Dispositivi Elettronici. Proprietà elettriche dei materiali

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1 Dispositivi Elettronici Proprietà elettriche dei materiali

2 Proprietà elettriche I materiali vengono classificati in: isolanti o dielettrici (quarzo o SiO 2, ceramiche, materiali polimerici) conduttori (metalli) semiconduttori elementari: silicio (Si), germanio (Ge) composti: arseniuro di gallio (GaAs), fosfuro di indio (InP), carburo di silicio (SiC), tellururo di cadmio (CdTe) I parametri che li caratterizzano sono: conducibilità elettrica σ [S/cm] resistività elettrica ρ = 1/σ [Ω cm] Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Proprietà elettriche dei materiali

3 & & $ $ Esempi di materiali " $ H 9? 8 A J H / A ) H C A J I E E? D A 4 = A, E = = J A / = ) I ) K E E B / = 2 2 = J E 1 2 H I E I E E? E " $ I 5? 1 I = J A 5 A K J J H A K J J H A Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Proprietà elettriche dei materiali 3

4 Proprietà elettriche: modello È possibile studiare le proprietà elettriche sulla base di un modello semiclassico: la conduzione elettrica corrisponde al moto di cariche libere nel materiale accelerate dalla presenza di campi elettrici esterni metalli: la conduzione avviene solo per moto di elettroni semiconduttori: la conduzione avviene per moto di elettroni e di lacune NB: un elettrone ha una carica elettrica negativa di valore q, una lacuna ha una carica elettrica positiva pari a q (q = C) Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Proprietà elettriche dei materiali 4

5 Proprietà elettriche: modello i materiali sono caratterizzati da uno stato solido ordinato: gli atomi si dispongono in una struttura cristallina regolare e periodica nello spazio la meccanica quantistica consente di descrivere in modo efficace il comportamento degli elettroni nel cristallo sviluppando la teoria delle bande di energie permesse le cariche libere di muoversi all interno delle bande vengono descritte tramite le leggi della dinamica, sostituendo alla massa dell elettrone la massa efficace m che tiene conto dell effetto sul moto delle particelle libere determinato dall energia potenziale dovuta ai nuclei degli atomi nella struttura cristallina Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Proprietà elettriche dei materiali 5

6 Struttura cristallina + A = A A A J = H A F A H E A E / A J J A K J = = F = H J E H = K = I J H K J J K H =? K > E? = = B =?? A? A J H = J A F = I I H A J E? = H A # "! =? A = A A A J = H A L E A A H E F A J K J = A I F = E F A H? I J H K E H A K = I J H K J J K H = H A C = H A Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Proprietà elettriche dei materiali 6

7 Struttura cristallina =? A = A A A J = H A E F H E? E F = E I A K J J H E? F I J E? A E / = ) I D = = I J A I I = B H = C A A J H E? A E I A K J J H E A A A J = H E I = L = F H A I A E = J E L A H I E I J H K J J K H A = E? > =

8 Struttura cristallina A? H E I J = L E E H A E E F H A B A H A E = E? D A F I E L A J = H A E F H J = J E A = B = I E E F E = J = E A E E? =? D = A E C Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Proprietà elettriche dei materiali 8

9 ? L = = I semiconduttori N atomi del IV & I J = J E gruppo (C, Si, Ge, Sn) " I J = J E * + " A F $ I J = J E A I I J = J E A H > E J = A F Se la distanza interatomica si riduce, i livelli * 2 " I J = J E * 8 H > E J = A I energetici esterni E L A E A A J J H E? E E J A H E interagiscono, E I J = = E J A H = J E? = BC: banda di conduzione; BP: banda proibita (energy gap); BV: banda di valenza Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Proprietà elettriche dei materiali 9

10 Modello di Shockley Per a < a 0, a T = 0 K tutti gli elettroni più esterni occupano completamente la BV La BC è completamente vuota La conduzione elettrica non è possibile anche in presenza di un campo A = K J H E A I I = * + * 8 Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Proprietà elettriche dei materiali 10

11 Modello di Shockley A T 0 K, alcuni elettroni saltano nella BC BC è in parte occupata, BV è in parte vuota La conduzione elettrica è possibile in presenza di un campo elettrico BC: moto di elettroni BV: moto di posti lasciati liberi da elettroni, ovvero moto di cariche positive (lacune, carica A = K J H E A I I = * + * 8 Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Proprietà elettriche dei materiali 11

12 Lacune Una lacuna corrisponde ad una rottura di un legame covalente nel cristallo Il moto di lacune corrisponde allo spostamento del legame covalente rotto da un atomo all altro =? K = Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Proprietà elettriche dei materiali 12

13 C C C L? L L?? C C C C + L Struttura a bande 6! Il salto da BV a BC è * + K J J H A 5 = $ " ' ostacolato dalla * 8 A 8?! presenza della banda proibita (BP) La transizione sarà * + * 8 5 A K J J H A = # "! " A 8?! tanto più favorita quanto più l ampiezza * + E g della BP è ridotta 1 I = J A E = = J A =! # % # " % A 8?! * 8 Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Proprietà elettriche dei materiali 13

14 C Dipendenza dalla temperatura E g è una funzione decrescente della temperatura $ #! "! A 8 Al crescere della temperatura, aumenta il A 8 "! A 8 / = ) I numero di portatori liberi, e ' & % / A $ $ A 8 quindi aumenta la $ " $ & conducibilità 6 elettrica Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Proprietà elettriche dei materiali 14

15 Densità di portatori liberi Per calcolare il numero di portatori liberi disponibili alla conduzione, si usa la funzione di distribuzione in energia ρ(e) Si def. dn = ρ n (E)dE (dp = ρ p (E)dE) come: numero di elettroni (lacune) liberi per unità di volume con energia compresa tra E ed E +de Il numero totale di elettroni (lacune) liberi nella BC (BV) è dato da + n = ρ n (E) de p = E c Ev ρ p (E) de Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Proprietà elettriche dei materiali 15

16 Densità di portatori liberi La funzione di distribuzione può essere calcolata come il prodotto di due fattori: numero di stati disponibili per unità di energia e volume: N n (E), N p (E) probabilità che ogni stato sia occupato: f n (E), f p (E) ρ n (E) = N n (E)f n (E) ρ p (E) = N p (E)f p (E) Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Proprietà elettriche dei materiali 16

17 ? L C C F C C F L? Densità degli stati disponibili L asse delle energie si riferisce convenzionalmente solo agli elettroni * + Le lacune sono cariche positive, quindi l energia potenziale cui sono sottoposte ha segno opposto F E? D F L asse delle energie per le lacune avrebbe verso opposto Le due curve hanno concavità * 8 diversa perché m n m p Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Proprietà elettriche dei materiali 17

18 Funzione di occupazione Una lacuna corrisponde ad uno stato non occupato da un elettrone Probabilità di occupazione dei posti disponibili in equilibrio termodinamico: elettroni: f n (E) = f(e) lacune: f p (E) = 1 f(e) f(e) è la funzione di Fermi Dirac [ ( E EF f(e) = 1 + exp k B T )] 1 Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Proprietà elettriche dei materiali 18

19 Funzione di FermiDirac La probabilità di occupazione di uno stato è data, per degli elettroni in equilibrio termodinamico, dalla statistica di FermiDirac: [ ( )] 1 E EF f(e) = 1 + exp k B T T è la temperatura k B = ev/k = J/K è la costante di Boltzmann (per T = 300 K, k B T 26 mev) E F è il livello di Fermi del gas di elettroni, ovvero: energia alla quale la probabilità di occupazione vale 1/2, qualunque sia T Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Proprietà elettriche dei materiali 19

20 . Funzione di Fermi Dirac B ' & 6 6 % $ 6! # " 6!! 6 & $ " " $ & A 8 Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Proprietà elettriche dei materiali 20

21 Densità di portatori liberi Le concentrazioni di elettroni n e lacune p si valutano integrando le funzioni di distribuzione su BC e BV: n = + E c γ n E Ec f(e) de p = Ev γ p Ev E [1 f(e)] de Si hanno due relazioni n = n(e F ) e p = p(e F ), non sufficienti a calcolare n e p Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Proprietà elettriche dei materiali 21

22 . L? Densità di portatori liberi B * +?! * 8 6! F?! # B H 5 E A G K E E > H E J A E = E? Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Proprietà elettriche dei materiali 22

23 Statistica di Boltzmann Se E E F, a denominatore di f(e) si ha ( ) E EF exp 1 k B T e quindi f(e) K exp ( E k B T ) K = cost La probabilità di occupazione esponenziale è quella che vale per un gas di particelle classiche non interagenti: statistica di Boltzmann Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Proprietà elettriche dei materiali 23

24 .? L Densità di portatori liberi Se vale l approssimazione di Boltzmann (semiconduttore non degenere): ( n N c exp E ) c E F k B T ( p N v exp E ) F E v k B T N {c,v} (T m {n,p} )3/2 [cm 3 ] sono le densità efficaci degli stati in BC e BV Si esprimono in forma chiusa le due relazioni tra n, p e E F Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Proprietà elettriche dei materiali 24

25 Generazione e ricombinazione In un semiconduttore puro, o intrinseco, il numero di elettroni e lacune libere risulta dall equilibrio tra due fenomeni: generazione di coppie elettronelacuna, che richiede un assorbimento di energia (e, in generale, quantità di moto) da parte degli elettroni di legame nella BV generazione termica, dipendente dalla temperatura generazione ottica, dovuta a fotoni di energia E > E g generazione per urto, dovuta a portatori ad alta energia ricombinazione di coppie elettronelacuna, determinata dalla ricomposizione casuale di un legame covalente Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Proprietà elettriche dei materiali 25

26 Generazione e ricombinazione In un semiconduttore intrinseco, la generazione e la ricombinazione avvengono a coppie Se n e p sono, rispettivamente, le concentrazioni di elettroni e lacune (numero di particelle per unità di volume), si ha n = p = n i = p i [cm 3 ] dove n i viene detta concentrazione intrinseca n i dipende solo dal tipo di materiale, e cresce rapidamente con la temperatura Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Proprietà elettriche dei materiali 26

27 & $ & E E 6! * C Concentrazione intrinseca La concentrazione intrinseca cresce più che esponenzialmente con la temperatura?! $ " A N F 6 " #?!! # % ' 6 A F A H = J K H = Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Proprietà elettriche dei materiali 27

28 Livello di Fermi intrinseco Per un semiconduttore intrinseco n = p = n i = E F = E Fi Dalla condizione ( N c exp E ) c E Fi k B T si ricava: = N v exp E Fi = E c + E v k BT 2 2 ln N c E c + E v N v 2 ( E ) Fi E v k B T E Fi è circa al centro della banda proibita se N c N v Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Proprietà elettriche dei materiali 28

29 L? E E Livello di Fermi intrinseco B * +?!. E F?! * 8 6! # B H 5 E A G K E E > H E J A E = E? Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Proprietà elettriche dei materiali 29

30 Legge dell azione di massa Per un semiconduttore non degenere in equilibrio termodinamico: ( np = N c N v exp E ) c E v k B T = N c N v exp ovvero np dipende solo dal materiale e dalla temperatura ( E g k B T In particolare, nel caso intrinseco n = p = n i. Si ha così la legge dell azione di massa: np = n 2 i ) Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Proprietà elettriche dei materiali 30

31 Equazioni di Shockley Ricavando N c e N v nel caso intrinseco e sostituendo nelle espressioni generali, si ottengono le equazioni di Shockley ( ) EF E Fi n n i exp k B T ( ) EFi E F p n i exp k B T Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Proprietà elettriche dei materiali 31

32 Equazioni di Shockley E F assume il significato di baricentro delle distribuzioni di cariche libere: nel caso intrinseco, E F = E Fi se n > p, E F > E Fi se n < p, E F < E Fi Si noti che in equilibrio n e p non possono essere variate indipendentemente, infatti deve sempre valere la legge dell azione di massa np = n 2 i Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Proprietà elettriche dei materiali 32

33 Semiconduttore drogato L importanza dei semiconduttori risiede nella capacità di cambiarne la conducibilità elettrica di diversi ordini di grandezza grazie all introduzione di opportuni atomi droganti Gli atomi droganti sono elementi di un gruppo diverso rispetto al semiconduttore, in modo da avere più di 4 elettroni sul guscio più esterno: atomi donatori, semiconduttore drogato n meno di 4 elettroni sul guscio più esterno: atomi accettatori, semiconduttore drogato p Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Proprietà elettriche dei materiali 33

34 Semiconduttore tipo n Atomi del V gruppo (As), con 5 el. sul guscio più esterno 4 dei 5 el. completano i legami covalenti con Si, il quinto è debolmente vincolato al nucleo di As ) J ) I E E = J ) I A J J H A E > A H E F E A 300 K, l en. termica basta a liberarlo verso la BC ionizzando As As + Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Proprietà elettriche dei materiali 34

35 * Semiconduttore tipo p Atomi del III gruppo (B), con 3 el. sul guscio più esterno I 3 el. formano legami covalenti con Si, agli altri el. in BV basta poca energia per andare a formare il quarto legame ) J * E E = J =? K = E > A H = E F E A 300 K, l en. termica basta a liberare una lacuna verso la BV ionizzando B B Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Proprietà elettriche dei materiali 35

36 ? L Atomi droganti Ogni elemento drogante è caratterizzato da un livello energetico corrispondente alla sua ionizzazione E 2 ) I!! " " " ' ) K Tipi di atomi droganti: superficiali (shallow) se il livello energetico è vicino alla banda corrispondente profondi (deep) se il livello energetico è vicino a E Fi " # # % $ * ) 1 # E I J = = E A = = > = F E L E? E =. E Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Proprietà elettriche dei materiali 36

37 Neutralità elettrica Consideriamo un campione di semiconduttore drogato con N D (unità di misura: cm 3 ) atomi donatori e N A atomi accettatori per unità di volume Valori tipici di drogaggio sono cm 3 Nel campione si hanno: cariche positive mobili (p) e fisse (N + D ) cariche negative mobili (n) e fisse (N A ) dove N D + e N A sono le concentrazioni di atomi droganti ionizzati Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Proprietà elettriche dei materiali 37

38 Neutralità elettrica Se il campione è omogeneo deve essere localmente neutro: n + N A = p + N + D questa relazione viene detta condizione di neutralità locale Se il semiconduttore è non degenere, vale anche la legge dell azione di massa np = n 2 i { n p = N + D N A = N + np = n 2 i Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Proprietà elettriche dei materiali 38

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40 Carica libera Per tutte le temperature per cui n i N + : Tipo n Tipo p n N + p n2 i N + p N + n n2 i N + A T = 300 K la ionizzazione è completa: Tipo n N + N D a 300 K Tipo p N + NA a 300 K n N D p n2 i N D p N A n n2 i N A Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Proprietà elettriche dei materiali 40

41 , E F Carica libera In funzione di T, si hanno 3, H C = C C E J E F regioni di funzionamento congelamento: parziale ionizzazione estrinseca: normale funzionamento, portatori maggioritari pari al drogaggio intrinseca: n i più grande del drogaggio, n p n i 6 = E J H E I A? = E? C A = A J = A I J H E I A? = # # Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Proprietà elettriche dei materiali 41

42 Carica libera Per del Si a 300 K drogato con N D = cm 3, si ha n i = N D Le concentrazioni di portatori liberi valgono n N D = cm 3 p n2 i N D = cm 3 Le cariche mobili dello stesso tipo del drogaggio si chiamano portatori di maggioranza, le altre portatori di minoranza Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Proprietà elettriche dei materiali 42

43 Livello di Fermi Consideriamo un semiconduttore di tipo n, drogato con N D atomi donatori A T = 300 K, in equilibrio termodinamico si ha n = N D e quindi dall approssimazione di Boltzmann n = N c exp ( E ) c E F k B T N D si ricava la posizione del livello di Fermi E F = E c k B T ln N c N D Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Proprietà elettriche dei materiali 43

44 ? L.? L. Livello di Fermi Analogamente, per un semiconduttore tipo p con drogaggio N A il livello di Fermi soddisfa E F = E v + k B T ln N v N A Si può concludere che un semiconduttore è non degenere se il livello di drogaggio è circa inferiore alla corrispondente densità efficace degli stati. E. E J E F J E F F Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Proprietà elettriche dei materiali 44

45 . L? E,, Livello di Fermi * + B?! F?! * 8 6! # B H 5 E A G K E E > H E J A E = E? Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Proprietà elettriche dei materiali 45

46 .? L E ) ) Livello di Fermi B * +?! * 8 6! F?! # B r 5 E A G K E E > H E J A E = E? Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Proprietà elettriche dei materiali 46