Campi Magnetici. Bianchetti, Franceschini, Garuffo, Tognazzi. 6 Dicembre 2013

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1 Campi Magnetici Bianchetti, Franceschini, Garuffo, Tognazzi 6 Dicembre 03 Scopo dell esperienza Questo esperimento si pone l obiettivo di studiare le caratteristiche del campo magnetico generato da diverse strutture: bobina singola, bobine accoppiate e solenoide. Nel secondo caso, l indagine si concentra sugli effetti che si ottengono a seconda del verso della corrente nelle bobine (concorde o discorde); invece, nel terzo caso, lo studio si focalizza sulla dipendenza dal numero di avvolgimenti che costituiscono il solenoide (a parità di lunghezza, raggio e intensità di corrente). Introduzione teorica L analisi dei primi esperimenti sulle caratteristiche del campo magnetico prodotto da correnti in conduttori filiformi indusse Laplace a formulare una legge, che esprime il campo magnetico (d B) prodotto da un tratto infinitesimo (d s) di filo, percorso dalla corrente (i), in un punto P distante r dall elemento di filo: d B = µ 0 4π i r d s u r = µ 0 4π i ds r u t u r, dove u r, Figura, è il versore della direzione orientata da d s a P, u t è il versore tangente al filo per cui d s = ds u t e µ 0 è una costante, detta permeabilità magnetica del vuoto, il cui valore è 4π 0 7 H/m. Figura : Campo magnetico prodotto da un elemento di filo percorso da corrente Il campo magnetico elementare prodotto da un tratto infinitesimo di circuito risulta proporzionale alla corrente ed inversamente proporzionale al quadrato della distanza; l orientazione di d B è legata al verso della corrente. Di seguito, si riportano i calcoli per i campi magnetici prodotti da tre circuiti particolari: filo indefinito, spira circolare e solenoide rettilineo.

2 . Filo indefinito. Legge di Biot-Savart Consideriamo un filo conduttore rettilineo, di lunghezza a, percorso dalla corrente continua i e poniamoci, sul piano ortogonale al punto medio del filo, nel punto P distante R dal filo, Fig.. (a) Situazione vettoriale. (b) Schema per il calcolo. Figura : Campo magnetico di un filo rettilineo percorso da corrente Un elemento di filo produce, in P, il campo magnetico: Si osserva che d B = µ 0 i 4π Dunque, sostituendo, si ottiene: d s u r r db = µ 0 i ds sin θ 4π r. R = r sin(π θ) = r sin θ r = sin θ R, s tan(π θ) = s tan θ = R ds = R dθ sin θ db = µ 0 i sin θ dθ 4π R. Queste considerazioni valgono anche dal punto di vista dell angolo θ, il quale risulta più efficace per il calcolo del campo magnetico prodotto in P ; infatti, supponendo che la metà inferiore del filo sia indefinita e ponendosi nell estremo, il punto P è visto sotto un angolo θ in = 0. Analogamente, ponendosi nell estremo della metà superiore (anch essa indefinita), il punto P è visto sotto un angolo θ fin = π. Pertanto, per ottenere il campo generato dal filo indefinito, si integra sulla variabile θ con estremi che vanno da 0 a π: B = µ 0 i 4π R π 0 sin θ dθ = µ 0 i 4π R [ cos θ ] π 0 = µ 0 i π R Nel piano mediano il campo magnetico è costante su ogni circonferenza di raggio R ed è diretto secondo la tangente alla circonferenza. Detto u φ il versore tangente alla circonferenza e orientato secondo la regola del prodotto vettoriale in modo che u t u r = u φ, è possibile ottenere l espressione vettoriale per il campo magnetico generato da un filo indefinito: B = µ 0 i π R u φ

3 . Spira circolare Consideriamo il campo magnetico sull asse di una spira circolare di raggio R, percorsa da corrente continua i. Nel punto P, distante x dal centro O (coincidente con l origine dell asse) della spira, un elemento infinitesimo d s di filo genera il campo d B di modulo: in quanto d s e u r sono ortogonali. db = µ 0 i 4π d s u r r = µ 0 i ds 4π r, Figura 3: Campo magnetico prodotto sull asse di una spira percorsa da corrente In particolare, la componente lungo l asse x vale db x = µ 0 i ds cos θ, 4π r se θ è l angolo formato da db con l asse x. Infatti, quando si considerano i contributi di tutti gli elementi infinitesimi della spira, le componenti parallele all asse x si sommano; invece, quelle trasversali si elidono a coppie, per la simmetria del problema. Nei punti dell asse della spira, pertanto, il campo magnetico è parallelo all asse stesso e la direzione dipende dal verso della corrente. In totale µ0 i cos θ B = 4π r ds u n = µ 0 i cos θ 4π r πr u n, questo in quanto, una volta fissato il punto P dove è valutato il campo, r e cos θ sono costanti. Ponendo r = R + x e cos θ = R/r, si ottiene: B(x) = µ 0 ir µ 0 ir r 3 u n = u n. (x + R ) 3 Inoltre, considerando una bobina, cioè un avvolgimento costituito da N spire ravvicinate, in cui la distanza tra gli estremi sia trascurabile rispetto al raggio R, si ottiene: B = µ 0 i NR (x + R ) 3 u n. Nel caso di due bobine poste con l asse coincidente ad una distanza L, collocando il punto medio del segmento congiungente i due centri con l origine dell asse x (preso coincidente con l asse delle bobine), il campo magnetico generato risulta: B = µ 0 N i R [ R + ( x L ) ] 3/ ± [ R + ( x + L ) ] 3/ Il segno ± dipende dal verso della corrente attraverso le bobine: + se concorde, - se discorde. 3

4 .3 Solenoide rettilineo Un solenoide rettilineo è costituito da un filo conduttore avvolto a forma di elica cilindrica di piccolo passo. Sia d la sua lunghezza, R il raggio, N il numero totale di spire, n = N/d la densità di spire per unità di lunghezza. Se queste sono abbastanza fitte, Fig 4, così da poterle considerare distribuite con continuità, nel tratto dx sono presenti ndx spire. (a) Struttura del solenoide. (b) Schema per il calcolo. Figura 4: Campo magnetico di un solenoide rettilineo percorso da corrente Il valore del campo magnetico in un punto P sull asse si calcola con la formula del campo di una spira percorsa dalla corrente n i dx db(x) = µ 0 ir n r 3 esso è parallelo all asse x. Considerando la variabile φ, si ottiene: dx; r sin φ = R R x x 0 = tan φ dx = R dφ sin φ db(x) = µ 0 n i sin φ dφ Il campo magnetico nel punto P si ottiene integrando da φ a φ : B = φ φ µ 0 n i sin φ dφ = µ 0 n i [cos φ cos φ ] = µ 0 n i [cos φ + cos φ ], in cui φ e φ = π φ sono gli angoli sotto cui sono viste da P le spire terminali del solenoide. Misurando x dal centro di quest ultimo (OP = x), si ottiene: cos φ = d + x ( d + x) + (R) = d + x (d + x) + 4R cos φ = d x (d x) + 4R ; da cui si ricava: B(x) = µ 0 n i d + x + (d + x) + 4R d x (d x) + 4R. 4

5 3 Materiale e strumenti utilizzati Bobine: R = (05 ± ) 0 3 m, 00 spire; Solenoidi: d = (40, 0 ± 0, ) 0 3 m, R = (5, 0 ± 0, ) 0 3 m, spire; voltmetro, amperometro; sonda per campi magnetici; Datastudio. 4 Procedura 4. Allestimento del set-up sperimentale Per poter effettuare misure il più possibile accurate e precise, abbiamo utilizzato un carrellino come supporto per il sensore di campo magnetico e fatto scorrere questo su di una guida. Ad una sua estremità abbiamo collegato un filo, a sua volta collegato ad una massa, la cui forza peso consentiva il movimento. Facendo passare il filo in una carrucola montata su un sensore di posizione angolare, abbiamo potuto rilevare il valore del campo in funzione della posizione del sensore. A seconda del campo che ci interessava rilevare abbiamo montato i diversi set-up. 4. Raccolta dei dati 4.. Bobine di Helmoltz Per misurare il campo magnetico delle bobine di Helmoltz abbiamo distinto tre casi: una sola bobina circolare, due bobine nelle quali abbiamo fatto scorrere intensità di corrente in verso concorde e due bobine soggette al passaggio di una corrente in verso discorde. Per misurare il campo generato da questa corrente, abbiamo fatto passare all interno delle bobine la guida di supporto del carrellino, sul quale abbiamo fissato il rilevatore di campo, dopo averlo correttamente calibrato, scegliendo la sensibilità e il verso del campo da misurare. A questo punto abbiamo posizionato il sensore ad una certa distanza dalle bobine, acceso il circuito avendo cura di rilevare l intensità di corrente mediante l amperometro, e avviato la raccolta, lasciando, quindi, scorrere il carrello sulla guida con una velocità il più possibile costante e non eccessiva, al fine di raccogliere un maggior numero di dati. 4.. Solenoidi Per misurare il campo magnetico di un solenoide abbiamo studiato tre diversi casi, differenti per il numero di spire: 00, 400 e 800. Abbiamo misurato il raggio e la lunghezza dei solenoidi da noi utilizzati e, quindi, rilevato il valore del campo in modo analogo a quanto svolto in precedenza, facendo passare il sensore al centro di essi. Anche in questo caso abbiamo avuto cura di adattare la sensibilità del rilevatore di campo e la velocità di passaggio al suo interno alla misura che intendevamo effettuare Filo Per misurare il campo magnetico generato da un filo percorso da corrente lo abbiamo posizionato al termine della rotaia e, utilizzando la stessa procedura seguita per le bobine di Helmoltz, abbiamo rilevato i valori del campo, avendo però cura di aumentare la sensibilità del sensore ed avvicinarlo il più possibile al filo ad una velocità che consentisse misure apprezzabili. 5

6 5 Grafici 5. Bobine 5.. Bobina singola.5x0-3 B=B(x) B=B(x;R;i ) B=B(x;R;i ) B=B(x;R;i 3 ).0 (T) (m) Figura 5: Bobina percorsa da corrente: grafico campo magnetico-posizione In riferimento al grafico in Figura 5, in ordinata è collocata l intensità del campo magnetico generato B, mentre in ascissa è riportata la corrispondente posizione sull asse della bobina x. I dati sperimentali, evidenziati in colore nero, non presentano una barra d errore in quanto l incertezza non risulta apprezzabile sul grafico; invece, in linea tratteggiata è riportata la funzione con cui sono stati fittati i dati. Il colore di quest ultima permette di distinguere per quale corrispondente valore dell intensità di corrente si ottengono i dati fittati. In particolare, l intensità risulta i = (0, 50 ± 0, 0) A; i = (, 00 ± 0, 0) A; i 3 = (, 50 ± 0, 0) A; Tenendo costante il valore del raggio ed il numero di spire, la funzione di fit è: µ 0 i k R B(x; R; i k ) = (x + R ) 3 6

7 5.. Bobine concordi Per questa configurazione si è deciso di analizzare il campo generato da due bobine poste ad una distanza pari al proprio raggio; quindi, L = R = (05, 0 ± 0, ) 0 3 m. Questo permette di osservare il comportamento delle bobine di Helmoltz..0x0-3.5 B=B(x) B=B(x;R;i ) B=B(x;R;i ) (T) (m) Figura 6: Bobine percorse da corrente concorde: grafico campo magnetico-posizione In riferimento al grafico in Figura 6, in ordinata è collocata l intensità del campo magnetico generato B, mentre in ascissa è riportata la corrispondente posizione sull asse delle due bobine x. I dati sperimentali, evidenziati in colore nero, non presentano una barra d errore in quanto l incertezza non risulta apprezzabile sul grafico; invece, in linea tratteggiata è riportata la funzione con cui sono stati fittati i dati. Il colore di quest ultima permette di distinguere per quale corrispondente valore dell intensità di corrente si ottengono i dati fittati. In particolare, l intensità risulta i = (, 00 ± 0, 0) A; i = (, 5 ± 0, 0) A; Tenendo costante il valore del raggio ed il numero di spire, la funzione di fit è (tenuto conto del verso concorde della corrente): B(x; R; i k ) = µ 0 N i k R [ R + ( x L ) ] 3/ + [ R + ( x + L ) ] 3/ 7

8 5..3 Bobine discordi Per questa configurazione si è deciso di analizzare il campo generato da due bobine poste ad una distanza pari al proprio raggio; quindi, L = R = (05, 0 ± 0, ) 0 3 m B=B(x) B=B(x;R;i ) B=B(x;R;i ) (T) x (m) Figura 7: Bobine percorse da corrente discorde: grafico campo magnetico-posizione In riferimento al grafico in Figura 7, in ordinata è collocata l intensità del campo magnetico generato B, mentre in ascissa è riportata la corrispondente posizione sull asse delle due bobine x. I dati sperimentali, evidenziati in colore nero, non presentano una barra d errore in quanto l incertezza non risulta apprezzabile sul grafico; invece, in linea tratteggiata è riportata la funzione con cui sono stati fittati i dati. Il colore di quest ultima permette di distinguere per quale corrispondente valore dell intensità di corrente si ottengono i dati fittati. In particolare, l intensità risulta i = (0, 70 ± 0, 0) A; i = (, 00 ± 0, 0) A; Tenendo costante il valore del raggio ed il numero di spire, la funzione di fit è (tenuto conto del verso discorde della corrente): B(x; R; i k ) = µ 0 N i k R [ R + ( x L ) ] 3/ [ R + ( x + L ) ] 3/ 8

9 5..4 Solenoide rettilineo In questa configurazione, attraverso il solenoide scorre una corrente i = (, 50 ± 0, 0) A. 5x0-3 0 B=B(x) B=B(x;N ) B=B(x;N ) B=B(x;N 3 ) 5 (T) x (m) Figura 8: Solenoide percorso da corrente: grafico campo magnetico-posizione In riferimento al grafico in Figura 8, in ordinata è collocata l intensità del campo magnetico generato B, mentre in ascissa è riportata la corrispondente posizione sull asse delle due bobine x. I dati sperimentali, evidenziati in colore nero, non presentano una barra d errore in quanto l incertezza non risulta apprezzabile sul grafico; invece, in linea tratteggiata è riportata la funzione con cui sono stati fittati i dati. Il colore di quest ultima permette di distinguere per quale corrispondente valore del numero di spire si ottengono i dati fittati. In particolare, il numero risulta: N = 00 spire; N = 400 spire; N 3 = 800 spire; Tenendo costanti il valore del raggio e della lunghezza del solenoide: B(x; N k ) = µ 0 N k i d + x d x +, d (d + x) + 4R (d x) + 4R in cui sono presenti le variabili N (numero di spire) e d (lunghezza), invece di n (densità lineare di spire). 9

10 5..5 Filo rettilineo indefinito In questa configurazione, attraverso il filo scorre una corrente i = (, 00 ± 0, 0) A. 0x0-6 8 B=B(x) B=g(x) 6 (T) (m) Figura 9: Filo percorso da corrente: grafico campo magnetico-posizione In riferimento al grafico in Figura 9, in ordinata è collocato l intensità del campo magnetico generato B, mentre in ascissa è riportata la corrispondente posizione sull asse delle due bobine x. I dati sperimentali, evidenziati in colore nero, non presentano una barra d errore in quanto l incertezza non risulta apprezzabile sul grafico; invece, in linea tratteggiata rossa è riportata la funzione con cui sono stati fittati i dati, la cui espressione è: g(x) = µ 0 i π x. Per questa anlisi, il valore del χ = 5 0 3, con un interpolazione su 50 punti. Non sono stati riportati i dati per valori della distanza dal filo compresa tra 0 e 0,04 m perchè la sonda utilizzata saturava. 0

11 6 Conclusioni Dal grafico in Fig.5 si vede che i dati raccolti seguono l andamento ipotizzato, in particolare si evidenzia la dipendenza lineare dell ampiezza dall intensità di corrente. Dal grafico in Fig.6 si nota che i dati seguono l andamento che intendavamo verificare. La dipendenza dell ampiezza dall intensità di corrente risulta anche in questo caso lineare. Inoltre il campo magnetico è uniforme nella zona compresa tra le due bobine. Da un confronto con il grafico in Fig.7 si evince che le ampiezze dei grafici delle bobine concordi, a parità di intensità di corrente, risultano doppie. Nel caso dei solenoidi, il grafico in Fig.8 mostra la dipendenza lineare dell ampiezza dal numero di spire. Il grafico in Fig.9 mostra la dipendenza del campo magnetico dall inverso della posizione lungo l asse. Il fatto che, per valori inferiori a 0,04 m, la sonda saturasse ci fa ipotizzare che il campo magnetico continui a crescere con il medesimo andamento anche nella zona compresa tra 0 e 0,04 m dal filo.