TRACCIA DI STUDIO. Indici di dispersione assoluta per misure quantitative

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Davide Pinto
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1 TRACCIA DI STUDIO Un indice di tendenza centrale non è sufficiente a descrivere completamente un fenomeno. Gli indici di dispersione assolvono il compito di rappresentare la capacità di un fenomeno a manifestarsi in vari modi, sono cioè espressione della sua variabilità. Indici di tendenza centrale e indici di dispersione devono essere associati per fornire un informazione completa. Indici di dispersione assoluta per misure quantitative La misura più elementare di dispersione è l intervallo di variazione o range, cioè la distanza che intercorre tra i due valori estremi di una serie di misure. Per quantificare in modo più conveniente la variabilità dei dati, occorre però definire indici in grado di valutare la dispersione rispetto alla media. Devianza La differenza di ciascuna misura dalla media può essere valutata in valore assoluto oppure come quadrato per eliminare i valori negativi incompatibili con il concetto di distanza. La somma delle differenze così ottenute fornisce l indicazione della variabilità complessiva dei dati. In particolare, la sommatoria dei quadrati degli scarti (devianza) ha il vantaggio di prestarsi meglio a elaborazioni matematiche. Varianza Una variabilità media, o varianza, si ottiene dividendo la devianza per il numero delle osservazioni. In esperienze a carattere biomedico, la formula viene modificata dividendo la devianza per il numero delle osservazioni ridotto di una unità. Questo denominatore, definito gradi di libertà, indica il numero di informazioni indipendenti e rappresenta un concetto molto importante sotto l aspetto statistico inferenziale.

2 Deviazione standard o scarto quadratico medio Per esprimere la variabilità nello stesso ordine di grandezza della media, si considera la radice quadrata della varianza, si effettua cioè la trasformazione inversa a quella effettuata sugli scarti dalla media (il quadrato). Fornisce l indicazione dell errore statistico medio commesso nel sintetizzare i singoli dati con il valore della media. Deviazione standard della media o errore standard Ha lo stesso significato della deviazione standard, ma fa riferimento all errore commesso nell attribuire alla popolazione statistica la media calcolata su un campione. È minore rispetto alla deviazione standard in quanto si ricava da questa dividendola per la radice quadrata del numero di unità campionarie. Indici di dispersione assoluta per misure non quantitative In presenza di punteggi, si può utilizzare la deviazione assoluta mediana, con un significato analogo a quello della deviazione standard per le misure quantitative. Trova applicazione anche la differenza interquartile: si ottiene come differenza tra il terzo e il primo quartile e identifica il 50% delle osservazioni intorno alla mediana. Indici di dispersione relativa per misure quantitative Gli indici di dispersione assoluta non permettono di confrontare le variabilità di serie di dati diverse per unità di misura o per ordine di grandezza. Occorrono indici svincolati soprattutto dalle unità di misura. Coefficiente di variazione percentuale CV% Mettendo in rapporto la deviazione standard con la media, si perviene a un indice numerico puro, esprimibile come percentuale e adatto a confronti tra situazioni diverse. Il CV% consente, inoltre, di valutare la variabilità di misure ripetute, per cui risulta indicato nei controlli di qualità di laboratorio. Rapporto di concentrazione R Esprime la dispersione di serie o seriazioni di dati in relazione alla massima teorica. Indicato per valutare la disponibilità e l utilizzazione di servizi, si presta a essere rappresentato anche graficamente. Indici di dispersione relativa per misure non quantitative Di modesto significato. Per le misure qualitative, si può considerare la densità relativa della moda e, per le misure semiquantitative, un indice analogo al CV% mettendo in rapporto la differenza interquartile e la mediana. ESERCIZI 1. Quale significato hanno gli indici di dispersione? 2. Calcolare l intervallo di variazione di questi due insiemi numerici: a) b) Una serie di cinque dati ha media aritmetica 29. Se quattro valori sono 30, 18, 23, 31 quale valore può avere il quinto? Nell operazione, quale aspetto statistico viene coinvolto? 4. Calcolare i gradi di libertà dei seguenti dati: x f Calcolare la deviazione standard della seguente serie di misure:

3 Nell esercizio precedente è stata inserita erroneamente una misura 5 anziché 3. Correggere e ricalcolare la deviazione standard. 7. Date le seguenti serie di misure, determinare quale delle due ha maggiore dispersione assoluta e quale maggiore dispersione relativa. kg cm I seguenti valori rappresentano i pesi di 52 neonati rilevati in un reparto di maternità: kg f Calcolare peso medio e deviazione standard della media. 9. In una scuola superiore sono stati valutati i quozienti di intelligenza (QI ) di 133 ragazze suddividendoli in nove classi: QI > 125 f Calcolare tendenza centrale e dispersione dei dati. RISPOSTE 1. Esprimono la variabilità delle misure e, associati alla tendenza centrale, ne completano l informazione. Sono soprattutto importanti gli indici per misure quantitative. 2. L intervallo di variazione risulta 21 per entrambi: a) ; b) Esaminando i dati, si osserva però che le misure in a), se si esclude il 19, sono concentrate in un intervallo più ristretto ( ), mentre per b) sono distribuite in modo più regolare. L intervallo di variazione ha il limite di considerare solo le due misure estreme e perde il contenuto informativo delle altre. 3. Il quinto valore è 43. Infatti, essendo vincolati dalla media 29, la sommatoria dei 5 dati deve risultare 5 x i 5 x Poiché la somma dei valori noti è 4 x i , il quin- i1 i1 to valore deve essere x 5 5 x i 4 x i i1 i1

4 Si conclude che le misure indipendenti sono quattro (N 1) anziché cinque (N). Viene coinvolto il concetto di gradi di libertà. 4. I gradi di libertà si calcolano come N 1. Siamo in presenza di una variabile con le relative frequenze e su queste si calcolano i gradi di libertà: N f I gradi di libertà risultano g.l. 21. Non bisogna confondere i valori della variabile con le loro frequenze. 5. Il modo migliore per calcolare la deviazione standard è quello di utilizzare la formula: x 2 ( x) 2 N s. N 1 Il lavoro è semplificato allestendo una tabella con le misure e i corrispondenti quadrati: x x x 2 ( x) 2 N 10 s N 1 9 In presenza di misure ripetute, si poteva applicare la formula ponderata. x x 2 f f x f x

5 f x 2 (f x) 2 f 10 s f È sufficiente ricalcolare le sommatorie: x x x 2 ( x) 2 N 10 s N 1 9 L operazione è possibile in quanto nell esercizio precedente la devianza era stata calcolata con la formula che contempla la somma dei quadrati dei dati. Se i calcoli fossero stati effettuati utilizzando i quadrati degli scarti dalla media, la correzione di un dato avrebbe comportato il rifacimento completo del lavoro. 7. I concetti di dispersione assoluta e relativa di una serie di dati sono assimilabili agli errori assoluti e relativi di una misura. Per valutare la dispersione assoluta, si può utilizzare uno degli indici di dispersione quali devianza, varianza o deviazione standard; per la dispersione relativa, è necessario ricorrere al CV% che permette un confronto tra variabili diverse per media e, soprattutto, come nel nostro caso, per unità di misura (kg e cm). Per comodità, si possono incasellare i valori secondo lo schema proposto di seguito (in presenza di pochi valori, spesso non si ricorre a un ordinamento in una tabella di distribuzione di frequenze). kg cm x x 2 y y N 6 7 x

6 1 a serie di misure: kg 2.19 kg CV% % s 5 m 5 kg s a serie di misure: s s cm 2.55 cm CV% %. 6 m cm Quindi, mentre non è possibile stabilire quale presenta maggiore dispersione assoluta, si può affermare che la maggior dispersione relativa è presentata dalla prima variabile. 8. Conviene completare la tabella come segue: Peso (x) x 2 f f x f x Da cui si ricava che f x x kg f 52 s (19 6.6) kg 0.34 s m kg Non è possibile calcolare gli indici per dati quantitativi in quanto si è in presenza di classi aperte. Inoltre si tratta di punteggi per cui potrebbero sorgere dei dubbi sulla possibilità di considerare i dati di livello quantitativo. La tendenza centrale si può allora calcolare come mediana e la dispersione come differenza interquartile.

7 QI f f cum > Mediana: pos valore ; 2 31 Q 1 : pos valore ; 25 Q 3 : pos valore con una differenza interquartile Q 3 Q Il 50% delle misure centrali è raccolto fra i punteggi 99 e 113. Da notare che, poiché si tratta di punteggi e quindi di misure non continue (non hanno senso valori decimali di QI ), nelle formule si sono usati i limiti inferiori di classe (interi) e non i confini (decimali) e i risultati sono stati arrotondati all unità.

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