Quartili I quartili suddividono la distribuzione in 4 parti uguali Q 1 Q 2 Q 3 Si usano solitamente il primo e il terzo quartile (Q1 e Q3) Q1 ha sotto di sé il 25% dei dati 25% 75% Q2 ha sotto di sé il 50% dei dati 50% 50% Q3 ha sotto di sé il 75% dei dati 75% 25% G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
34 Quartili: formule Misure di posizione La posizione in cui cadono i quartili si trova con: Q 1 = 1 (N + 1) (N + 1) = 4 4 Q 2 = 2 2(N + 1) (N + 1) = = N Q 3 = 3 3(N + 1) (N + 1) = 4 4 Se la posizione trovata non è un intero, si tronca (ovvero si usa l intero inferiore) Una volta trovata la posizione si identifica il valore del quartile (il valore che corrisponde alla posizione) G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
35 Misure di posizione Quartili Esempio Q1 = (1/4)*(15+1)=16/4=4 Q1=8 Q2 = (15+1)/2 = 8 Q2=16 Q3 = (3/4)*(15+1)=48/4=12 Q3=24 Esercizio Q1 =? 2 Q2 =? 3 Q3 =? G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
36 Misure di posizione Quartili Esempio Q1 = (1/4)*(15+1)=16/4=4 Q1=8 Q2 = (15+1)/2 = 8 Q2=16 Q3 = (3/4)*(15+1)=48/4=12 Q3=24 Esercizio Q1 =? 2 Q2 =? 3 Q3 =? Soluzione N=6; pos=1.75; Q1=2 2 N=6; pos=3.5; Q2=5 3 N=6; pos=5.25; Q3=10 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
37 Misure di posizione Spss: n-tili (Frequenze) In Statistiche... Quartili calcola i quartili Punti di divisione divide in n parti uguali Percentili: scrivete il percentile che volete e aggiungete Qui abbiamo chiesto: i quartili, i terzili e il 45esimo percentile G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
38 Spss: Esplora... Misure di posizione Dopo aver scelto le variabili, metterle in Variabili dipendenti poi click-are su Statistiche... e scegliere Percentili Quindi, click-are su Continua Poi OK G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
39 Spss: Esplora... Misure di posizione Esplora non permette di scegliere, ma fornisce alcuni n-tili notevoli I tre quartili e i valori corrispondenti al 5% e 10% su entrambi i lati. Questi valori hanno particolarmente senso con variabili normali (capiremo più avanti). G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
40 Misure di variabilità Misure di variabilità Gli indici di variabilità ci dicono quanto i valori sono dipersi attorno alla tendenza centrale. Esempio valori X/N = M /8= /10=5 A livello di scala intervallo/rapporto ci sono diversi indici di variabilità: Campo di variazione o gamma (di oscillazione) o range Differenza interquartilica (IQR) Deviazione media o scostamento semplice medio Varianza e deviazione standard G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
41 Misure di variabilità Misure di variabilità: campo di variazione Il campo di variazione o gamma (di oscillazione) o range o intervallo (per SPSS) è la differenza fra il valore massimo e quello minimo gamma = max min Esempio valori campo var = =10 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
42 Misure di variabilità Misure di variabilità: differenza interquartilica La differenza interquartilica (DI, IQR) è la differenza fra il terzo e il primo quartile IQR = Q 3 Q 1 Esempio e corrisponde al 50% centrale dei valori centrali della distribuzione valori Q3-Q1 IQR La semi-differenza interquartilica è la metà dell IQR e corrisponde al 25% dei valori sopra o sotto la mediana G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
43 Misure di variabilità Misure di variabilità Gli scarti dalla media potrebbero essere una misura di variabilità, sennonché abbiamo visto che la somma degli scarti dalla media è sempre pari a 0 (zero) Alcune soluzioni sono: Deviazione media (DM) o scostamento semplice medio (SSM): considerare gli scarti senza il segno (in valore assoluto) e fare la loro media N i=1 DM = X i X N Varianza (var): elevare gli scarti a quadrato e fare la loro media N i=1 var = (X i X) 2 N G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
44 Misure di variabilità Misure di variabilità La scelta generale è caduta sulla varianza, perché minimizza le piccole differenze e massimizza le grandi differenze Però la varianza è un quadrato (un area) e quindi si introduce anche una versione lineare (che è una distanza), lo scarto quadratico medio. Lo scarto quadratico medio (sqm) o deviazione standard (ds) è la radice quadrata della varianza (Xi X) 2 ds = var = N G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
45 Misure di variabilità Misure di variabilità Esempio Var(1,2,3,4,5) = [(1 3) 2 + (2 3) 2 + (3 3) 2 + (4 3) 2 + (5 3) 2 ] 5 = [( 2) 2 + ( 1) 2 + (0) 2 + (1) 2 + (2) 2 ] = 2 DS(1,2,3,4,5)= 2 = 1.41 = = G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
46 Misure di variabilità Misure di variabilità la varianza finora vista è calcolata sul campione var = N i=1 (X i X) 2 N possiamo però usare il campione per stimare la varianza della popolazione, in tal caso la formula diventa: varstimata = N i=1 (X i X) 2 N 1 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
47 Misure di variabilità Misure di variabilità: formula alternativa Calcolare gli scarti dalla media, nella maggior parte dei casi, produce valori decimali che possono generare imprecisioni nei calcoli. Esiste quindi una formula alternativa da usare con i dati grezzi: X X M (X M) 2 X 2 2-0,8 0, ,8 0, ,2 0, ,2 0, ,2 1,44 16 Somma 14 2,8 42 Media 2,8 0,56 8,4 V ar = = = = = 0.56 X 2 = N La varianza è quindi uguale a... la media dei quadrati meno il quadrato della media X2 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
48 Misure di variabilità Misure di variabilità: formula alternativa var = X 2 N X2 = X 2 (X) 2 N N Con N 1 la formula non è così semplice, ma bisogna aggiustarla var stimata = N X 2 X 2 N 1 N X2 = N X2 = X 2 (X) 2 N N 1 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
49 Misure di variabilità Proprietà della varianza (e dev. st) Esercizio 1 var(1,2,3,4,5) 2 var(3,4,5,6,7) 3 var(2,4,6,8,10) Soluzione 1 5/4 (55/5 3 2 ) = 2.5, s = /4 (135/5 5 2 ) = 2.5, s = /4 (220/5 6 2 ) = 10, s = 3.16 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
50 Misure di variabilità Proprietà della varianza (e dev. st) Esercizio 1 var(1,2,3,4,5) 2 var(3,4,5,6,7) 3 var(2,4,6,8,10) Soluzione 1 5/4 (55/5 3 2 ) = 2.5, s = /4 (135/5 5 2 ) = 2.5, s = /4 (220/5 6 2 ) = 10, s = i numeri da 1 a 5 2 i numeri della prima serie sommati a 2 3 i numeri della prima serie moltiplicati per 2 Proprietà della var 1: Aggiungendo, sottraendo, una costante a tutti i dati della distribuzione, la varianza non subisce trasformazioni Proprietà della var 2: Moltiplicando o dividendo per una costante, la varianza cambia ma la dev. st. subisce la stessa trasformazione G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
51 Misure di variabilità Spss: Variabilità Anche varianza e dev. st. sono visualizzate da Spss (sempre N-1) in molte procedure. Quelle specifiche sono: Analizza Statistiche descrittive Frequenze... (fra le varie statistiche vi è anche quelle di variabilità) Analizza Statistiche descrittive Descrittive... (è la procedura specifica per le statistiche descrittive) Analizza Statistiche descrittive Esplora... (stampa le misure di variabilità come parte delle diverse statistiche per capire l andamento e la distribuzione di una variabile) G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
52 Misure di variabilità Spss: Variabilità con Frequenze... Dopo aver scelto le variabili, click-are su Statistiche... e selezionare quelle che servono Quindi, click-are su Continua Con variabili quantitative conviene selezionare anche oppure in Poi OK Formato... G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
53 Misure di variabilità Spss: Variabilità con Descrittive... Dopo aver scelto le variabili, click-are su Opzioni... Poi Continua e OK G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
54 Misure di variabilità Confronto fra statistiche Campo di variazione (Intervallo/Rapporto): è l indice più grossolano Differenza interquartilica (Intervallo/Rapporto): poco usato in psicologia Semi-differenza interquartilica (Intervallo/Rapporto): pochissimo usato in psicologia Deviazione media (Intervallo/Rapporto): per nulla usato Varianza, Deviazione standard (Intervallo/Rapporto): i più usati G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
55 Valori anomali (Outlier) Valori anomali Alcuni indici non sono influenzati dai valori estremi (Mediana) Altri sono influenzati (Media, Varianza) C è la necessità (non sempre) di identificare questi valori estremi, chiamati valori anomali o outlier La rappresentazione grafica (istogrammi) può aiutare, ma dipende molto dall abilità di chi guarda il grafico Un indice che viene usato è basato su (IQR) 1.5 Anche un grafico è basato su (IQR) 1.5 variabile A ordinata: Mediana=34 Q 1 =27 Q 3 =42 IGR=(42-27)=15 IGR 1.5=(4.5; 64.5) Siccome minimo e massimo sono più ampi dei limiti di outlier, questa variabile non ha anomali G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
56 Valori anomali (Outlier) Diagramma a scatola e baffi Il diagramma a scatola e baffi (box-and-whiskers) è stato ideato da Tukey nell ambito della EDA (Exploratory data analysis). È più spesso chiamato box-plot La scatola è formata dai valori corrispondenti al primo e al terzo quartile Tukey's Boxplot La linea spessa dentro la scatola corrisponde alla mediana I baffi rappresentano cose diverse in base ai software: come primo approccio useremo i valori minimo e massimo max Q3 Mdn Q1 min G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
57 Valori anomali (Outlier) Grafico a scatola [Box-plot] (I/R) Tukey's Boxplot max Q3 Mdn Q1 variabile A ordinata: N=41; min=22; Q1(10)=27; Mdn(21)=34; Q3(31)=42; max=54 min G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
58 Valori anomali (Outlier) Grafico a scatola In realtà i box-plot di SPSS ed R non visualizzano i valori minimo e massimo Al loro posto viene usata la semi-differenza interquartilica moltiplicata per 1,5; in una distribuzione normale, questo valore è quasi sempre oltre il massimo e oltre il minimo (quindi si visualizzano max e min) inoltre visualizzano i singoli valori anomali (i valori oltre i baffi), evidenziando quindi le code asimmetriche L utilità dei box-plot è più evidente se si incrociano con una variabile categoriale, perché si possono fare confronti sulle distribuzioni dei sotto-campioni G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
59 Valori anomali (Outlier) Grafico a scatola (I/R) Vendita biglietti cinema variabile Gross ordinata: IQR: ( ) 1.5 = 114 baffi: 70 e 374 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
60 Valori anomali (Outlier) Grafico a scatola (I/R) suddiviso (N/O) Fondamentalismo Per ogni valore della variabile di raggruppamento, viene prodotto un box-plot In questo modo si possono vedere le differenze di distribuzione CrNPr CrPr NCrNPr NCrPr Credente G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
61 Valori anomali (Outlier) Spss: Box-plot (Esplora) Spss produce i box-plot tramite Analizza Statistiche descrittive Esplora... e dal pulsante Grafici... assicuratevi di aver attivato una delle prime due opzioni di Grafici a scatola Se avete selezionato più variabili, Un grafico ogni dipendente produce grafici separati Dipendenti insieme produce un unico grafico G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
62 Spss: Box-plot Valori anomali (Outlier) Esempio di box-plot di Spss G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 47
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